Première

Variables aléatoires réelles

Une expérience aléatoire produit souvent un résultat numérique : un gain, un score, une durée... On appelle variable aléatoire la fonction qui, à chaque issue, associe ce nombre. Ce chapitre présente la loi de probabilité d'une variable aléatoire, ses paramètres (espérance, variance, écart-type), ainsi que des méthodes de simulation en Python pour observer ces notions sur de grands échantillons. Le programme ne considère ici que des univers finis.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire réelle ?

Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire d'univers fini $\Omega$ , associe un nombre réel. Elle modélise le résultat numérique (gain, score, durée...) associé à cette expérience.

Exemple. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est 1, 2 ou 3, on perd 5 jetons ; si le résultat est 4 ou 5, on gagne 1 jeton ; si le résultat est 6, on gagne 10 jetons. On définit ainsi une variable aléatoire $X$ (le gain) par :

X(1) = X(2) = X(3) = -5 \qquad X(4) = X(5) = 1 \qquad X(6) = 10

Notations

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ , et $a$ un réel. On note :

$\{X = a\}$ l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles $X$ associe la valeur $a$ ;
$\{X \leqslant a\}$ l'ensemble des issues auxquelles $X$ associe une valeur inférieure ou égale à $a$ (de même pour $\{X < a\}$ , $\{X \geqslant a\}$ , $\{X > a\}$ ) ;
$P(X = a)$ la probabilité de l'événement $\{X = a\}$ , et $P(X \leqslant a)$ celle de $\{X \leqslant a\}$ .

Dans l'exemple précédent, $\{X = -5\} = \{1 ; 2 ; 3\}$ , donc $P(X = -5) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ . Déterminer la loi de probabilité de $X$ , c'est calculer $P(X = x_i)$ pour chaque valeur $x_i$ , et présenter le résultat dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$P(X = x_1)$	$P(X = x_2)$	$\ldots$	$P(X = x_n)$

Comme pour toute loi de probabilité, la somme des probabilités vaut 1 :

\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1

Exemple. Pour le jeu de dé précédent, la loi de probabilité de $X$ est :

$x_i$	$-5$	$1$	$10$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

On vérifie bien : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$ .

Exercice — Loi de probabilité d'un tirage dans une urne

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 5 rouges, 4 vertes et 3 jaunes. On tire au hasard une boule. Si elle est rouge, on gagne 2 € ; si elle est verte, on gagne 5 € ; si elle est jaune, on perd 4 €. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $P(X \geqslant 0)$ et interpréter ce résultat.

Exercice — Loi de probabilité d'un gain sur une roue de loterie

Une roue de loterie forain est divisée en 8 secteurs identiques, numérotés de 1 à 8. Un joueur fait tourner la roue et note le numéro $N$ obtenu à l'arrêt (les 8 secteurs sont équiprobables). Le gain du joueur dépend de $N$ : il gagne $0$ € si $N$ est impair, $2$ € si $N \in \{2 ; 4 ; 6\}$ , et $20$ € si $N = 8$ . On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

Donner la probabilité de chaque valeur de $N$ , de $1$ à $8$ .
Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $P(X > 0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Exercice — Loi de probabilité de la somme de deux dés

On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces, l'un rouge et l'un bleu (les deux dés sont distinguables). On note $S$ la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros obtenus.

Combien l'univers de cette expérience compte-t-il d'issues équiprobables (couples formés du résultat du dé rouge et du résultat du dé bleu) ?
Quelles sont les valeurs prises par $S$ ?
En dénombrant, pour chaque valeur, le nombre de couples qui lui correspondent, déterminer la loi de probabilité de $S$ (chaque probabilité sera donnée sous forme de fraction de dénominateur $36$ ).
Calculer $P(S \geqslant 10)$ .
Calculer $P(S = 7)$ , puis $P(S = 2 \text{ ou } S = 12)$ . Comparer ces deux probabilités.

QCM — Variable aléatoire et loi de probabilité

1. Que représente l'ensemble

\{X \leqslant a\}

pour une variable aléatoire

X

2. Une variable aléatoire

X

prend les valeurs

1

2

3

avec

P(X=1) = 0{,}2

P(X=3) = 0{,}5

. Que vaut

P(X=2)

3. Une urne contient

10

boules indiscernables au toucher :

4

rouges,

3

vertes et

3

jaunes. On tire une boule au hasard et on note

X

le gain algébrique défini par :

X=2

si la boule est rouge,

X=5

si elle est verte,

X=-3

si elle est jaune. Que vaut

P(X\geqslant0)

Espérance, variance, écart-type et simulation en Python

Espérance mathématique

Définition. Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . L'espérance de $X$ est le réel :

E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n

L'espérance représente la valeur moyenne que prend $X$ si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire (loi des grands nombres).

