Première

Probabilités conditionnelles et indépendance

Après avoir découvert les probabilités en classe de seconde, on étudie ici comment une information partielle modifie l'évaluation d'une probabilité : c'est la notion de probabilité conditionnelle. On verra aussi comment représenter des expériences à plusieurs étapes à l'aide d'arbres pondérés, et comment calculer la probabilité d'un événement grâce à la formule des probabilités totales.

Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

Lorsqu'une information partielle sur le résultat d'une expérience aléatoire est connue, elle permet souvent de réévaluer la probabilité d'un événement. C'est l'objet de la probabilité conditionnelle.

Définition. Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ , avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé est notée $P_A(B)$ , et définie par :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Remarque. $P_A(B)$ est bien une probabilité : $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$ , et $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ .

Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note $R$ l'événement « la carte est rouge » et $D$ l'événement « la carte est une dame ». Il y a 16 cartes rouges, dont 2 dames rouges (cœur et carreau). Donc :

P_R(D) = \dfrac{P(R \cap D)}{P(R)} = \dfrac{2/32}{16/32} = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}

Propriété fondamentale

De la définition, on tire immédiatement la relation suivante, très utile pour calculer $P(A \cap B)$ à l'aide d'un arbre pondéré (voir la notion suivante) :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)

Cette égalité permet aussi de retrouver $P_B(A)$ à partir de $P_A(B)$ , ou inversement.

Lire un tableau croisé d'effectifs

Un tableau à double entrée résume souvent une expérience aléatoire à deux caractères. On y lit directement les effectifs, puis les probabilités (ou fréquences) en divisant par l'effectif total.

Exemple. 200 élèves de terminale d'un lycée sont répartis selon leur sexe et leur vœu prioritaire d'orientation :

	CPGE	Université	Total
Filles	42	78	120
Garçons	38	42	80
Total	80	120	200

On choisit un élève au hasard. Notons $F$ « l'élève est une fille » et $C$ « l'élève vise une CPGE ». On lit directement dans le tableau :

P(F) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6 \qquad P(C) = \dfrac{80}{200} = 0{,}4 \qquad P(F \cap C) = \dfrac{42}{200} = 0{,}21

et on en déduit la probabilité conditionnelle :

P_F(C) = \dfrac{P(F \cap C)}{P(F)} = \dfrac{0{,}21}{0{,}6} = 0{,}35

Indépendance de deux événements

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants lorsque :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Propriété. Si $P(A) \neq 0$ , les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ : autrement dit, savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$ .

Dans l'exemple précédent, $P(F) \times P(C) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24 \neq 0{,}21 = P(F \cap C)$ : les événements $F$ et $C$ ne sont pas indépendants (dans ce lycée, les filles visent proportionnellement moins souvent une CPGE que les garçons).

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ , $A$ et $\overline{B}$ , ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ , le sont aussi.

Attention. Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles ! Deux événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) tels que $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$ ne sont jamais indépendants, puisque $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B)$ .

Exercice — Tableau croisé : orientation post-bac

On interroge 200 élèves de terminale d'un lycée sur leur sexe et leur vœu prioritaire d'orientation (CPGE ou Université) :

	CPGE	Université	Total
Filles	42	78	120
Garçons	38	42	80
Total	80	120	200

On interroge au hasard un élève de ce lycée. On note $F$ l'événement « l'élève interrogé est une fille » et $C$ l'événement « l'élève interrogé vise une CPGE ».

Calculer $P(F)$ , $P(C)$ et $P(F \cap C)$ .
Calculer $P_F(C)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Calculer $P_C(F)$ .
Les événements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Exercice — Calcul direct de probabilités conditionnelles (sans tableau)

Dans une bibliothèque scolaire, on choisit au hasard un livre parmi tous ceux empruntés la semaine dernière. On note :

$R$ l'événement « le livre emprunté est un roman » ;
$J$ l'événement « le livre a été emprunté par un lecteur de moins de 18 ans ».

