Terminale

Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Ce chapitre généralise l'étude des expériences aléatoires à répétition. On modélise d'abord une succession d'épreuves indépendantes (produit cartésien, arbre pondéré), puis on introduit l'épreuve de Bernoulli et sa loi. En répétant $n$ fois une même épreuve de Bernoulli de manière identique et indépendante (schéma de Bernoulli), on obtient la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , qui modélise le nombre de succès obtenus.

Succession d'épreuves indépendantes et épreuve de Bernoulli

Succession d'épreuves indépendantes

Définition. Dans une succession d'épreuves, lorsque l'issue d'une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes, on dit que ces épreuves sont indépendantes.

On considère $n$ épreuves successives indépendantes, d'univers respectifs $\Omega_1, \ldots, \Omega_n$ . L'univers $\Omega$ de cette succession de $n$ épreuves est le produit cartésien :

\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n

Les issues de $\Omega$ sont les $n$ -uplets $(x_1, \ldots, x_n)$ où, pour tout entier $i$ tel que $1 \leqslant i \leqslant n$ , $x_i \in \Omega_i$ .

Propriété (probabilité d'une succession d'épreuves indépendantes). Dans une succession de $n$ épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ est égale au produit des probabilités de ses composantes $x_1, \ldots, x_n$ :

\mathbb{P}(x_1, \ldots, x_n) = \mathbb{P}(x_1) \times \mathbb{P}(x_2) \times \cdots \times \mathbb{P}(x_n)

Cette succession se représente commodément par un arbre pondéré : le produit des probabilités le long d'un chemin donne la probabilité de l'issue correspondante (règle déjà rencontrée en Première pour les arbres pondérés).

Exemple. On tire une carte dans un jeu de 3 cartes $\{A\,;B\,;C\}$ équiprobables, puis on lance une pièce truquée pour laquelle $\mathbb{P}(\text{Pile}) = 0{,}4$ . Ces deux épreuves sont indépendantes. L'univers de la succession est $\Omega = \{A\,;B\,;C\} \times \{\text{Pile}\,;\text{Face}\}$ , à 6 issues. Par exemple :

\mathbb{P}(A\,;\text{Pile}) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(\text{Pile}) = \frac{1}{3} \times 0{,}4 = \frac{2}{15}

Épreuve de Bernoulli

Définition. Soit $p \in [0\,;1]$ . Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire à deux issues :

$S$ (succès), de probabilité $p$ ;
$\overline{S}$ (échec), de probabilité $1-p$ .

Exemple. Lancer un dé équilibré à six faces et regarder si l'on obtient un multiple de 3 est une épreuve de Bernoulli : succès $S$ = « obtenir 3 ou 6 », de probabilité $p = \dfrac{1}{3}$ .

Loi de Bernoulli

Définition. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $1$ si $S$ est réalisé, et $0$ sinon. $X$ est appelée variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$ , et sa loi est la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , notée $\mathcal{B}(p)$ .

$x_i$	$1$	$0$
$\mathbb{P}(X = x_i)$	$p$	$1-p$

Propriété. Si $X \sim \mathcal{B}(p)$ , alors $\mathbb{E}(X) = p$ et $V(X) = p(1-p)$ .

Démonstration.

\mathbb{E}(X) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p

V(X) = (1-p)^2 \times p + (0-p)^2 \times (1-p) = p(1-p)\big[(1-p) + p\big] = p(1-p)

Modéliser avec l'indépendance

Pour calculer une probabilité dans une succession d'épreuves, on dispose de plusieurs outils complémentaires, déjà rencontrés en Première : arbre pondéré, indépendance ( $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$ si $A$ et $B$ sont indépendants), probabilités conditionnelles, et formule des probabilités totales lorsqu'on dispose d'une partition de l'univers. Une succession d'épreuves quelconques (deux ou trois épreuves pas forcément indépendantes, ni identiques) se traite avec les mêmes outils : seule la lecture de l'arbre change (probabilités conditionnelles sur les branches plutôt que probabilités « brutes »).

Exercice — Roue de couleurs et pièce truquée

Un jeu consiste à faire tourner une roue partagée en trois secteurs — rouge, bleu, jaune — puis à lancer une pièce truquée. Les probabilités sont données par :

Couleur	rouge	bleu	jaune
Probabilité	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

et $\mathbb{P}(\text{Pile}) = 0{,}4$ . Les deux épreuves — la roue et la pièce — sont indépendantes.

