Continuité des fonctions d'une variable réelle

Fonction continue en un point

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Intuitivement, une fonction est continue en $a$ si sa courbe ne présente pas de « saut » ni de « trou » au voisinage de $x=a$ : on peut la tracer au voisinage de $a$ sans lever le crayon.

Contre-exemple. La fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ n'est pas continue en $1$ : pour $x<1$ proche de $1$, $\lfloor x \rfloor=0$, alors que $\lfloor 1 \rfloor=1$. La limite à gauche de cette fonction en $1$ (qui vaut $0$) est différente de sa valeur en $1$ (qui vaut $1$) : la courbe présente un saut.

Fonction continue sur un intervalle

Définition. On dit que $f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est continue en tout réel $a$ de $I$.

Graphiquement, cela signifie que l'on peut tracer la courbe de $f$ sur $I$ « d'un seul trait », sans lever le crayon.

Dérivabilité et continuité

Propriété (admise). Toute fonction dérivable en un point $a$ (ou sur un intervalle $I$) est continue en $a$ (ou sur $I$).

Attention, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. C'est le cas par exemple de la fonction $x \mapsto |x|$ en $0$ : elle est continue en $0$ (sa courbe ne présente pas de saut) mais n'est pas dérivable en $0$ (sa courbe présente un point anguleux).

Fonctions usuelles continues

Les fonctions polynômes, ainsi que les fonctions $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto e^x$ et $x \mapsto \ln(x)$, sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Il en va de même pour les fonctions obtenues à partir de ces fonctions de référence par sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composées.

Image d'une suite convergente par une fonction continue

Propriété (admise). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers un réel $\ell \in I$. Alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$ :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \ \implies \ \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell)$$

Ce résultat est fondamental pour l'étude des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ (voir le chapitre Suites) : si l'on sait que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, et que $f$ est continue en $\ell$, on peut passer à la limite dans la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour obtenir $\ell = f(\ell)$ : la limite $\ell$ est alors un point fixe de $f$.

Exemple. Reprenons la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$ (étudiée dans le chapitre Suites) : on y avait admis que sa limite $\ell$ vérifiait $\ell=\sqrt{3\ell+4}$. On peut à présent le justifier : la fonction $f:x\mapsto\sqrt{3x+4}$ est continue sur $[0;+\infty[$ comme composée de fonctions usuelles continues. La suite $(u_n)$ convergeant vers $\ell$, la suite $\big(f(u_n)\big)=(u_{n+1})$ converge donc vers $f(\ell)$. Or $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ (elle ne diffère de $(u_n)$ que d'un décalage d'indice). Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$, c'est-à-dire $\ell=\sqrt{3\ell+4}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $x \in [a;b]$.

Interprétation graphique : toute droite horizontale d'équation $y=k$, avec $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, coupe la courbe de $f$ en au moins un point d'abscisse comprise entre $a$ et $b$. Ce théorème traduit le fait qu'une courbe continue ne peut pas « sauter » d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Remarque. Sans l'hypothèse de continuité, le théorème est faux : une fonction discontinue peut passer de $f(a)$ à $f(b)$ sans prendre toutes les valeurs intermédiaires (penser à la fonction partie entière).

La figure ci-dessous illustre le théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue (ici non nécessairement monotone) : sa courbe passe par toutes les valeurs comprises entre deux points, sans « saut ».

Cas des fonctions continues strictement monotones

Théorème (dit « théorème de la bijection »). Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $x \in [a;b]$.

Ce théorème s'étend au cas d'un intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné ou non, à condition de remplacer les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle.

Méthode : étudier les solutions d'une équation $f(x)=k$

Pour démontrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur un intervalle $I$, et l'encadrer :

1. Étudier les variations de $f$ sur $I$, et vérifier que $f$ est continue sur $I$ (en général immédiat, $f$ étant construite à partir de fonctions usuelles).
2. Déterminer les valeurs de $f$ (ou ses limites) aux bornes de l'intervalle sur lequel $f$ est monotone, et vérifier que $k$ est bien compris entre ces deux valeurs.
3. Conclure, par le théorème de la bijection, à l'existence et à l'unicité d'une solution $\alpha$.
4. Pour encadrer $\alpha$, on balaye l'intervalle (à la calculatrice, ou par dichotomie) : on cherche deux valeurs encadrant $\alpha$ dont les images encadrent $k$.

Exemple. Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur $\mathbb{R}$. Cette fonction, dérivable sur $\mathbb{R}$, a pour dérivée $f'(x)=3x^2+1>0$ : $f$ est donc continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Comme $0$ est compris entre ces deux limites, l'équation $f(x)=0$ admet, d'après le théorème de la bijection, une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. On a $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc $\alpha\in\,]0;1[$ ; en affinant, $f(0{,}6)\approx-0{,}184<0$ et $f(0{,}7)\approx0{,}043>0$, donc $\alpha\in\,]0{,}6;0{,}7[$.

Suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ et continuité

Lorsqu'une suite $(u_n)$ est définie par $u_0$ donné et $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f$ continue sur un intervalle $I$ tel que $f(I)\subset I$, l'étude se mène en général ainsi :

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$, $u_n \in I$.
2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
3. En déduire, à l'aide du théorème de convergence des suites monotones, que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in I$.
4. Grâce à la continuité de $f$ en $\ell$, passer à la limite dans la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour obtenir $\ell=f(\ell)$ : $\ell$ est un point fixe de $f$.
5. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $I$ (à l'aide, si besoin, du théorème de la bijection) pour déterminer $\ell$.