Terminale

Sommes de variables aléatoires

Comment calculer l'espérance ou la variance d'une variable aléatoire compliquée ? Une stratégie efficace consiste à l'écrire comme une somme de variables aléatoires plus simples. Ce chapitre établit les règles de calcul de l'espérance et de la variance d'une somme (linéarité de l'espérance, additivité de la variance sous indépendance), les applique pour retrouver les formules de la loi binomiale, puis les utilise pour étudier un échantillon de $n$ variables indépendantes et identiquement distribuées.

Linéarité de l'espérance et variance d'une somme de variables indépendantes

Somme de deux variables aléatoires

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$ (issu par exemple d'une même succession d'épreuves). On définit la variable aléatoire $X+Y$ par : pour toute issue $\omega \in \Omega$ ,

(X+Y)(\omega) = X(\omega) + Y(\omega)

Linéarité de l'espérance

Propriété. Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers fini $\Omega$ (indépendantes ou non) :

\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)

Et pour tout réel $a$ :

\mathbb{E}(aX) = a\,\mathbb{E}(X)

Démonstration. En notant $\mathbb{P}(\omega)$ la probabilité de chaque issue $\omega$ de $\Omega$ , on a par définition de l'espérance :

\mathbb{E}(X+Y) = \sum_{\omega \in \Omega} (X+Y)(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) + \sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)

De même, $\mathbb{E}(aX) = \sum_{\omega} aX(\omega)\mathbb{P}(\omega) = a\sum_{\omega} X(\omega)\mathbb{P}(\omega) = a\,\mathbb{E}(X)$ .

Remarque importante. Cette propriété est vraie que $X$ et $Y$ soient indépendantes ou non. Il n'en va pas de même pour la variance (voir ci-dessous).

Variables indépendantes

Rappel. $X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour toutes valeurs $x_i$ de $X$ et $y_j$ de $Y$ :

\mathbb{P}\big((X=x_i) \cap (Y=y_j)\big) = \mathbb{P}(X=x_i) \times \mathbb{P}(Y=y_j)

C'est en particulier le cas lorsque $X$ et $Y$ proviennent de deux épreuves indépendantes d'une même succession d'épreuves indépendantes.

Variance d'une somme, variance de $aX$

Propriété. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :

V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Et pour tout réel $a$ :

V(aX) = a^2\,V(X)

Démonstration (de $V(aX)=a^2V(X)$ ).

V(aX) = \mathbb{E}\big((aX - \mathbb{E}(aX))^2\big) = \mathbb{E}\big((aX-a\mathbb{E}(X))^2\big) = \mathbb{E}\big(a^2(X-\mathbb{E}(X))^2\big) = a^2\,\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))^2\big) = a^2\,V(X)

(La formule $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ sous indépendance est admise à ce niveau : elle repose sur le fait que $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes.)

Attention. Sans indépendance, $V(X+Y) \neq V(X)+V(Y)$ en général.

Application : espérance, variance et écart type de la loi binomiale

Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ , obtenue en répétant $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ . Pour $1 \leqslant i \leqslant n$ , notons $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si la $i$ -ième épreuve est un succès, $0$ sinon : $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ , et $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes. Alors :

X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

(le nombre total de succès est la somme des indicatrices de succès de chaque épreuve). Par linéarité de l'espérance :

\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X_1) + \cdots + \mathbb{E}(X_n) = \underbrace{p + \cdots + p}_{n \text{ termes}} = np

Et par indépendance des $X_i$ (additivité de la variance) :

V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = \underbrace{p(1-p) + \cdots + p(1-p)}_{n \text{ termes}} = np(1-p)

D'où $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ . On retrouve ainsi, démontrées, les formules admises dans le chapitre précédent.

Exercice — Gains à une tombola et généralisation binomiale

Un participant joue à deux jeux indépendants lors d'une tombola.

Au jeu $A$ , son gain (en euros) est une variable aléatoire $X$ telle que $\mathbb{P}(X=5) = 0{,}2$ et $\mathbb{P}(X=0) = 0{,}8$ .