Jeu équitable. Si $X$ représente le gain algébrique d'un jeu d'argent, on dit que le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$ .

Variance et écart-type

Définition. La variance de $X$ est le réel positif :

V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i \big(x_i - E(X)\big)^2

et l'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ . Ce sont des indicateurs de la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance.

Formule de König-Huygens (souvent plus rapide à calculer) :

V(X) = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2 - \big[E(X)\big]^2

Exemple. Reprenons l'urne à 12 boules (5 rouges, 4 vertes, 3 jaunes) et le gain $X$ défini par $P(X=-4)=\dfrac{1}{4}$ (jaune), $P(X=2)=\dfrac{5}{12}$ (rouge), $P(X=5)=\dfrac{1}{3}$ (vert).

E(X) = (-4)\times\dfrac{1}{4} + 2\times\dfrac{5}{12} + 5\times\dfrac{1}{3} = -1 + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{3} = 1{,}5

E(X^2) = 16\times\dfrac{1}{4} + 4\times\dfrac{5}{12} + 25\times\dfrac{1}{3} = 4 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{25}{3} = 14

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 14 - 1{,}5^2 = 14 - 2{,}25 = 11{,}75 \qquad \sigma(X) = \sqrt{11{,}75} \approx 3{,}43

Simuler une variable aléatoire en Python

Reprenons l'urne précédente : $X$ vaut $-4$ avec probabilité $\frac14$ , $2$ avec probabilité $\frac{5}{12}$ , et $5$ avec probabilité $\frac13$ . On peut simuler un tirage grâce à un nombre aléatoire dans $[0 ; 1[$ , en découpant l'intervalle selon les probabilités cumulées :

import random
 
def simulation_X():
    """Simule une realisation de la variable aleatoire X (urne de boules)."""
    r = random.random()          # nombre aleatoire dans [0 ; 1[
    if r < 1/4:                  # jaune (3 boules sur 12) : X = -4
        return -4
    elif r < 1/4 + 5/12:         # rouge (5 boules sur 12) : X = 2
        return 2
    else:                        # vert (4 boules sur 12) : X = 5
        return 5

Moyenne d'un échantillon simulé

En répétant la simulation $n$ fois, on obtient un échantillon de taille $n$ , dont on peut calculer la moyenne :

def moyenne_echantillon(n):
    """Renvoie la moyenne d'un echantillon de n simulations de X."""
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + simulation_X()
    return total / n

Distance entre moyenne d'échantillon et espérance

D'après la loi des grands nombres, plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus sa moyenne se rapproche de l'espérance théorique $E(X)$ . On peut mesurer cet écart, et étudier la proportion des échantillons pour lesquels la moyenne reste proche de $E(X)$ , à moins de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ :

def proportion_proche(N, n, esperance, sigma):
    """Simule N echantillons de taille n et renvoie la proportion de ceux
    dont la moyenne est a moins de 2*sigma/racine(n) de l'esperance."""
    compteur = 0
    seuil = 2 * sigma / (n ** 0.5)
    for k in range(N):
        m = moyenne_echantillon(n)
        if abs(m - esperance) < seuil:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N
 
# Exemple d'utilisation, avec E(X) = 1,5 et sigma(X) = racine(11,75) :
# proportion_proche(1000, 30, 1.5, 11.75 ** 0.5)

En pratique, on observe que cette proportion se rapproche de $0{,}95$ lorsque $n$ devient grand : c'est cet intervalle qui sera formalisé en terminale sous le nom d'intervalle de fluctuation.

Exercice — Un jeu de dé : espérance, variance et simulation

On propose le jeu suivant : la mise est de 3 €. On lance un dé équilibré à 6 faces.

si le résultat est 6, le joueur reçoit 12 € ;
si le résultat est 4 ou 5, le joueur est remboursé de sa mise (il reçoit 3 €) ;
sinon (résultat 1, 2 ou 3), le joueur ne reçoit rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique net du joueur (différence entre ce qu'il reçoit et sa mise de 3 €).