Représenter cette succession de deux épreuves indépendantes par un arbre pondéré, et donner l'univers $\Omega$ de l'expérience (nombre d'issues).
Calculer $\mathbb{P}(\text{rouge}\,;\text{Pile})$ .
On s'intéresse à l'épreuve de Bernoulli « lancer la pièce et obtenir Pile », de variable de Bernoulli associée $X$ . Donner la loi de $X$ , puis calculer $\mathbb{E}(X)$ et $V(X)$ .
Soit $G$ l'évènement « on obtient Pile, avec une couleur rouge ou bleue ». Calculer $\mathbb{P}(G)$ de deux façons différentes : en sommant les probabilités des issues favorables, puis à l'aide de l'indépendance appliquée à l'évènement « rouge ou bleu ».

Exercice — Pièce et dé : tableau à double entrée et épreuve de Bernoulli

On lance une pièce équilibrée (probabilité $0{,}5$ d'obtenir Pile), puis un dé équilibré à six faces. Les deux épreuves sont indépendantes.

Représenter cette succession de deux épreuves indépendantes à l'aide d'un tableau à double entrée donnant la probabilité de chaque issue $(\text{résultat de la pièce} \, ; \, \text{résultat du dé})$ . Donner le nombre d'issues de l'univers $\Omega$ .
Calculer $\mathbb{P}(\text{Pile}\,;6)$ .
Soit $X$ la variable de Bernoulli associée à l'épreuve « obtenir un multiple de $3$ au dé » (succès : obtenir $3$ ou $6$ ). Donner la loi de $X$ , puis calculer $\mathbb{E}(X)$ et $V(X)$ .
Soit $H$ l'évènement « obtenir Pile et un multiple de $3$ au dé ». Calculer $\mathbb{P}(H)$ à l'aide de l'indépendance des deux épreuves.

Exercice — Tirage sans remise puis lancer de dé : une succession pas entièrement indépendante

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne (épreuves $1$ et $2$ ), puis, indépendamment de ces deux tirages, on lance un dé équilibré à six faces (épreuve $3$ ).

Justifier que les épreuves $1$ et $2$ ne sont pas indépendantes (on pourra comparer $\mathbb{P}(\text{rouge au }2^{\text{e}} \mid \text{rouge au }1^{\text{er}})$ et $\mathbb{P}(\text{rouge au }2^{\text{e}} \mid \text{vert au }1^{\text{er}})$ ). Représenter les deux tirages par un arbre pondéré, et calculer la probabilité de chacune des quatre issues possibles (rouge-rouge, rouge-vert, vert-rouge, vert-vert).
Soit $S$ l'évènement « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ». Calculer $\mathbb{P}(S)$ .
Soit $Y$ la variable de Bernoulli associée à l'évènement $S$ (succès : $S$ est réalisé). Donner la loi de $Y$ , puis calculer $\mathbb{E}(Y)$ et $V(Y)$ .
Soit $M$ l'évènement « obtenir un multiple de $3$ au dé ». Expliquer pourquoi $\mathbb{P}(S \cap M) = \mathbb{P}(S) \times \mathbb{P}(M)$ , bien que les épreuves $1$ et $2$ ne soient pas indépendantes entre elles, puis calculer $\mathbb{P}(S \cap M)$ .

QCM — Succession d'épreuves indépendantes et Bernoulli

1. Dans une succession de

n

épreuves indépendantes d'univers

\Omega_1,\ldots,\Omega_n

, comment calcule-t-on la probabilité d'une issue

(x_1,\ldots,x_n)

X

suit une loi de Bernoulli de paramètre

p=0{,}3

. Que vaut

V(X)

3. Une urne contient

4

boules rouges et

6

boules vertes. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, puis, indépendamment, on lance un dé équilibré à

8

faces numérotées de

1

8

et on regarde si le résultat est un multiple de

4

. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ET un multiple de

4

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Définition. Soit $n$ un entier naturel non nul. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même paramètre $p$ ) et indépendantes.