On donne $P(R) = 0{,}5$ , $P(J) = 0{,}4$ et $P(R \cap J) = 0{,}25$ .

Calculer $P_R(J)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Calculer $P_J(R)$ . Ce nombre est-il égal à $P_R(J)$ ? Que peut-on en conclure, plus généralement, sur la comparaison entre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ?
Les événements $R$ et $J$ sont-ils indépendants ? Justifier à l'aide de la définition, sans construire de tableau.

Exercice — Déterminer un effectif inconnu pour rendre deux événements indépendants

Une association sportive compte 100 adhérents. Parmi eux, 40 sont des femmes et 25 pratiquent la compétition. On ne connaît pas le nombre exact d'adhérentes pratiquant la compétition : on le note $n$ , avec $n$ un entier compris entre $0$ et $25$ .

On choisit un adhérent au hasard parmi les 100. On note $A$ l'événement « l'adhérent choisi est une femme » et $S$ l'événement « l'adhérent choisi pratique la compétition ».

Exprimer $P(A \cap S)$ en fonction de $n$ , puis calculer $P(A)$ et $P(S)$ .
Déterminer la valeur de $n$ pour laquelle les événements $A$ et $S$ sont indépendants.
Avec cette valeur de $n$ , calculer $P_S(A)$ et vérifier qu'elle est bien égale à $P(A)$ .

QCM — Probabilité conditionnelle et indépendance

1. Soit

A

B

deux événements avec

P(A) \neq 0

. Comment est définie

P_A(B)

2. On considère deux événements

A

B

tels que

P(A) = 0{,}5

P(B) = 0{,}3

P(A \cap B) = 0{,}15

. Que peut-on dire de

A

B

3. On donne

P(A)=0{,}4

P_A(B)=0{,}25

P(B)=0{,}3

. Les événements

A

B

sont-ils indépendants ?

Arbres pondérés et probabilités totales

Arbre pondéré : règle du produit et de la somme

Un arbre pondéré représente une succession d'épreuves. Chaque branche porte une probabilité, et chaque chemin (de la racine à une feuille) correspond à une issue.

Règle du produit. La probabilité associée à un chemin s'obtient en multipliant les probabilités inscrites sur ses branches. Par exemple, pour un premier niveau $A$ ou $\overline{A}$ suivi d'un second niveau $B$ ou $\overline{B}$ :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

Règle des nœuds. La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 1 :

P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1

Règle de la somme. Lorsqu'un événement $E$ correspond à plusieurs chemins de l'arbre, sa probabilité est la somme des probabilités de chacun de ces chemins.

Partition de l'univers (système complet d'événements)

Définition. Des événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ de probabilités non nulles forment une partition de l'univers $\Omega$ (ou un système complet d'événements) lorsque :

ils sont deux à deux incompatibles : $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j$ ;
leur réunion est égale à $\Omega$ : $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$ .

Le cas le plus courant est la partition la plus simple, formée d'un événement $A$ et de son contraire $\overline{A}$ .

Formule des probabilités totales

Théorème. Soit $A_1, A_2, \ldots, A_n$ une partition de $\Omega$ . Pour tout événement $B$ :

P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n) \times P_{A_n}(B)

Dans le cas d'une partition $\{A ; \overline{A}\}$ , cela donne simplement :

P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

Succession de deux épreuves indépendantes

Lorsqu'on répète deux expériences aléatoires indépendantes (le résultat de l'une n'influence pas l'autre), on peut représenter la situation par un arbre à deux niveaux, ou par un tableau à double entrée dans le cas de deux expériences identiques. La probabilité d'une issue $(x, y)$ est alors le produit des probabilités de $x$ et de $y$ pris séparément.

Exemple. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces. La probabilité d'obtenir un 6 puis un nombre pair est $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{12}$ , car les deux lancers sont indépendants.

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ : le piège des faux positifs

Il ne faut jamais confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ce sont, en général, deux nombres différents ! Un exemple classique est celui d'un test de dépistage.

