Suites

Suite tendant vers $+\infty$

Soit $(u_n)$ une suite numérique. On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ (ou diverge vers $+\infty$) si tout intervalle de la forme $[A\,;+\infty[$, où $A$ est un réel, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note alors :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Autrement dit : aussi grand que soit le réel $A$ choisi, tous les termes de la suite finissent par dépasser $A$ (et y rester) à partir d'un certain rang $n_0$, qui dépend en général de $A$.

Cas particulier — suite croissante non majorée. Si $(u_n)$ est croissante et n'est pas majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$. En effet, pour tout réel $A$, comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$ ; et comme la suite est croissante, pour tout $n \geqslant n_0$, on a $u_n \geqslant u_{n_0} > A$. Tous les termes à partir du rang $n_0$ appartiennent donc à $]A\,;+\infty[$.

Suite tendant vers $-\infty$

De façon symétrique, on dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty\,;A[$, où $A$ est un réel, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

De même, une suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.

Limite finie d'une suite : convergence

Soit $(u_n)$ une suite numérique et $\ell$ un nombre réel. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou tend vers $\ell$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$

Le réel $\ell$ est alors appelé la limite de la suite $(u_n)$. Si une suite converge, sa limite est unique.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente (elle tend vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'a pas de limite du tout).

Exemple. La suite $\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers $0$ : pour tout intervalle ouvert contenant $0$, par exemple $\,]-\varepsilon\,;\varepsilon[$ avec $\varepsilon>0$, il suffit de prendre $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$ pour que $\dfrac{1}{n} \in\, ]-\varepsilon\,;\varepsilon[$.

Limites et comparaison

Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites, telles que les inégalités suivantes sont vraies à partir d'un certain rang.

Théorèmes de comparaison.

• Si $u_n \geqslant v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
• Si $u_n \leqslant v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Théorème d'encadrement (« théorème des gendarmes »). Si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Méthode. Pour appliquer le théorème des gendarmes, on encadre le terme général $u_n$ par deux suites de même limite, en général en majorant/minorant une expression bornée (comme $\cos n$ ou $(-1)^n$) qui apparaît dans l'écriture de $u_n$.

Exemple. Soit $(u_n)$ définie pour $n \geqslant 1$ par $u_n = \dfrac{\cos n}{n}$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $-1 \leqslant \cos n \leqslant 1$, donc $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$. Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, le théorème des gendarmes donne $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

def algo(p):
    u = 2
    n = 0
    while u - 1 > p:
        u = (2 * u + 1) / (u + 2)
        n = n + 1
    return (n, u)

n = 0
u = 6
v = 6
while ... :
    u = ...
    v = ...
    n = n + 1
print(2025 + n)

Opérations sur les limites

Comme pour les nombres, on obtient la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites à partir des limites de chaque suite — sauf dans certains cas dits indéterminés.

Limite d'une somme

Limite d'un produit et d'un quotient

Le produit et le quotient de deux suites se comportent comme attendu (règle des signes), à l'exception de certains cas : le produit d'une suite tendant vers $0$ par une suite tendant vers $\pm\infty$, et le quotient dans les cas $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ ou $\dfrac{0}{0}$, qui sont indéterminés.

Les quatre formes indéterminées

« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $\dfrac{0}{0}$ »

Dans ces cas, les théorèmes précédents ne permettent pas de conclure directement : il faut transformer l'écriture de $u_n$ (factorisation par le terme prépondérant, quantité conjuguée, etc.) pour se ramener à un cas connu.

Exemple (forme $\infty-\infty$). Soit $u_n = n - n^2$. On factorise par le terme prépondérant $n^2$ :

$$u_n = n^2\left(\frac{1}{n} - 1\right)$$

Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}-1\right) = -1$. Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$, donc par produit des limites : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Limite d'une suite géométrique

Soit $q$ un réel. Le comportement de la suite $(q^n)$ dépend de la valeur de $q$ :

• Si $q > 1$, alors $(q^n)$ diverge et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
• Si $q = 1$, alors $(q^n)$ est constante, égale à $1$.
• Si $-1 < q < 1$, alors $(q^n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
• Si $q \leqslant -1$, alors $(q^n)$ n'a pas de limite (elle oscille et diverge).

Convergence des suites monotones (théorème admis)

Théorème (admis).

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Attention : ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, mais ne donne pas sa valeur ! Pour la déterminer, on utilise en général une équation vérifiée par la limite (point fixe), obtenue en passant à la limite dans la relation de récurrence.

On complète ce résultat par les cas déjà vus :

• Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.
• Toute suite décroissante et non minorée diverge vers $-\infty$.

Récurrence et étude de suites

Le raisonnement par récurrence est l'outil privilégié pour établir une propriété vraie pour tout rang $n$ d'une suite définie par récurrence (par exemple un encadrement du type $0 \leqslant u_n \leqslant 4$, souvent nécessaire pour appliquer le théorème précédent).

Principe. Pour démontrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$ :

1. Initialisation : on vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
2. Hérédité : on suppose que $P_n$ est vraie pour un rang $n \geqslant n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence), et on démontre qu'alors $P_{n+1}$ est vraie.
3. Conclusion : $P_{n_0}$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par le principe de récurrence, $P_n$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$.