Exemple. On tire une boule dans une urne contenant 3 boules blanches et 7 boules noires, on note sa couleur puis on la remet dans l'urne (tirage avec remise). On répète l'expérience 15 fois. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès $S$ = « la boule est blanche », de probabilité $p = 0{,}3$ . Les 15 tirages étant faits avec remise, ils sont identiques et indépendants : on a un schéma de Bernoulli de paramètres $n=15$ et $p=0{,}3$ .

Loi binomiale

Définition. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus lors d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ .

Propriété. Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ , alors pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ :

\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \qquad \text{et} \qquad X(\Omega) = \{0, 1, \ldots, n\}

où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ » (nombre de chemins de l'arbre menant à exactement $k$ succès — voir le chapitre Combinatoire et dénombrement).

Démonstration. Dans l'arbre du schéma de Bernoulli, tout chemin menant à exactement $k$ succès (et donc $n-k$ échecs) a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ (produit des probabilités le long du chemin, par indépendance). Le nombre de tels chemins est le nombre de façons de choisir les $k$ rangs de succès parmi les $n$ épreuves, soit $\binom{n}{k}$ . En sommant les probabilités de ces $\binom{n}{k}$ chemins (toutes égales), on obtient $\mathbb{P}(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .

Exemple. Avec $n=15$ et $p=0{,}3$ (urne ci-dessus), la probabilité de tirer exactement $4$ boules blanches est :

\mathbb{P}(X=4) = \binom{15}{4} \times 0{,}3^4 \times 0{,}7^{11} \approx 0{,}2186

Espérance, variance, écart type

Propriété. Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ , alors :

\mathbb{E}(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

(Ces formules seront démontrées dans le chapitre « Sommes de variables aléatoires », en écrivant $X$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.)

Avec l'exemple précédent : $\mathbb{E}(X) = 15 \times 0{,}3 = 4{,}5$ et $V(X) = 15 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 3{,}15$ , donc $\sigma(X) = \sqrt{3{,}15} \approx 1{,}77$ .

Forme du diagramme en bâtons

Pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ , le diagramme en bâtons de la loi de $X$ a une forme de cloche, approximativement centrée sur l'espérance $\mathbb{E}(X) = np$ .

Calculs numériques et algorithme Python

Pour des valeurs de $n$ grandes, on calcule $\mathbb{P}(X=k)$ , $\mathbb{P}(X \leqslant k)$ ou $\mathbb{P}(k \leqslant X \leqslant k')$ à la calculatrice ou avec un algorithme. En Python, math.comb(n, k) renvoie $\binom{n}{k}$ :

from math import comb
 
def P_egal(n, p, k):
    """Renvoie P(X = k) pour X ~ B(n, p)"""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
 
def P_inf_egal(n, p, k):
    """Renvoie P(X <= k) pour X ~ B(n, p)"""
    return sum(P_egal(n, p, i) for i in range(k + 1))

Pour chercher le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant k) \geqslant \alpha$ (problème de seuil), on parcourt les valeurs de $k$ dans l'ordre croissant :

def seuil(n, p, alpha):
    """Renvoie le plus petit entier k tel que P(X <= k) >= alpha"""
    k = 0
    while P_inf_egal(n, p, k) < alpha:
        k = k + 1
    return k

Cette démarche permet de résoudre des problèmes de seuil, de comparaison ou d'optimisation, par exemple trouver le plus petit intervalle $I = \{0,\ldots,k\}$ tel que $\mathbb{P}(X \in I) > 1 - \alpha$ .

Exercice — Stand de tir : loi binomiale et seuil

Un tireur atteint sa cible avec une probabilité $p = 0{,}7$ à chaque tir, indépendamment des tirs précédents. Il effectue $8$ tirs. On note $X$ le nombre de tirs réussis.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale, et préciser ses paramètres.
Calculer $\mathbb{P}(X=5)$ (arrondir à $10^{-4}$ près).
Calculer $\mathbb{P}(X \geqslant 6)$ (arrondir à $10^{-3}$ près).
Calculer $\mathbb{E}(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondir $\sigma(X)$ au centième).
On admet que $\mathbb{P}(X \leqslant 6) \approx 0{,}7447$ et $\mathbb{P}(X \leqslant 7) \approx 0{,}9424$ . En utilisant la fonction seuil du cours, déterminer la valeur renvoyée par seuil(8, 0.7, 0.9), et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice — Bac Maths — Amérique du Nord 2025 (exercice 1)

Exercice 1 (6 points) du sujet de bac Amérique du Nord, 21 mai 2025 — voir aussi l'annale complète.