Exemple. Dans une population, 2 % des personnes sont porteuses d'une maladie (événement $M$ ). On dispose d'un test tel que :

si une personne est malade, le test est positif dans 95 % des cas (sensibilité du test) : $P_M(T) = 0{,}95$ ;
si une personne n'est pas malade, le test est positif dans 10 % des cas (« faux positif ») : $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}10$ .

L'arbre pondéré donne $P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$ et $P(\overline{M} \cap T) = 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}098$ . La formule des probabilités totales donne alors :

P(T) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117

On peut alors calculer la probabilité inverse, celle d'être malade sachant que le test est positif :

P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162

Alors que le test détecte 95 % des malades ( $P_M(T) = 0{,}95$ ), une personne testée positive n'a en réalité qu'environ 16 % de chances d'être malade ( $P_T(M) \approx 0{,}162$ ) : la rareté de la maladie dans la population fait que les faux positifs (nombreux, car 98 % de la population n'est pas malade) l'emportent largement sur les vrais positifs. C'est le fameux « paradoxe des faux positifs ».

La figure ci-dessous reprend cet arbre : cliquez sur une feuille (ou utilisez les boutons) pour suivre un chemin et voir le calcul de sa probabilité, puis observez la formule des probabilités totales pour l'événement « Test + ».

Test de dépistage

Cliquez sur une feuille ou utilisez les boutons pour suivre un chemin de l'arbre.

Règle du produit. P(Malade (M) ∩ Test +) = 0,02 × 0,95 = 0,019.

Formule des probabilités totales. P(Test +) = 0,019 + 0,098 = 0,117 (somme des 2 chemins menant à « Test + »).

Chemin 1/4

Exercice — Un test de dépistage en entreprise

Dans une grande entreprise, une maladie chronique touche 2 % des employés. La médecine du travail propose un test de dépistage rapide qui a les propriétés suivantes :

si un employé est malade, le test est positif dans 95 % des cas ;
si un employé n'est pas malade, le test est positif dans 10 % des cas (faux positif).

On choisit un employé au hasard et on note :

$M$ : « l'employé est malade » ;
$T$ : « le test est positif ».

Construire l'arbre pondéré associé à cette situation.
Calculer $P(M \cap T)$ et $P(\overline{M} \cap T)$ .
Montrer que $P(T) = 0{,}117$ .
Calculer $P_T(M)$ (arrondi au millième) et interpréter ce résultat en le comparant à $P_M(T)$ .

Exercice — Probabilités totales avec une partition à trois événements (contrôle qualité)

Une usine fabrique des pièces mécaniques à l'aide de trois machines $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ . La machine $M_1$ produit 50 % des pièces, la machine $M_2$ en produit 30 % et la machine $M_3$ en produit 20 %. On sait par ailleurs que 2 % des pièces produites par $M_1$ sont défectueuses, 3 % de celles produites par $M_2$ , et 5 % de celles produites par $M_3$ .

On choisit au hasard une pièce parmi la production totale de l'usine. On note $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ les événements « la pièce provient de la machine $M_1$ » (resp. $M_2$ , $M_3$ ), et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Justifier que $\{M_1 ; M_2 ; M_3\}$ forme une partition de l'univers, puis décrire l'arbre pondéré associé à cette situation (premier niveau : $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ ; second niveau, depuis chaque branche : $D$ ou $\overline{D}$ ).
Calculer $P(M_1 \cap D)$ , $P(M_2 \cap D)$ et $P(M_3 \cap D)$ .
En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(D) = 0{,}029$ .
Une pièce est tirée au hasard et s'avère défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_1$ (arrondir au millième).

Exercice — Un arbre à trois niveaux : lancers répétés d'une pièce truquée

Une pièce de monnaie truquée est telle que la probabilité d'obtenir Face est $0{,}6$ (et donc Pile avec probabilité $0{,}4$ ). On lance cette pièce trois fois de suite, les trois lancers étant indépendants.