Au jeu $B$ , son gain (en euros) est une variable aléatoire $Y$ telle que $\mathbb{P}(Y=10) = 0{,}1$ et $\mathbb{P}(Y=0) = 0{,}9$ .

On note $G = X + Y$ le gain total du participant.

Calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{E}(Y)$ . En déduire $\mathbb{E}(G)$ .
Calculer $V(X)$ et $V(Y)$ (on pourra utiliser $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ ). Les jeux étant indépendants, en déduire $V(G)$ .
Parmi les $15$ participants de la tombola, qui jouent tous indépendamment les uns des autres, on note $Z$ le nombre de participants qui gagnent au jeu $A$ (c'est-à-dire obtiennent $X=5$ ). Justifier que $Z$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, écrire $Z$ comme une somme de $15$ variables de Bernoulli indépendantes, puis calculer $\mathbb{E}(Z)$ , $V(Z)$ et $\sigma(Z)$ (arrondir au millième).

Exercice — Somme et différence de deux dés : appliquer la linéarité et l'additivité

On lance deux dés équilibrés à six faces, de résultats respectifs $X$ et $Y$ . Les deux lancers sont indépendants.

Rappeler la loi de $X$ (uniforme sur $\{1,\ldots,6\}$ ), puis calculer $\mathbb{E}(X)$ et $V(X)$ (on calculera $\mathbb{E}(X^2)$ puis on utilisera $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ ). $Y$ suit la même loi que $X$ .
Soit $S = X+Y$ la somme des deux dés. Calculer $\mathbb{E}(S)$ , puis $V(S)$ (les deux lancers étant indépendants).
Soit $D = X - Y$ l'écart entre les deux résultats. En écrivant $D = X + (-1)Y$ , calculer $\mathbb{E}(D)$ et $V(D)$ à l'aide des propriétés $\mathbb{E}(aY) = a\,\mathbb{E}(Y)$ et $V(aY) = a^2\,V(Y)$ .
Comparer $V(D)$ et $V(S)$ . Ce résultat est-il surprenant ? Expliquer, à l'aide des formules utilisées, pourquoi changer un signe ne change pas la variance.

Exercice — Attention à l'indépendance : une somme de variables dépendantes

Une urne contient $2$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire une seule boule au hasard. On note $X$ la variable aléatoire valant $1$ si la boule tirée est blanche, $0$ sinon ; et $Y$ la variable aléatoire valant $1$ si la boule tirée est noire, $0$ sinon.

Donner la loi de $X$ et la loi de $Y$ , puis calculer $\mathbb{E}(X)$ , $V(X)$ , $\mathbb{E}(Y)$ , $V(Y)$ .
Justifier que $X+Y = 1$ pour toute issue de l'expérience. Calculer $\mathbb{E}(X+Y)$ par linéarité, et vérifier que le résultat est cohérent avec le fait que $X+Y$ est une variable constante.
Une variable aléatoire constante a une variance nulle (le justifier à partir de la définition de la variance). En déduire $V(X+Y)$ , puis comparer ce résultat à $V(X)+V(Y)$ .
En utilisant la définition de l'indépendance rappelée dans le cours, calculer $\mathbb{P}\big((X=1)\cap(Y=1)\big)$ et $\mathbb{P}(X=1)\times\mathbb{P}(Y=1)$ . Que peut-on en conclure sur l'indépendance de $X$ et $Y$ ? Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

QCM — Linéarité de l'espérance et variance d'une somme

X

Y

sont deux variables aléatoires quelconques (pas nécessairement indépendantes) définies sur le même univers. Que vaut

\mathbb{E}(X+Y)

X

Y

sont deux variables aléatoires indépendantes. Quelle égalité est vraie ?

