Concentration, loi des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)=80$ et de variance $V(X)=16$.

1. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable $X$.
2. Appliquer cette inégalité avec $\delta=8$ pour majorer $P(|X-80|\geqslant8)$.
3. En déduire une minoration de $P(|X-80|<8)$, puis reformuler ce résultat en termes d'encadrement de $X$.

Soit $Y$ une variable aléatoire d'espérance $E(Y)=1000$ et de variance $V(Y)=100$.

1. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(|Y-1000|\geqslant20)$.
2. Majorer, de la même façon, $P(|Y-1000|\geqslant50)$.
3. Comparer les deux majorants obtenus. Comment expliquer, à partir de la formule de l'inégalité, que l'un soit plus petit que l'autre ?
4. Le majorant obtenu à la question 2 permet-il d'affirmer que $P(|Y-1000|\geqslant50)=0{,}04$ ? Justifier.

Le poids, en grammes, d'un paquet produit par une machine est une variable aléatoire d'espérance $\mu=500$ et de variance $V=36$. On prélève un échantillon de $n=50$ paquets, indépendants les uns des autres, et on note $M_n$ la moyenne des poids de cet échantillon.

1. Rappeler les formules donnant $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $\mu$, $V$ et $n$, puis calculer $V(M_{50})$.
2. Énoncer l'inégalité de concentration appliquée à $M_{50}$.
3. Appliquer cette inégalité avec $\delta=2$ pour majorer $P(|M_{50}-500|\geqslant2)$.
4. Le fabricant affirme qu'avec ces $50$ paquets, la moyenne observée a de fortes chances d'être comprise entre $498$ et $502$ grammes. Ce résultat est-il cohérent avec le calcul de la question 3 ?

On considère une variable aléatoire $X$ de variance $V(X)=9$. On souhaite estimer l'espérance $\mu$ de $X$ par la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$, en garantissant :

(on dit que l'on garantit une précision $\delta=0{,}5$ avec un risque $\alpha=0{,}02$).

1. Rappeler l'inégalité, issue de l'inégalité de concentration, qu'il suffit de vérifier sur $n$ pour garantir cette condition.
2. En déduire la plus petite valeur entière de $n$ qui garantit cette condition.
3. Vérifier, par un calcul explicite, que cette valeur de $n$ convient bien.
4. Vérifier que la valeur immédiatement inférieure ne convient pas.

On interroge, de manière indépendante, $n=400$ personnes tirées au hasard dans une population où une proportion $p$ (inconnue) soutient une proposition. Pour $i$ allant de $1$ à $400$, on note $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si la $i$-ième personne interrogée soutient la proposition, $0$ sinon : $X_i$ suit donc la loi de Bernoulli de paramètre $p$, avec $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$. On note $F_{400}$ la fréquence observée, c'est-à-dire la moyenne de l'échantillon $(X_1,\ldots,X_{400})$.

1. Montrer que, quelle que soit la valeur de $p\in[0\,;1]$, $V(X_i)=p(1-p)\leqslant0{,}25$ (on pourra écrire $p(1-p)$ sous la forme $0{,}25-(p-0{,}5)^2$).
2. En appliquant l'inégalité de concentration à $F_{400}$ (avec $\mu=p$ et $V=p(1-p)$), majorer $P(|F_{400}-p|\geqslant0{,}05)$ en fonction de $p$.
3. En déduire, à l'aide de la question 1, un majorant de $P(|F_{400}-p|\geqslant0{,}05)$ qui ne dépende plus de $p$.
4. Ce majorant permet-il, à lui seul, de garantir que $F_{400}$ est une bonne estimation de $p$ ? Commenter.

On lance un dé équilibré à six faces, et on note $X$ le résultat obtenu. On rappelle que $E(X)=3{,}5$ et $V(X)=\dfrac{35}{12}$.

1. Compléter le programme Python suivant, qui doit simuler $n$ lancers du dé et renvoyer la moyenne des résultats obtenus :

import random
 
def moyenne_de_n_lances(n):
    """Simule n lances d'un de equilibre a six faces et renvoie
    la moyenne des resultats obtenus."""
    lances = [...]  # a completer, a l'aide de random.randint(1, 6)
    return ...  # a completer
 
for n in [10, 100, 10000]:
    print(n, moyenne_de_n_lances(n))

2. On exécute ce programme et on obtient, par exemple, les résultats suivants : pour $n=10$, une moyenne de $4{,}1$ ; pour $n=100$, une moyenne de $3{,}62$ ; pour $n=10\,000$, une moyenne de $3{,}517$. Commenter ces résultats à la lumière de la loi des grands nombres.
3. Calculer, à l'aide de l'inégalité de concentration, un majorant de $P(|M_{10000}-3{,}5|\geqslant0{,}05)$, où $M_{10000}$ désigne la moyenne de $10\,000$ lancers.
4. Ce majorant est-il cohérent avec la valeur $3{,}517$ obtenue par la simulation pour $n=10\,000$ à la question 2 ?

Une entreprise produit des composants électroniques. La durée de vie, en années, d'un composant pris au hasard dans la production est une variable aléatoire $X$ d'espérance $E(X)=6$ et de variance $V(X)=2{,}25$.

Partie A — Un composant pris au hasard

1. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $X$.
2. L'appliquer avec $\delta=3$ pour majorer $P(|X-6|\geqslant3)$.
3. En déduire une minoration de $P(3<X<9)$.

Partie B — Un échantillon de composants

On prélève un échantillon de $n$ composants, indépendants les uns des autres, et on note $M_n$ la moyenne des durées de vie de cet échantillon. L'entreprise souhaite garantir :

4. Déterminer, à l'aide de l'inégalité de concentration, la plus petite taille d'échantillon $n$ garantissant cette condition, puis vérifier explicitement que cette valeur convient et que la valeur immédiatement inférieure ne convient pas.
5. On souhaite écrire une fonction Python qui détermine, par tâtonnement, la plus petite taille d'échantillon $n$ garantissant $P(|M_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\alpha$ à partir de $V(X)$, $\delta$ et $\alpha$ donnés. Compléter le programme suivant :

def taille_echantillon(V, delta, alpha):
    """Renvoie, par tatonnement, la plus petite taille d'echantillon n
    garantissant P(|M_n - mu| >= delta) <= alpha, d'apres l'inegalite
    de concentration."""
    n = 1
    while ...:  # a completer
        n += 1
    return n
 
print(taille_echantillon(2.25, 0.3, 0.1))

Quelle valeur ce programme doit-il afficher ? Vérifier la cohérence avec la question 4. 6. Que peut-on dire de $P(|M_n-6|\geqslant0{,}3)$ lorsque la taille de l'échantillon $n$ tend vers $+\infty$ ? Quel théorème du cours cela illustre-t-il ?