Décrire l'arbre pondéré à trois niveaux représentant cette expérience, et indiquer le nombre total de chemins possibles.
Calculer la probabilité $P(FFF)$ d'obtenir Face aux trois lancers.
En dénombrant les chemins de l'arbre correspondants, calculer la probabilité d'obtenir exactement deux Faces sur les trois lancers.
En déduire la probabilité d'obtenir au moins deux Faces sur les trois lancers.
En passant par l'événement contraire, calculer la probabilité d'obtenir au moins une Face sur les trois lancers.

QCM — Arbres pondérés et probabilités totales

A_1

A_2

forment une partition de l'univers

\Omega

. D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement

B

2. Dans l'exemple du test de dépistage, que représente

P_T(M)

3. Une usine reçoit des pièces provenant de deux fournisseurs :

60\%

des pièces viennent du fournisseur

F_1

40\%

du fournisseur

F_2

. Le taux de pièces défectueuses est de

2\%

chez

F_1

et de

5\%

chez

F_2

. On prend une pièce au hasard dans le stock de l'usine et on note

D

l'événement « la pièce est défectueuse ». Que vaut

P(D)

Exercices bilan

Lire un tableau croisé et tester l'indépendance de deux événements

ApplicationCorrigé gratuit

Un lycée organise un séjour sportif pour ses $200$ élèves de Première et de Terminale. Chaque élève choisit une activité et une seule : la randonnée ou l'escalade. Le tableau ci-dessous donne la répartition obtenue.

	Randonnée	Escalade	Total
Première	$72$	$48$	$120$
Terminale	$28$	$52$	$80$
Total	$100$	$100$	$200$

On interroge au hasard un élève inscrit au séjour, chaque élève ayant la même probabilité d'être choisi.

On note $A$ l'événement « l'élève est en Première » et $R$ l'événement « l'élève a choisi la randonnée ».

Calculer $P(A)$ , $P(R)$ et $P(A \cap R)$ .
Calculer $P_A(R)$ , puis interpréter ce nombre par une phrase.
Calculer $P_R(A)$ . Obtient-on le même nombre qu'à la question précédente ?
Les événements $A$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
Calculer $P_{\overline{A}}(\overline{R})$ et interpréter ce nombre.

Calculer une probabilité totale sur un arbre pondéré à deux niveaux

Application

Une entreprise fabrique un même modèle de pièce dans deux ateliers.

L'atelier A fabrique $75\ \%$ des pièces, l'atelier B fabrique le reste.
Parmi les pièces sorties de l'atelier A, $4\ \%$ sont défectueuses.
Parmi les pièces sorties de l'atelier B, $12\ \%$ sont défectueuses.

On prélève au hasard une pièce dans la production totale de la journée. On note :

$A$ l'événement « la pièce provient de l'atelier A », de sorte que $\overline{A}$ est l'événement « la pièce provient de l'atelier B » ;
$D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités, puis décrire l'arbre pondéré de la situation en donnant, pour chaque nœud, les branches qui en partent et leur probabilité. Vérifier la règle des nœuds.
Calculer $P(A \cap D)$ et $P(\overline{A} \cap D)$ .
En déduire $P(D)$ . On nommera la formule utilisée.
La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier A ? Commenter ce résultat.

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Remonter d'un défaut à son fournisseur avec une partition à trois éléments

EntraînementCorrigé gratuit

Un distributeur de matériel électrique s'approvisionne en ampoules LED auprès de trois fournisseurs.

Le fournisseur $F_1$ livre $50\ \%$ des ampoules du stock, le fournisseur $F_2$ en livre $30\ \%$ et le fournisseur $F_3$ livre le reste.
Parmi les ampoules livrées par $F_1$ , $2\ \%$ sont défectueuses.
Parmi celles livrées par $F_2$ , $5\ \%$ sont défectueuses.
Parmi celles livrées par $F_3$ , $10\ \%$ sont défectueuses.