X

Y

sont deux variables aléatoires indépendantes telles que

\mathbb{E}(X)=3

V(X)=2

\mathbb{E}(Y)=5

V(Y)=4

. On pose

Z=2X-3Y

. Que valent

\mathbb{E}(Z)

V(Z)

Échantillon : somme et moyenne de n variables indépendantes

Échantillon de taille $n$

Définition. Soit une loi de probabilité, d'espérance $\mu$ , de variance $\sigma^2$ et d'écart type $\sigma$ . On appelle échantillon de taille $n$ de cette loi une liste $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la même loi (on dit qu'elles sont identiquement distribuées).

Exemple. Le temps d'attente à une caisse suit une certaine loi de probabilité, d'espérance $\mu = 4$ (minutes) et d'écart type $\sigma = 1{,}5$ . Si l'on observe les temps d'attente de $50$ clients successifs, indépendants les uns des autres, on obtient un échantillon de taille $50$ de cette loi.

Somme et moyenne de l'échantillon

À partir d'un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ , on définit :

la somme de l'échantillon : $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ ;
la moyenne de l'échantillon : $M_n = \dfrac{S_n}{n} = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ .

Espérance, variance et écart type de $S_n$

Propriété. Pour un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ :

\mathbb{E}(S_n) = n\mu \qquad V(S_n) = n\sigma^2 \qquad \sigma(S_n) = \sqrt{n}\,\sigma

Démonstration. Par linéarité de l'espérance :

\mathbb{E}(S_n) = \mathbb{E}(X_1) + \cdots + \mathbb{E}(X_n) = \underbrace{\mu + \cdots + \mu}_{n \text{ termes}} = n\mu

Les $X_i$ étant indépendantes et de même variance $\sigma^2$ , par additivité de la variance :

V(S_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = \underbrace{\sigma^2 + \cdots + \sigma^2}_{n \text{ termes}} = n\sigma^2

Espérance, variance et écart type de $M_n$

Propriété. Pour un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ :

\mathbb{E}(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Démonstration. Comme $M_n = \dfrac{1}{n}S_n$ , en utilisant $\mathbb{E}(aX) = a\,\mathbb{E}(X)$ et $V(aX) = a^2\,V(X)$ avec $a = \dfrac{1}{n}$ :

\mathbb{E}(M_n) = \frac{1}{n}\mathbb{E}(S_n) = \frac{1}{n}\times n\mu = \mu \qquad V(M_n) = \frac{1}{n^2}V(S_n) = \frac{1}{n^2}\times n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Remarque. $M_n$ a la même espérance que la loi de départ, mais une variance $n$ fois plus petite : plus la taille de l'échantillon augmente, plus la moyenne $M_n$ se concentre autour de $\mu$ .

Exercice — Volumes versés par une machine : somme et moyenne d'un échantillon

Une machine remplit des bouteilles d'eau. Le volume réellement versé dans une bouteille (en cl) est modélisé par une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mathbb{E}(X) = 50$ et d'écart type $\sigma(X) = 0{,}8$ . On prélève un échantillon de $25$ bouteilles, dont les volumes sont modélisés par $25$ variables aléatoires indépendantes $X_1, \ldots, X_{25}$ , toutes de même loi que $X$ .

On note $S_{25} = X_1 + \cdots + X_{25}$ le volume total versé dans les 25 bouteilles. Calculer $\mathbb{E}(S_{25})$ et $V(S_{25})$ , puis $\sigma(S_{25})$ .
On note $M_{25}$ la moyenne des volumes de l'échantillon. Exprimer $M_{25}$ en fonction de $S_{25}$ , puis calculer $\mathbb{E}(M_{25})$ et $\sigma(M_{25})$ .
Comparer $\sigma(X)$ et $\sigma(M_{25})$ . Que peut-on en déduire sur la dispersion de la moyenne d'un échantillon de 25 bouteilles, comparée à celle d'une seule bouteille ?

Exercice — Temps de trajet en bus : déterminer une taille d'échantillon pour une précision donnée

Le temps de trajet en bus entre deux arrêts, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $T$ d'espérance $\mathbb{E}(T) = 18$ et d'écart type $\sigma(T) = 3$ . On observe un échantillon de taille $n$ de trajets, modélisé par $n$ variables aléatoires indépendantes $T_1,\ldots,T_n$ , toutes de même loi que $T$ , et on note $M_n$ la moyenne de cet échantillon.