Déterminer les valeurs prises par $X$ , puis sa loi de probabilité.
Calculer $E(X)$ . Le jeu est-il équitable ?
Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ (on arrondira à $10^{-2}$ près).
Écrire une fonction Python simulation_jeu() qui simule une partie (à l'aide de random.randint(1, 6)) et renvoie le gain net $X$ .

Exercice — Loi donnée directement : espérance, variance et simulation Python

Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité :

$x_i$	$-2$	$0$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}4$	$0{,}35$	$0{,}25$

Vérifier que cette loi de probabilité est valide (on précisera la propriété utilisée).
Calculer $E(X)$ .
Calculer $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma(X)$ (arrondi à $10^{-2}$ près).
Écrire une fonction Python simulation_X() qui simule une réalisation de $X$ à l'aide de random.random(), sur le modèle de la méthode vue en cours (découpage de l'intervalle $[0\,;1[$ selon les probabilités cumulées).
En utilisant la fonction moyenne_echantillon(n) du cours (qui appelle simulation_X() à chaque itération), quelle valeur attend-on d'obtenir, approximativement, pour moyenne_echantillon(10000) ? Justifier à l'aide d'un résultat du cours.

Exercice — Comparer deux jeux à l'aide de l'espérance et de la variance

Pour financer un voyage scolaire, le foyer d'un lycée propose deux jeux lors d'une kermesse.

Jeu A. La mise est de 2 €. Le joueur tire une carte au hasard parmi 20 cartes numérotées de 1 à 20. S'il tire un multiple de 5, il reçoit 10 € ; sinon, il ne reçoit rien. On note $X$ le gain net du joueur (différence entre ce qu'il reçoit et sa mise de 2 €).

Jeu B. La mise est de 2 €. Le joueur lance un dé équilibré à 6 faces. S'il obtient 6, il reçoit 6 € ; sinon, il ne reçoit rien. On note $Y$ le gain net du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ , puis celle de $Y$ .
Calculer $E(X)$ et $E(Y)$ . Que peut-on dire du jeu A ? Lequel des deux jeux est, en moyenne, le plus avantageux pour le foyer du lycée (l'organisateur) ?
Calculer $V(X)$ et $V(Y)$ , puis les écarts-types $\sigma(X)$ et $\sigma(Y)$ (on donnera $\sigma(X)$ exactement et $\sigma(Y)$ arrondi à $10^{-2}$ près). Lequel des deux jeux a les gains les plus dispersés autour de leur moyenne ?
Écrire une fonction Python simulation_Y() qui simule le gain net d'une partie du jeu B, à l'aide de random.randint(1, 6).

QCM — Espérance, variance et jeu équitable

1. Quelle est la formule de l'espérance d'une variable aléatoire

X

prenant les valeurs

x_1, \ldots, x_n

avec les probabilités

p_1, \ldots, p_n

2. Un jeu d'argent modélisé par une variable aléatoire

X

(le gain algébrique) est dit équitable lorsque :

3. Un jeu consiste à tirer une carte au hasard dans un jeu de

32

cartes. Si la carte tirée est un as (il y a

4

as), le joueur gagne

g

euros ; sinon (les

28

autres cartes), il perd

2

euros. Pour quelle valeur de

g

ce jeu est-il équitable ?

Exercices bilan

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

ApplicationCorrigé gratuit

Un sac opaque contient $10$ jetons indiscernables au toucher :

quatre jetons portent le nombre $0$ ;
trois jetons portent le nombre $2$ ;
deux jetons portent le nombre $5$ ;
un jeton porte le nombre $10$ .

On tire un jeton au hasard dans le sac, chaque jeton ayant la même probabilité d'être tiré. On note $X$ le nombre inscrit sur le jeton tiré : $X$ est une variable aléatoire.

Préciser l'ensemble des valeurs prises par $X$ .
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et la présenter dans un tableau. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$ .
Décrire par une phrase l'événement $\{X \geqslant 2\}$ , puis calculer $P(X \geqslant 2)$ .
Calculer $P(X \lt 5)$ , puis vérifier la cohérence de ce résultat avec $P(X \geqslant 5)$ .
Un joueur marque autant de points que le nombre inscrit sur le jeton qu'il a tiré. Sachant qu'il a marqué au moins $2$ points, quelle est la probabilité qu'il en ait marqué $10$ ?