Les connexions à distance des employés d'une entreprise transitent au hasard par l'un de trois serveurs A, B ou C : 25 % des connexions passent par A, 15 % par B, le reste (60 %) par C. Une connexion est dite stable si l'utilisateur ne subit aucune déconnexion après identification. On a observé qu'en fonctionnement normal, 90 % des connexions via A sont stables, 80 % de celles via B, et 85 % de celles via C.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On choisit une connexion au hasard. On note $A$ , $B$ , $C$ les événements « la connexion transite par le serveur A / B / C » et $S$ l'événement « la connexion est stable », d'événement contraire $\overline S$ .

Représenter un arbre pondéré modélisant la situation.
Montrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B vaut $0{,}12$ .
Calculer $P\left(C\cap\overline S\right)$ et interpréter ce résultat.
Montrer que $P(S)=0{,}855$ .
Sachant que la connexion est stable, calculer la probabilité qu'elle ait transité par le serveur B (arrondir au millième).

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable vaut $0{,}145$ .

On observe un échantillon de 50 connexions (tirage avec remise) ; $X$ compte le nombre de connexions instables. a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b. Donner $P(X\leqslant8)$ , arrondie au millième.
Pour un échantillon de $n$ connexions, $X_n\sim\mathcal B(n\,;0{,}145)$ compte les connexions instables. a. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ qu'au moins une connexion soit instable. b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p_n\geqslant0{,}99$ .
Soit $F_n=\dfrac{X_n}n$ la fréquence de connexions instables. a. Calculer $E(F_n)$ . On admet $V(F_n)=\dfrac{0{,}123975}n$ . b. Vérifier que $P\left(|F_n-0{,}145|\geqslant0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}n$ . c. Un responsable observe un échantillon de 1000 connexions avec $F_{1000}=0{,}3$ et soupçonne un dysfonctionnement. A-t-il raison ?

Exercice — Bac Maths — Centres étrangers 2025 (exercice 3, parties B et C — probabilités)

Exercice 3, parties B et C (probabilités, sur 4 points au total avec la partie A) du sujet de bac Centres étrangers, 13 juin 2025. Contexte : transmission d'une séquence de caractères, chacun ayant une probabilité $0{,}01$ d'être mal transmis, indépendamment des autres. Les parties A, B, C sont indépendantes.

Partie B

On transmet une séquence de 250 caractères. $X$ compte le nombre de caractères mal transmis.

Donner la loi de $X$ et ses paramètres.
Calculer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis (valeur exacte, puis approchée à $10^{-3}$ ).
Que penser de l'affirmation « la probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On transmet 4 séquences de 250 caractères ; $X_1,X_2,X_3,X_4$ , indépendantes et de même loi que $X$ , comptent les caractères mal transmis. Soit $S=X_1+X_2+X_3+X_4$ . Déterminer, en justifiant, $E(S)$ et $V(S)$ .

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Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 1 (exercice 3)

Exercice 3 (7 points) du sujet de bac Métropole, 11 mai 2022 — voir aussi l'annale complète.

Un directeur d'entreprise a proposé à ses salariés un stage de formation, suivi par 25 % d'entre eux. Parmi les 52 % de femmes salariées, 40 % ont suivi le stage. On interroge un salarié au hasard ; $F$ : « c'est une femme », $S$ : « il/elle a suivi le stage ».

a. Donner $P(S)$ . b. Compléter un arbre pondéré correspondant. c. Montrer que $P(F\cap S)=0{,}208$ . d. Sachant que la personne a suivi le stage, quelle est la probabilité que ce soit une femme ? e. Le directeur affirme que, parmi les hommes, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier.
$X$ compte le nombre de salariés ayant suivi le stage dans un échantillon de 20 (tirage avec remise). a. Donner, en justifiant, la loi de $X$ . b. Calculer $P(X=5)$ , arrondie au centième. c. Le programme Python suivant utilise une fonction binomiale(i,n,p) renvoyant $P(X=i)$ :

def proba(k):
    P = 0
    for i in range(0, k+1):
        P = P + binomiale(i, 20, 0.25)
    return P

Que renvoie proba(5), à $10^{-3}$ près ? Interpréter. d. En déduire $P(X\geqslant6)$ , à $10^{-3}$ près. 3. (Indépendante des précédentes.) L'entreprise augmente de 5 % le salaire des salariés ayant suivi le stage, et de 2 % celui des autres. Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires ?