Rappeler, en fonction de $n$ , les expressions de $\mathbb{E}(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ .
Calculer $\sigma(M_9)$ , l'écart type de la moyenne pour un échantillon de $9$ trajets.
On souhaite que l'écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0{,}5$ minute. Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant cette condition.
Comparer les deux tailles d'échantillon des questions 2 et 3, ainsi que les écarts types associés. Quel lien reconnaît-on entre le facteur multiplicatif sur $n$ et le facteur sur $\sigma(M_n)$ ?

Exercice — Deux machines de production : combiner deux échantillons indépendants

Une usine dispose de deux machines indépendantes. La machine $A$ produit des pièces dont la masse (en grammes) est modélisée par une variable aléatoire d'espérance $2$ et d'écart type $0{,}1$ . La machine $B$ produit des pièces dont la masse est modélisée par une variable aléatoire d'espérance $2{,}2$ et d'écart type $0{,}15$ . On prélève un échantillon de $50$ pièces indépendantes issues de la machine $A$ (masse totale $S_{50}^A$ ) et, indépendamment, un échantillon de $30$ pièces indépendantes issues de la machine $B$ (masse totale $S_{30}^B$ ).

Calculer $\mathbb{E}(S_{50}^A)$ , $V(S_{50}^A)$ et $\sigma(S_{50}^A)$ (arrondir l'écart type au millième).
Calculer de même $\mathbb{E}(S_{30}^B)$ , $V(S_{30}^B)$ et $\sigma(S_{30}^B)$ (arrondir au millième).
On note $T = S_{50}^A + S_{30}^B$ la masse totale des $80$ pièces prélevées (des deux machines réunies). En justifiant que $S_{50}^A$ et $S_{30}^B$ sont indépendantes, calculer $\mathbb{E}(T)$ , $V(T)$ et $\sigma(T)$ (arrondir au millième).
On note $M_{80} = \dfrac{T}{80}$ la masse moyenne par pièce sur l'ensemble des $80$ pièces. Calculer $\mathbb{E}(M_{80})$ , puis $\sigma(M_{80})$ (arrondir au dix-millième).

QCM — Échantillon, somme et moyenne

1. Soit

(X_1,\ldots,X_n)

un échantillon de taille

n

d'une loi d'espérance

\mu

et de variance

\sigma^2

. Que vaut

\mathbb{E}(S_n)

où

S_n=X_1+\cdots+X_n

2. Avec les mêmes notations, quel est l'écart-type de la moyenne

M_n=\dfrac{S_n}{n}

3. Le poids d'un paquet de farine produit par une machine suit une loi d'espérance

\mu=1000

(grammes) et d'écart type

\sigma=12

. On prélève un échantillon de

n=16

paquets, supposés indépendants. Quel est l'écart-type de la moyenne

M_{16}

de cet échantillon ?

Exercices bilan

Calculer une espérance par linéarité, sans hypothèse d'indépendance

ApplicationCorrigé gratuit

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers (on ne fait aucune hypothèse d'indépendance entre elles), telles que $\mathbb{E}(X)=12$ et $\mathbb{E}(Y)=-5$ .

Calculer $\mathbb{E}(X+Y)$ , en précisant la propriété du cours utilisée et pourquoi elle s'applique ici même sans indépendance.
Calculer $\mathbb{E}(3X)$ .
En déduire $\mathbb{E}(2X-5Y)$ .

Calculer la variance d'une somme et d'un multiple de variables indépendantes

Application

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, telles que $V(X)=4$ et $V(Y)=9$ .