Calculer espérance, variance et écart-type de deux variables aléatoires

Application

Deux jeux de société proposent chacun, à la fin d'une partie, un nombre de points algébrique (un nombre négatif correspond à une perte de points).

On note $X$ le nombre de points obtenus au premier jeu, dont la loi de probabilité est :

$x_i$	$-3$	$1$	$5$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

On note $Y$ le nombre de points obtenus au second jeu, dont la loi de probabilité est :

$y_i$	$0$	$1$	$2$
$P(Y = y_i)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

Vérifier que ces deux tableaux définissent bien des lois de probabilité.
Calculer $E(X)$ et $E(Y)$ . Que peut-on dire des deux jeux sur un grand nombre de parties ?
Calculer $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma(X)$ . On donnera la valeur exacte de l'écart-type, puis une valeur approchée au centième.
Reprendre la question 3. pour $Y$ .
Retrouver la valeur de $V(X)$ en utilisant cette fois la définition de la variance.
Comparer les deux jeux et conclure par une phrase destinée à un joueur qui hésite entre les deux.

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Étudier le gain d'une loterie et trouver la mise qui rend le jeu équitable

EntraînementCorrigé gratuit

Lors d'une fête de village, une roue de loterie est partagée en $10$ secteurs identiques. La roue est équilibrée : chaque secteur a la même probabilité d'être désigné par la flèche.

Un secteur fait gagner $20$ euros.
Deux secteurs font gagner $5$ euros.
Les sept autres secteurs ne font rien gagner.

Pour participer, il faut miser $4$ euros. On note $G$ le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise, exprimée en euros.

Déterminer les valeurs prises par $G$ , puis sa loi de probabilité. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calculer $E(G)$ . Interpréter ce résultat. Le jeu est-il équitable ?
L'organisateur du stand reçoit $200$ joueurs dans la journée. Quel bénéfice moyen peut-il espérer ? Quel résultat du cours justifie ce raisonnement ?
Calculer $V(G)$ , puis $\sigma(G)$ . Interpréter la valeur obtenue en la comparant à l'espérance.
L'organisateur souhaite proposer un jeu équitable. On note $m$ la mise, exprimée en euros. Exprimer l'espérance du gain algébrique en fonction de $m$ , puis déterminer la mise qui rend le jeu équitable.

Retrouver une loi de probabilité à partir de son espérance

Entraînement

Une machine d'atelier peut connaître $0$ , $1$ , $2$ ou $3$ incidents au cours d'une journée de production, mais jamais davantage. On note $X$ le nombre d'incidents relevés au cours d'une journée prise au hasard.

Le service de maintenance dispose du tableau incomplet suivant, où $a$ et $b$ désignent deux réels positifs :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$a$	$0{,}3$	$b$	$0{,}1$

Le service sait de plus que le nombre moyen d'incidents par journée est égal à $1{,}5$ .

Écrire l'équation traduisant le fait que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
Écrire l'équation traduisant le fait que $E(X) = 1{,}5$ .
Résoudre le système formé par ces deux équations, puis donner la loi de probabilité complète de $X$ .
Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ . On donnera la valeur exacte de l'écart-type, puis une valeur approchée au centième.
Calculer $P(X \geqslant 2)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
On admet que les journées de production sont indépendantes les unes des autres. Calculer la probabilité qu'aucun incident ne survienne au cours de deux journées consécutives.

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Construire la loi d'une variable aléatoire à partir d'un arbre pondéré

Entraînement

Un stand de kermesse propose le jeu suivant. Le joueur lance une pièce équilibrée, puis tire au hasard un jeton dans l'une des deux urnes, selon le résultat du lancer.

Si la pièce tombe sur Pile, il tire un jeton dans l'urne $U_1$ , qui contient cinq jetons : un jeton marqué $10$ , deux jetons marqués $5$ et deux jetons marqués $0$ .
Si la pièce tombe sur Face, il tire un jeton dans l'urne $U_2$ , qui contient cinq jetons : un jeton marqué $10$ et quatre jetons marqués $0$ .

Dans chaque urne, les cinq jetons sont indiscernables au toucher. On note $X$ le nombre de points inscrit sur le jeton tiré.

