Vocabulaire ensembliste et logique

Ensembles

Élément, appartenance et inclusion

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. Si $a$ est un élément de l'ensemble $E$, on note $a \in E$ (« $a$ appartient à $E$ »). Sinon, on note $a \notin E$.

Exemple. Si $E = \{1, 2, 3, 5, 8\}$, alors $3 \in E$ mais $4 \notin E$.

Un ensemble $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note alors $A \subset E$ (« $A$ est inclus dans $E$ »).

Exemple. Avec $E = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ et $A = \{2, 3\}$, on a $A \subset E$ car $2 \in E$ et $3 \in E$.

Réunion, intersection, complémentaire

Soient $A$ et $B$ deux sous-ensembles d'un ensemble $E$.

• La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (au sens inclusif : éventuellement aux deux).
• L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$.
• Le complémentaire de $A$ dans $E$, noté $\bar A$ (notation utilisée en probabilités) ou $E \backslash A$, est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$.

Exemple. Avec $E = \{1,2,3,4,5,6\}$, $A = \{1,2,3\}$ et $B = \{2,3,4\}$ :

$$A \cup B = \{1,2,3,4\} \qquad A \cap B = \{2,3\} \qquad \bar A = E \backslash A = \{4,5,6\}$$

Ensembles de nombres et intervalles

Les ensembles de nombres usuels sont notés $\mathbb{N}$ (entiers naturels), $\mathbb{Z}$ (entiers relatifs), $\mathbb{D}$ (décimaux), $\mathbb{Q}$ (rationnels) et $\mathbb{R}$ (réels), avec $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$ « sans trou ». Par exemple, $[2\,;\,5[$ désigne l'ensemble des réels $x$ tels que $2 \leqslant x < 5$, et $]-\infty\,;\,3]$ l'ensemble des réels $x \leqslant 3$.

Exemple. $\pi \in [3\,;\,3{,}2[$ et $-1 \in\, ]-\infty\,;\,0]$.

$n$-uplets et produit cartésien

Couple, triplet, $n$-uplet

Contrairement à un ensemble, dans un couple $(a, b)$ l'ordre compte et les répétitions sont autorisées : $(2, 3) \neq (3, 2)$, alors que $\{2,3\} = \{3,2\}$ en tant qu'ensembles.

On généralise avec le triplet $(a, b, c)$ (trois éléments ordonnés), puis le $n$-uplet $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ pour un nombre quelconque $n$ d'éléments ordonnés.

Exemple. Les coordonnées d'un point du plan forment un couple $(x, y)$ ; celles d'un point de l'espace forment un triplet $(x, y, z)$.

Produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$, noté $E \times F$, est l'ensemble de tous les couples $(x, y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$.

Exemple. Si $E = \{1, 2\}$ et $F = \{a, b, c\}$, alors :

$$E \times F = \{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)\}$$

Cette notion se généralise à $E^n = E \times E \times \cdots \times E$ ($n$ facteurs), l'ensemble des $n$-uplets d'éléments de $E$ — utile par exemple pour dénombrer des mots de longueur $n$ sur un alphabet, ou les issues d'une succession de $n$ épreuves.

Connecteurs logiques et raisonnement

Connecteurs « et », « ou », contre-exemple

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. On peut combiner deux propositions $P$ et $Q$ avec les connecteurs :

• « $P$ et $Q$ » est vraie lorsque $P$ et $Q$ sont vraies toutes les deux.
• « $P$ ou $Q$ » est vraie lorsqu'au moins l'une des deux propositions $P$, $Q$ est vraie (au sens inclusif).

Exemple. Pour un réel $x$, « $x \geqslant 0$ et $x \leqslant 5$ » signifie $x \in [0;5]$ ; « $x < 0$ ou $x > 5$ » signifie $x \notin [0;5]$.

Pour montrer qu'une proposition générale (« pour tout $x$, ... ») est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple : une valeur particulière qui ne vérifie pas la propriété.

Exemple. La proposition « pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n + 41$ est premier » est fausse : pour $n = 40$, $40^2+40+41 = 1681 = 41^2$, qui n'est pas premier. $n = 40$ est un contre-exemple.

Implication, équivalence, réciproque, contraposée

Une implication $P \Rightarrow Q$ (« $P$ implique $Q$ », ou « si $P$ alors $Q$ ») signifie que dès que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi.

Exemple. « $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$ » est vraie. Mais on peut avoir $x^2=4$ sans que $x=2$ (par exemple $x=-2$) : une implication ne se retourne pas automatiquement.

La réciproque de $P \Rightarrow Q$ est la proposition $Q \Rightarrow P$ ; elle peut être vraie ou fausse, indépendamment de l'implication de départ.

La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est la proposition $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ : elle est toujours équivalente à l'implication de départ (l'une est vraie si et seulement si l'autre l'est).