Calculer $V(X+Y)$ , en précisant pourquoi l'indépendance de $X$ et $Y$ est indispensable pour ce calcul.
Calculer $V(2X)$ .
En écrivant $X-Y = X+(-1)\times Y$ , calculer $V(X-Y)$ .
On donne de plus $\mathbb{E}(X)=6$ . Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Retrouver l'espérance et la variance d'une loi binomiale en la décomposant en somme de variables de Bernoulli

EntraînementCorrigé gratuit

On répète, de façon identique et indépendante, $n=10$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ . Pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant10$ , on note $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si la $i$ -ième épreuve est un succès, $0$ sinon, et $X=X_1+X_2+\cdots+X_{10}$ le nombre total de succès (de sorte que $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}3)$ ). On souhaite retrouver l'espérance et la variance de $X$ en les décomposant à l'aide des $X_i$ , sans utiliser directement les formules $\mathbb{E}(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ (on les vérifiera seulement à la fin).

Rappeler la loi de Bernoulli suivie par chaque $X_i$ , puis donner $\mathbb{E}(X_i)$ et $V(X_i)$ .
En utilisant la linéarité de l'espérance, calculer $\mathbb{E}(X)$ .
Justifier que les variables $X_1,\ldots,X_{10}$ sont indépendantes, puis calculer $V(X)$ par additivité de la variance.
En déduire $\sigma(X)$ , arrondi au centième.
Vérifier la cohérence des résultats des questions 2 et 3 avec les formules $\mathbb{E}(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ de la loi binomiale.

Étudier la somme d'un échantillon : espérance, variance et écart-type

Entraînement

Le temps de traitement d'un dossier administratif, en minutes, suit une loi de probabilité d'espérance $\mu=8$ et de variance $\sigma^2=4$ (donc d'écart type $\sigma=2$ ). Les temps de traitement de $25$ dossiers, indépendants les uns des autres, forment un échantillon de taille $n=25$ de cette loi. On note $S_n$ la somme de cet échantillon (le temps total de traitement des $25$ dossiers).

Rappeler la définition d'un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité.
Calculer $\mathbb{E}(S_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Calculer $V(S_n)$ puis $\sigma(S_n)$ .
Le service dispose d'un total de $220$ minutes pour traiter ces $25$ dossiers. Situer cette durée de $220$ minutes par rapport à $\mathbb{E}(S_n)$ et $\sigma(S_n)$ (aucun calcul de probabilité n'est demandé ici).

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étudier l'effet de la taille d'un échantillon sur la dispersion de sa moyenne

Entraînement

Le poids d'un paquet de farine produit par une machine, en grammes, suit une loi de probabilité d'espérance $\mu=1000$ et d'écart type $\sigma=8$ . On prélève un échantillon de $n$ paquets, indépendants les uns des autres, et on note $M_n$ la moyenne des poids de cet échantillon.

Calculer $\mathbb{E}(M_n)$ et $V(M_n)$ pour $n=16$ .
Calculer $\sigma(M_n)$ pour $n=16$ , puis pour $n=64$ .
Comparer les deux valeurs de $\sigma(M_n)$ obtenues à la question 2. Que peut-on en déduire sur la dispersion de $M_n$ autour de $\mu$ lorsque la taille de l'échantillon augmente ?

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Distinguer linéarité de l'espérance et additivité de la variance selon l'indépendance

Entraînement

Lors d'un examen, la note de la partie théorique, notée $T$ , et celle de la partie pratique, notée $P$ , portent sur les mêmes compétences : on ne suppose donc pas $T$ et $P$ indépendantes. On donne $\mathbb{E}(T)=12$ , $V(T)=4$ , $\mathbb{E}(P)=14$ et $V(P)=9$ . La note finale est $N=T+P$ .