Décrire l'arbre pondéré de la situation en donnant, pour chaque nœud, les branches qui en partent et leur probabilité. Vérifier la règle des nœuds.
Déterminer la loi de probabilité de $X$ . On nommera la formule utilisée, et on vérifiera que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.
Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .
Un joueur a obtenu $10$ points. Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur Pile ? Commenter le résultat.
Un joueur n'a marqué aucun point. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré dans l'urne $U_2$ ?

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Simuler une variable aléatoire en Python et estimer son espérance

Entraînement

Dans un lycée, un distributeur de boissons enregistre le nombre de canettes achetées par chaque client qui s'en approche. On note $X$ ce nombre, dont la loi de probabilité a été établie sur une longue période :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0{,}4$	$0{,}35$	$0{,}2$	$0{,}05$

Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ . On donnera une valeur approchée de l'écart-type au centième.
On souhaite simuler la variable aléatoire $X$ . Le programme Python suivant est incomplet : les deux seuils notés ??? ont été effacés.

import random
 
def simulation_X():
    """Simule une realisation de X (nombre de canettes achetees)."""
    r = random.random()       # nombre aleatoire dans [0 ; 1[
    if r < 0.4:
        return 0
    elif r < ???:
        return 1
    elif r < ???:
        return 2
    else:
        return 3

Recopier et compléter ce programme, puis expliquer d'où viennent les seuils utilisés.

On dispose également de la fonction suivante.

def moyenne_echantillon(n):
    """Moyenne d'un echantillon de n simulations de X."""
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + simulation_X()
    return total / n

De quelle valeur l'appel moyenne_echantillon(10000) sera-t-il proche ? Nommer le résultat du cours qui le justifie.

Écrire une fonction proportion_au_moins_deux(n) qui simule $n$ clients et renvoie la proportion de ceux qui achètent au moins deux canettes. Vers quelle valeur cette proportion se stabilise-t-elle quand $n$ devient grand ?
Le distributeur est rempli avec $250$ canettes le matin, et l'on attend environ $300$ clients dans la journée. Le stock suffira-t-il en moyenne ? Justifier.

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Étude d'un contrat d'assurance pour vélos

Type bac

Partie A — Les sommes versées par la compagnie

Une compagnie propose un contrat annuel d'assurance pour les vélos. Une étude statistique portant sur un grand nombre d'assurés montre que, au cours d'une année :

$90\ \%$ des assurés ne déclarent aucun sinistre, et la compagnie ne verse rien ;
$8\ \%$ déclarent un sinistre léger, pour lequel la compagnie verse $200$ euros ;
$2\ \%$ déclarent un sinistre grave, pour lequel la compagnie verse $1\,000$ euros.

On choisit au hasard un assuré et on note $Y$ la somme, exprimée en euros, que la compagnie lui verse au cours de l'année.

Donner la loi de probabilité de $Y$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calculer $E(Y)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

Partie B — Le bénéfice de la compagnie

Le contrat est vendu $60$ euros par an. On note $G$ le bénéfice réalisé par la compagnie sur un contrat, exprimé en euros : $G = 60 - Y$ .

Donner la loi de probabilité de $G$ .
Calculer $E(G)$ . Le contrat est-il équitable ? Interpréter le résultat du point de vue de la compagnie.
Calculer $V(G)$ , puis montrer que $\sigma(G) = 148$ euros. Que traduit un écart-type aussi grand devant l'espérance ?
La compagnie signe $1\,000$ contrats, que l'on suppose indépendants. Quel bénéfice total peut-elle espérer ? Nommer le résultat du cours qui justifie ce raisonnement.

Partie C — Le prix du contrat

On note désormais $p$ le prix annuel du contrat, exprimé en euros. Exprimer l'espérance du bénéfice de la compagnie en fonction de $p$ , puis déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles la compagnie est bénéficiaire en moyenne.
Quel prix rendrait le contrat équitable ? Expliquer pourquoi la compagnie ne peut pas le pratiquer.

Partie D — Une simulation

On donne le programme suivant.

import random
 
def versement():
    """Somme versee par la compagnie a un assure au cours d'une annee."""
    r = random.random()
    if r < 0.9:
        return 0
    elif r < 0.98:
        return 200
    else:
        return 1000
 
def benefice_moyen(n):
    """Benefice moyen par contrat, sur n contrats simules."""
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + 60 - versement()
    return total / n

Expliquer le rôle des seuils $0{,}9$ et $0{,}98$ , puis indiquer de quelle valeur l'appel benefice_moyen(10000) sera proche.

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