Exemple. La contraposée de « si $n$ est un entier pair alors $n^2$ est pair » est « si $n^2$ est impair alors $n$ est impair ».

Une équivalence logique $P \Leftrightarrow Q$ (« $P$ équivaut à $Q$ », ou « $P$ si et seulement si $Q$ ») signifie que $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies simultanément : $P$ et $Q$ sont toujours toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses.

Exemple. Pour un réel $x$ : $x^2 = 4 \Leftrightarrow (x = 2 \text{ ou } x = -2)$.

Condition nécessaire, condition suffisante

Dans une implication $P \Rightarrow Q$ :

• $Q$ est une condition nécessaire à $P$ : pour que $P$ soit vraie, il faut que $Q$ le soit.
• $P$ est une condition suffisante à $Q$ : il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit.

Exemple. « Être un carré » $\Rightarrow$ « être un rectangle ». Être un carré est une condition suffisante pour être un rectangle (mais pas nécessaire : un rectangle non carré existe). Être un rectangle est une condition nécessaire pour être un carré (mais pas suffisante).

Quantificateurs et négation

Quantificateurs

De nombreuses propositions portent sur tous les éléments d'un ensemble, ou sur l'existence d'au moins un élément vérifiant une propriété : on parle de quantification universelle (« pour tout ») et de quantification existentielle (« il existe »), notées respectivement $\forall$ et $\exists$ (ces symboles ne sont pas exigibles, mais la notion l'est).

Exemple. « Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ » s'écrit $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geqslant 0$. « Il existe un entier $n$ tel que $n^2 = 49$ » s'écrit $\exists n \in \mathbb{N}, \ n^2 = 49$ (ici $n = 7$ convient).

Certaines quantifications sont implicites : dire « la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ » sous-entend « pour tous réels $x, y$ de cet intervalle, si $x \leqslant y$ alors $f(x) \leqslant f(y)$ ».

Négation de propositions quantifiées

Pour nier une proposition quantifiée, on échange $\forall$ et $\exists$, et on nie la propriété portant sur l'élément :

• La négation de « $\forall x,\ P(x)$ » est « $\exists x,\ \text{non } P(x)$ ».
• La négation de « $\exists x,\ P(x)$ » est « $\forall x,\ \text{non } P(x)$ ».

Exemple. La négation de « tous les élèves de la classe ont eu la moyenne » est « au moins un élève de la classe n'a pas eu la moyenne » — et non pas « aucun élève n'a eu la moyenne ».

Raisonnements

Disjonction de cas, absurde, contraposée, équivalence

• Disjonction de cas : on découpe la situation en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités, et on traite chaque cas séparément.

  Exemple. Pour montrer que $n^2 - n$ est toujours pair, on distingue le cas $n$ pair et le cas $n$ impair.

• Raisonnement par l'absurde : pour montrer qu'une proposition $P$ est vraie, on suppose que sa négation est vraie, et on aboutit à une contradiction.

  Exemple. Pour montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, on suppose $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$, la fraction étant irréductible, et on aboutit à une contradiction sur la parité de $p$ et $q$.

• Raisonnement par contraposée : pour montrer $P \Rightarrow Q$, on montre la contraposée $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$, qui lui est équivalente (voir plus haut).

• Raisonnement par équivalence : on transforme la proposition à démontrer par une chaîne d'équivalences $\Leftrightarrow$, jusqu'à une proposition dont on connaît déjà la valeur de vérité.

  Exemple. Résoudre $x^2 - 4 = 0$ dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \text{ ou } x = -2$.

Raisonnement par récurrence (spécifique à la Terminale)

Propre au programme de Terminale, le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$, en deux étapes :

1. Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : on montre que, si $P(n)$ est vraie pour un entier $n \geqslant n_0$ (hypothèse de récurrence), alors $P(n+1)$ est vraie aussi.

On conclut que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$. Ce raisonnement est particulièrement utilisé pour établir des propriétés portant sur des suites.

Pour aller plus loin (notions de Terminale)

Fonction, bijection, composition

La notion de fonction traverse tout le programme (fonctions d'une variable réelle, suites, variables aléatoires, géométrie...). Une fonction est une bijection d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ si tout élément de $F$ admet exactement un antécédent dans $E$.

La composition de deux fonctions $f$ et $g$, notée $g \circ f$, est définie par $(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$ : on applique d'abord $f$, puis $g$ au résultat.

Exemple. Si $f(x) = x+1$ et $g(x) = x^2$, alors $(g \circ f)(x) = (x+1)^2$, alors que $(f \circ g)(x) = x^2+1$ : l'ordre compte.

Symbole de somme $\Sigma$

Le symbole $\Sigma$ (sigma majuscule) permet d'écrire une somme de façon concise :

$$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n$$

Exemple. $\displaystyle\sum_{k=0}^{3} k^2 = 0^2+1^2+2^2+3^2 = 0+1+4+9 = 14$.