On prélève au hasard une ampoule du stock, chaque ampoule ayant la même probabilité d'être choisie. On note $D$ l'événement « l'ampoule prélevée est défectueuse ».

Justifier que $F_1$ , $F_2$ et $F_3$ forment une partition de l'univers. Décrire ensuite l'arbre pondéré de la situation en donnant, pour chaque nœud, les branches qui en partent et leur probabilité, puis vérifier la règle des nœuds.
Calculer $P(F_1 \cap D)$ , $P(F_2 \cap D)$ et $P(F_3 \cap D)$ .
En déduire $P(D)$ . On nommera explicitement la formule utilisée.
L'ampoule prélevée est défectueuse. Calculer $P_D(F_1)$ , $P_D(F_2)$ et $P_D(F_3)$ , puis vérifier que ces trois nombres ont pour somme $1$ . Quel fournisseur est le plus souvent en cause ?
Les événements $F_1$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

Répéter trois épreuves indépendantes et dénombrer les chemins

Entraînement

Une joueuse de basket-ball tire trois lancers francs de suite. Chaque lancer est réussi avec la probabilité $0{,}8$ , et les trois lancers sont indépendants les uns des autres : le résultat d'un lancer n'influence pas les suivants.

Pour $i$ valant $1$ , $2$ ou $3$ , on note $R_i$ l'événement « le $i$ -ième lancer est réussi ». L'événement contraire $\overline{R_i}$ signifie donc que le $i$ -ième lancer est manqué.

L'arbre pondéré de la situation comporte trois niveaux. Combien a-t-il de chemins ? Quelles probabilités portent les branches, et en quoi l'hypothèse d'indépendance est-elle indispensable pour pouvoir les écrire ?
Calculer la probabilité que les trois lancers soient réussis.
Calculer la probabilité qu'aucun lancer ne soit réussi, puis en déduire la probabilité qu'au moins un lancer soit réussi.
Calculer la probabilité qu'exactement deux lancers soient réussis, en énumérant tous les chemins concernés.
Calculer de même la probabilité qu'exactement un lancer soit réussi, puis vérifier que les quatre probabilités correspondant à $0$ , $1$ , $2$ et $3$ réussites ont pour somme $1$ .
Le premier lancer a été réussi. Quelle est alors la probabilité qu'il y ait exactement deux lancers réussis au total ?

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Comparer un tirage sans remise et un tirage avec remise

Entraînement

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges et $3$ boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

Pour $i$ valant $1$ ou $2$ , on note $R_i$ l'événement « la $i$ -ième boule tirée est rouge ». L'événement contraire $\overline{R_i}$ signifie donc que la $i$ -ième boule tirée est noire.

Décrire l'arbre pondéré de la situation en donnant, pour chaque nœud, les branches qui en partent et leur probabilité. Expliquer pourquoi les probabilités du second niveau ne sont pas les mêmes que celles du premier, et vérifier la règle des nœuds.
Calculer la probabilité de chacun des quatre chemins, puis vérifier que leur somme vaut $1$ .
Calculer $P(R_2)$ en nommant la formule utilisée. Comparer avec $P(R_1)$ et commenter.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge au cours des deux tirages.
La deuxième boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité que la première l'ait été aussi ?
Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Que se passerait-il si le tirage avait lieu avec remise ?

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Déterminer une probabilité inconnue à l'aide des probabilités totales

Entraînement

Une entreprise de vente en ligne expédie ses colis depuis deux entrepôts, l'entrepôt A et l'entrepôt B. On prélève au hasard un colis expédié dans la journée et on note :

$A$ l'événement « le colis part de l'entrepôt A », de sorte que $\overline{A}$ est l'événement « le colis part de l'entrepôt B » ;
$R$ l'événement « le colis est livré en retard ».