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Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 2 (exercice 1)

Exercice 1 (7 points) du sujet de bac Métropole, 12 mai 2022 — voir aussi l'annale complète.

Dans l'Oklahoma, 70 % des coyotes sont atteints d'une maladie appelée ehrlichiose. Un test de dépistage donne un résultat positif dans 97 % des cas chez un coyote malade, et un résultat négatif dans 95 % des cas chez un coyote sain.

Partie A

On capture un coyote au hasard et on le teste. $M$ : « le coyote est malade », $T$ : « le test est positif ».

Compléter un arbre pondéré modélisant la situation.
Calculer $P(M\cap T)$ .
Montrer que $P(T)=0{,}694$ .
Calculer la « valeur prédictive positive » du test, $P_T(M)$ (arrondie au millième).
a. Définir par analogie la « valeur prédictive négative » du test et la calculer (arrondie au millième). b. Comparer les deux valeurs prédictives et interpréter.

Partie B

On rappelle $P(T)=0{,}694$ .

On capture 5 coyotes au hasard (tirage avec remise). $X$ compte le nombre de tests positifs. a. Donner la loi de $X$ et ses paramètres. b. Calculer $P(X=1)$ (arrondie au centième). c. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux que 4 coyotes au moins sur 5 aient un test positif. A-t-il raison ?
Combien de coyotes faut-il capturer pour que la probabilité qu'au moins l'un d'eux ait un test positif dépasse $0{,}99$ ?

QCM — Schéma de Bernoulli et loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n\,;p)

. Quelle est l'expression correcte de

\mathbb{P}(X=k)

pour

0 \leqslant k \leqslant n

2. Un professeur pose

6

questions indépendantes à un élève, chacune ayant une probabilité

0{,}8

d'être réussie. Quelle est la loi du nombre

X

de questions réussies ?

3. Un tireur a une probabilité

0{,}6

de toucher sa cible à chaque tir, indépendamment des tirs précédents. Il tire

4

fois. Quelle est la probabilité qu'il touche exactement

3

fois sur les

4

tirs ?

Exercices bilan

Écrire la loi d'une variable de Bernoulli et calculer son espérance et sa variance

ApplicationCorrigé gratuit

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne et on regarde sa couleur. On considère le succès $S$ : « la boule tirée est rouge », et $X$ la variable de Bernoulli associée à cette épreuve ( $X=1$ si $S$ est réalisé, $X=0$ sinon).

Donner la valeur du paramètre $p$ de cette épreuve de Bernoulli.
Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$ .
Calculer l'espérance $\mathbb{E}(X)$ et la variance $V(X)$ .

Calculer une probabilité dans une succession de deux épreuves indépendantes

Application

Une roue de loterie comporte trois secteurs colorés : rouge, de probabilité $0{,}5$ ; bleu, de probabilité $0{,}3$ ; vert, de probabilité $0{,}2$ . On fait tourner cette roue, puis, indépendamment, on lance un dé équilibré à six faces et on regarde si le résultat obtenu est pair ou impair.

Donner l'univers $\Omega$ de cette succession de deux épreuves indépendantes (on précisera son nombre d'issues).
Calculer $\mathbb{P}(\text{rouge}\,;\text{pair})$ .
Calculer $\mathbb{P}(\text{vert}\,;\text{impair})$ .
Écrire la loi de probabilité complète de cette succession de deux épreuves (les six issues possibles), et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$ .

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Reconnaître un schéma de Bernoulli et calculer une probabilité de la loi binomiale

EntraînementCorrigé gratuit

On lance $5$ fois de suite un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants les uns des autres. On note $X$ le nombre de fois où l'on obtient un multiple de $3$ (c'est-à-dire $3$ ou $6$ ).

Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en précisant ses paramètres.
Calculer $\mathbb{P}(X=2)$ .
Calculer $\mathbb{E}(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Établir la loi complète d'une variable binomiale et vérifier la cohérence de son espérance

Entraînement

Une machine a une probabilité $0{,}6$ de réussir un test de qualité donné, indépendamment d'un test à l'autre. On la soumet à $3$ tests. Soit $X$ le nombre de tests réussis parmi ces $3$ .

Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;0{,}6)$ .
Calculer $\mathbb{P}(X=k)$ pour chaque valeur de $k\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$ , et présenter les résultats sous forme d'un tableau. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$ .
Calculer $\mathbb{E}(X)$ directement à partir du tableau précédent, puis vérifier ce résultat à l'aide de la formule $\mathbb{E}(X)=np$ .
Calculer $V(X)$ à l'aide de la formule $V(X)=np(1-p)$ .

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Calculer une probabilité par événement contraire dans un schéma de Bernoulli

Entraînement

Un questionnaire à choix multiples comporte $4$ questions indépendantes. Chaque question propose $3$ réponses, dont une seule est correcte. Un candidat répond à chaque question totalement au hasard. On note $X$ le nombre de réponses correctes parmi les $4$ .

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $\mathbb{P}(X=0)$ , puis en déduire la probabilité que le candidat ait au moins une réponse correcte.
Calculer la probabilité que le candidat ait toutes ses réponses correctes.
Calculer $\mathbb{E}(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

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Étudier un contrôle qualité à l'aide d'une loi binomiale : probabilités cumulées et écart-type

Entraînement

Un fournisseur estime qu'une pièce prélevée au hasard dans sa production a une probabilité $\dfrac14$ d'être non conforme. La production est suffisamment importante pour assimiler des prélèvements successifs à des tirages indépendants et de même loi (comme des tirages avec remise). On prélève ainsi un échantillon de $4$ pièces, et on note $X$ le nombre de pièces non conformes parmi ces $4$ .

Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\!\left(4\,;\dfrac14\right)$ .
Calculer $\mathbb{P}(X=0)$ et $\mathbb{P}(X=1)$ .
En déduire $\mathbb{P}(X\leqslant1)$ , puis $\mathbb{P}(X\geqslant2)$ .
Calculer $\mathbb{E}(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

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Un jeu en deux étapes : probabilité d'une partie, schéma de Bernoulli et seuil calculé en Python

Type bac

Un jeu se déroule en deux temps indépendants : on fait tourner une roue partagée en $5$ secteurs identiques, numérotés de $1$ à $5$ , puis on lance une pièce truquée pour laquelle $\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}4$ . Un joueur gagne une partie si la roue s'arrête sur le secteur $5$ et si la pièce indique Pile.

Partie A — Une partie du jeu

À l'aide de la propriété de probabilité d'une succession de deux épreuves indépendantes, justifier que la probabilité $p$ qu'un joueur gagne une partie vaut $p=0{,}08$ .
Soit $S$ la variable de Bernoulli valant $1$ si le joueur gagne la partie, $0$ sinon. Donner la loi de probabilité de $S$ , puis calculer $\mathbb{E}(S)$ et $V(S)$ .

Partie B — Vingt parties consécutives

Un joueur joue $n=20$ parties, dans les mêmes conditions (même roue, même pièce) et de façon indépendante d'une partie à l'autre. On note $X$ le nombre de parties gagnées parmi ces $20$ .

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $\mathbb{P}(X=0)$ , la probabilité que le joueur ne gagne aucune des $20$ parties (arrondie au millième), puis en déduire $\mathbb{P}(X\geqslant1)$ (arrondie au millième également).
Calculer $\mathbb{E}(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
On veut écrire une fonction Python qui calcule $\mathbb{P}(X\leqslant k)$ pour $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$ donnés. On dispose déjà de la fonction P_egal, qui renvoie $\mathbb{P}(X=k)$ :

from math import comb
 
def P_egal(n, p, k):
    """Renvoie P(X = k) pour X suivant une loi B(n ; p)"""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
 
def P_inf_egal(n, p, k):
    """Renvoie P(X <= k) pour X suivant une loi B(n ; p)"""
    ...  # a completer, a l'aide de P_egal

Compléter la fonction P_inf_egal, puis donner la valeur, arrondie au millième, que renverrait l'appel P_inf_egal(20, 0.08, 1). Vérifier la cohérence de cette valeur avec les résultats de la question 4.

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