Calculer $\mathbb{E}(N)$ . Justifier que ce calcul reste valable même si $T$ et $P$ ne sont pas indépendantes.
Peut-on calculer $V(N)$ à partir des seules données de l'énoncé ? Justifier précisément la réponse.
Un second examen comporte deux modules de QCM, $M_1$ et $M_2$ , corrigés par deux systèmes automatiques indépendants et portant sur des chapitres disjoints du programme : on suppose cette fois $M_1$ et $M_2$ indépendantes. On donne $V(M_1)=2$ et $V(M_2)=3$ . Calculer $V(M_1+M_2)$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Retards en classe et temps de trajet : décomposition binomiale et simulation d'un échantillon

Type bac

Une classe compte $30$ élèves. Chaque jour, chaque élève a, de manière indépendante des autres, une probabilité $0{,}05$ d'arriver en retard.

Partie A — Nombre d'élèves en retard

Pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant30$ , on note $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si l'élève $i$ est en retard un jour donné, $0$ sinon, et $X=X_1+X_2+\cdots+X_{30}$ le nombre d'élèves en retard ce jour-là.

Donner $\mathbb{E}(X_i)$ et $V(X_i)$ .
En utilisant la linéarité de l'espérance, calculer $\mathbb{E}(X)$ .
En justifiant que les $X_i$ sont indépendantes, calculer $V(X)$ par additivité de la variance, puis en déduire $\sigma(X)$ (arrondi au centième).
Quelle loi suit $X$ ? Vérifier la cohérence des résultats des questions 2 et 3 avec les formules $\mathbb{E}(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ .

Partie B — Un échantillon de temps de trajet

Le temps de trajet domicile-lycée d'un élève choisi au hasard dans cette classe, en minutes, suit une loi de probabilité d'espérance $\mu=18$ et d'écart type $\sigma=6$ . On considère les temps de trajet des $30$ élèves de la classe comme un échantillon de taille $n=30$ de cette loi (les temps de trajet des différents élèves étant supposés indépendants). On note $M_n$ la moyenne de cet échantillon.

Calculer $\mathbb{E}(M_n)$ et $V(M_n)$ , puis $\sigma(M_n)$ (arrondi au centième).
On simule cette situation en Python, le temps de trajet de chaque élève étant simulé par une loi normale d'espérance $18$ et d'écart type $6$ à l'aide du module random. Compléter le programme suivant pour qu'il renvoie la moyenne d'un échantillon simulé de taille $n$ :

import random
 
def moyenne_echantillon(n, mu, sigma):
    """Simule un echantillon de taille n d'une loi d'esperance mu et
    d'ecart type sigma, et renvoie la moyenne de cet echantillon."""
    echantillon = [...]  # a completer, a l'aide de random.gauss(mu, sigma)
    return ...  # a completer
 
print(moyenne_echantillon(30, 18, 6))

De quelle valeur théorique, calculée à la question 5, la valeur affichée par ce programme devrait-elle généralement être proche ?

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Chapitre suivant

Sommes de variables aléatoires

Linéarité de l'espérance et variance d'une somme de variables indépendantes

Somme de deux variables aléatoires

Linéarité de l'espérance

Variables indépendantes

Variance d'une somme, variance de aXaXaX

Application : espérance, variance et écart type de la loi binomiale

QCM — Linéarité de l'espérance et variance d'une somme

Échantillon : somme et moyenne de n variables indépendantes

Échantillon de taille nnn

Somme et moyenne de l'échantillon

Espérance, variance et écart type de SnS_nSn​

Espérance, variance et écart type de MnM_nMn​

QCM — Échantillon, somme et moyenne

Exercices bilan

Calculer une espérance par linéarité, sans hypothèse d'indépendance

Calculer la variance d'une somme et d'un multiple de variables indépendantes

Retrouver l'espérance et la variance d'une loi binomiale en la décomposant en somme de variables de Bernoulli

Étudier la somme d'un échantillon : espérance, variance et écart-type

Étudier l'effet de la taille d'un échantillon sur la dispersion de sa moyenne

Distinguer linéarité de l'espérance et additivité de la variance selon l'indépendance

Retards en classe et temps de trajet : décomposition binomiale et simulation d'un échantillon

Variance d'une somme, variance de $aX$

Échantillon de taille $n$

Espérance, variance et écart type de $S_n$

Espérance, variance et écart type de $M_n$