Le service logistique connaît les taux de retard de chaque entrepôt :

P_A(R) = 0{,}05 \qquad\qquad P_{\overline{A}}(R) = 0{,}15

En revanche, la répartition des expéditions entre les deux entrepôts n'est pas connue. On pose $x = P(A)$ , avec $0 \lt x \lt 1$ .

Décrire l'arbre pondéré de la situation, les probabilités du premier niveau étant exprimées en fonction de $x$ .
Montrer que $P(R) = 0{,}15 - 0{,}10\,x$ . On nommera la formule utilisée.
Le service qualité a mesuré que $9\ \%$ des colis arrivent en retard. Déterminer $x$ .
Un colis est arrivé en retard. Calculer la probabilité qu'il soit parti de l'entrepôt A, puis interpréter ce résultat.
On prélève au hasard deux colis de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'au moins l'un des deux soit livré en retard.
On conserve $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(R) = 0{,}05$ , mais on suppose que l'entrepôt B améliore son organisation : on note $y$ sa nouvelle probabilité de retard, c'est-à-dire $y = P_{\overline{A}}(R)$ . Pour quelle valeur de $y$ les événements $A$ et $R$ deviendraient-ils indépendants ? Interpréter.

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Étude des adhérents d'une association sportive

Type bac

Partie A — Un adhérent choisi au hasard

Une association sportive compte un grand nombre d'adhérents. La moitié d'entre eux ont moins de $18$ ans.

Parmi les adhérents de moins de $18$ ans, $35\ \%$ pratiquent la natation.
Parmi les adhérents de $18$ ans ou plus, $15\ \%$ pratiquent la natation.

On interroge au hasard un adhérent de l'association, tous les adhérents ayant la même probabilité d'être interrogés. On note :

$J$ l'événement « l'adhérent interrogé a moins de $18$ ans » ;
$N$ l'événement « l'adhérent interrogé pratique la natation ».

Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités, puis décrire l'arbre pondéré de la situation en donnant, pour chaque nœud, les branches qui en partent et leur probabilité. Vérifier la règle des nœuds.
Calculer $P(J \cap N)$ et interpréter ce nombre par une phrase.
Montrer que $P(N) = 0{,}25$ . On nommera explicitement la formule utilisée.
L'adhérent interrogé pratique la natation. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de $18$ ans ?
Les événements $J$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B — Trois adhérents choisis au hasard

L'effectif de l'association est suffisamment grand pour que le choix de trois adhérents au hasard puisse être assimilé à trois tirages indépendants, la probabilité qu'un adhérent interrogé pratique la natation restant égale à $0{,}25$ à chaque tirage.

Calculer la probabilité qu'aucun des trois adhérents interrogés ne pratique la natation. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible, puis sa valeur décimale exacte.
En déduire la probabilité qu'au moins un des trois adhérents pratique la natation.
Calculer la probabilité qu'exactement un des trois adhérents pratique la natation, en énumérant les chemins concernés. Comparer avec le résultat de la question 6. et commenter.

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Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

Propriété fondamentale

Lire un tableau croisé d'effectifs

Indépendance de deux événements

QCM — Probabilité conditionnelle et indépendance

Arbres pondérés et probabilités totales

Arbre pondéré : règle du produit et de la somme

Partition de l'univers (système complet d'événements)

Formule des probabilités totales

Succession de deux épreuves indépendantes

PA(B)P_A(B)PA​(B) et PB(A)P_B(A)PB​(A) : le piège des faux positifs

QCM — Arbres pondérés et probabilités totales

Exercices bilan

Lire un tableau croisé et tester l'indépendance de deux événements

Calculer une probabilité totale sur un arbre pondéré à deux niveaux

Remonter d'un défaut à son fournisseur avec une partition à trois éléments

Répéter trois épreuves indépendantes et dénombrer les chemins

Comparer un tirage sans remise et un tirage avec remise

Déterminer une probabilité inconnue à l'aide des probabilités totales

Étude des adhérents d'une association sportive

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ : le piège des faux positifs