Limites des fonctions

Limite infinie en $+\infty$ (ou en $-\infty$)

Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $[a\,;+\infty[$. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ (avec $A$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

On définit de même $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, ainsi que les limites en $-\infty$ (avec $x$ qui tend vers $-\infty$).

Limite finie en $+\infty$ et asymptote horizontale

On dit que $f$ tend vers $\ell$ (réel) quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

Dans ce cas, la droite d'équation $y=\ell$ est appelée asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ : la courbe se rapproche indéfiniment de cette droite lorsque $x \to +\infty$ (définition analogue en $-\infty$).

Limite en un point $a$ et asymptote verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ (ou dont $a$ est une borne), sauf éventuellement en $a$. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ (et de même pour $-\infty$).

Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite d'équation $x=a$ est appelée asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

Limites à gauche et à droite. Il arrive que le comportement de $f$ diffère selon que $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures ($x \to a^-$) ou supérieures ($x \to a^+$). On parle alors de limite à gauche et de limite à droite en $a$.

Exemple. Pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe de $f$. De plus, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ (et de même en $-\infty$), donc la droite $y=0$ est asymptote horizontale.

La figure ci-dessous illustre ce comportement pour la fonction inverse : la courbe s'approche indéfiniment de l'axe des ordonnées au voisinage de 0 (asymptote verticale), et de l'axe des abscisses à l'infini (asymptote horizontale).

Limites des fonctions de référence

Sur $]0\,;+\infty[$, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$.

Lien entre asymptote et limite. Établir qu'une courbe admet une asymptote parallèle à un axe revient exactement à établir l'existence de la limite correspondante :

• asymptote horizontale $y=\ell$ en $+\infty$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ ;
• asymptote verticale $x=a$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite).

Opérations sur les limites (admises)

Comme pour les suites, les limites de sommes, de produits et de quotients de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction, sauf dans les quatre cas de forme indéterminée :

« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $\dfrac{0}{0}$ »

Ces résultats sont admis : on les applique comme des règles de calcul, valables que la limite soit prise en un point $a$, en $+\infty$ ou en $-\infty$.

Méthode — factoriser le terme prépondérant. Pour lever une indétermination de type $\infty-\infty$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ dans une somme ou un quotient de polynômes, on factorise chaque polynôme par son terme de plus haut degré (le terme prépondérant).

Exemple. Calculons $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^3+5x}{-x^2+1}$. On factorise numérateur et dénominateur par leur terme prépondérant :

$$\frac{2x^3+5x}{-x^2+1} = \frac{x^3\left(2+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(-1+\frac{1}{x^2}\right)} = x\times\frac{2+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{1}{x^2}}$$

Quand $x \to -\infty$, le facteur $\dfrac{2+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{1}{x^2}}$ tend vers $\dfrac{2}{-1}=-2$, et $x \to -\infty$. Par produit des limites (facteurs de limites $-\infty$ et $-2$) : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3+5x}{-x^2+1} = +\infty$.

Limites et comparaison

Les théorèmes vus pour les suites se transposent aux fonctions, au voisinage de $+\infty$, de $-\infty$ ou d'un point $a$.

Théorèmes de comparaison. Si $f(x) \geqslant g(x)$ au voisinage considéré et $\lim g = +\infty$, alors $\lim f = +\infty$ (et de même pour $-\infty$ avec une majoration).

Théorème d'encadrement (gendarmes). Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage considéré, et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$, alors $f$ admet aussi $\ell$ pour limite.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{2+\cos x}{x}$ pour $x>0$. Pour tout $x>0$, comme $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, on a $1 \leqslant 2+\cos x \leqslant 3$, donc :

$$\frac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \frac{3}{x}$$

Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x} = 0$, le théorème des gendarmes donne $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

Croissances comparées (admis)

Au voisinage de $+\infty$, la fonction exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0$$

Ces résultats, admis en Terminale, sont utiles pour lever une indétermination de type $\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ faisant intervenir l'exponentielle.