Fonction logarithme

Construction de la fonction logarithme népérien

Rappel (fonction exponentielle, vue en Première). La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]0;+\infty[$, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.

D'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), pour tout réel $y > 0$, l'équation $e^x = y$ d'inconnue $x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Définition. On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, la fonction qui à tout réel $y>0$ associe l'unique solution $x$ de l'équation $e^x=y$. Elle est définie sur $]0;+\infty[$ : c'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Relation fondamentale. Pour tout réel $x$ et tout réel $y>0$ :

$$y = e^x \iff x = \ln(y)$$

On en déduit, pour tout réel $x$ et tout réel $y>0$ :

$$\ln(e^x) = x \qquad \text{et} \qquad e^{\ln(y)} = y$$

Valeurs particulières. Comme $e^0=1$ et $e^1=e$ :

$$\ln(1) = 0 \qquad \qquad \ln(e) = 1$$

Équation fonctionnelle : propriétés algébriques

Propriété. Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$

Démonstration. Posons $x=\ln a$ et $y=\ln b$, de sorte que $a=e^x$ et $b=e^y$. Alors, d'après l'équation fonctionnelle de l'exponentielle (vue en Première), $ab = e^x \times e^y = e^{x+y}$, donc $\ln(ab) = x+y = \ln a + \ln b$.

On en déduit, pour tous réels strictement positifs $a$, $b$ et tout entier relatif $n$ :

$$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) \qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \qquad \ln(a^n) = n\ln(a) \qquad \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$$

Méthode. Cette équation fonctionnelle permet de transformer l'écriture d'une expression contenant des logarithmes (pour la simplifier ou pour résoudre une équation).

Exemple. Exprimer $\ln 45$ en fonction de $\ln 3$ et $\ln 5$ : comme $45 = 3^2 \times 5$, on a $\ln 45 = \ln(3^2) + \ln 5 = 2\ln 3 + \ln 5$.

Équations et inéquations

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ (démontré dans la notion suivante), donc elle conserve l'ordre. Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$ :

$$\ln(x) = \ln(y) \iff x=y \qquad \qquad \ln(x) < \ln(y) \iff 0<x<y$$

Et pour tout réel $x>0$ et tout réel $k$ :

$$\ln(x) = k \iff x = e^k \qquad \ln(x) < k \iff 0 < x < e^k \qquad \ln(x) > k \iff x > e^k$$

Attention ! Avant de résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes, il faut toujours commencer par déterminer l'ensemble de validité : les expressions placées dans un $\ln$ doivent être strictement positives.

Exemple. Résoudre $\ln(2x-1) = 3$.

Ensemble de validité : $2x-1>0 \iff x > \dfrac12$.

Sur cet ensemble : $\ln(2x-1)=3 \iff 2x-1 = e^3 \iff x = \dfrac{e^3+1}{2}$.

Comme $\dfrac{e^3+1}{2} > \dfrac12$, l'ensemble des solutions est $S = \left\{\dfrac{e^3+1}{2}\right\}$.

Dérivée et sens de variation

Propriété (admise). La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout réel $x>0$ :

$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$

Comme $\dfrac1x > 0$ pour tout $x>0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Idée de la démonstration. En dérivant la relation $e^{\ln x} = x$ par rapport à $x$ (composée de $\ln$ et $\exp$), on obtient $\ln'(x) \times e^{\ln x} = 1$, soit $\ln'(x) \times x = 1$, d'où $\ln'(x) = \dfrac1x$.

Signe

Comme $\ln$ est strictement croissante et $\ln(1)=0$ :

• pour $x \in\, ]0;1]$, $\ln(x) \leqslant 0$ ;
• pour $x \in [1;+\infty[$, $\ln(x) \geqslant 0$.

Limites en $0$ et en $+\infty$

$$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \qquad \lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty$$

Ces deux résultats découlent du fait que $\ln$ est la réciproque de $\exp$. La droite d'équation $x=0$ (axe des ordonnées) est donc asymptote verticale à la courbe de $\ln$ en $0$.

Tableau de variations

Courbe représentative et lien avec la courbe de l'exponentielle

Dans un repère orthonormé, la courbe $C_{\ln}$ de la fonction logarithme népérien est la symétrique de la courbe $C_{\exp}$ de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation $y=x$. C'est une propriété générale de deux fonctions réciproques : si $M(a\,;b)$ appartient à $C_{\exp}$ (c'est-à-dire $b=e^a$), alors le point $M'(b\,;a)$, symétrique de $M$ par rapport à la droite $y=x$, appartient à $C_{\ln}$ (car $a=\ln b$).

Tangentes remarquables. La tangente à $C_{\ln}$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=x-1$ ; la tangente au point d'abscisse $e$ a pour équation $y=\dfrac{x}{e}$.

La figure interactive ci-dessous permet de visualiser la courbe de la fonction logarithme népérien ainsi que sa tangente en un point déplaçable, pour observer concrètement sa croissance sur l'intervalle d'étude.

Point d'abscisse a = 1.00 — glissez le point orange le long de la courbe — f'(a) ≈ 1.00

Croissance comparée de $\ln$ et des fonctions puissances

Propriété (admise). Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ :

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \qquad \lim_{x\to 0^+} x^n \ln(x) = 0$$

En particulier (cas $n=1$) : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$.

Interprétation. En $+\infty$, la fonction $\ln$ tend vers $+\infty$ « infiniment plus lentement » que n'importe quelle fonction puissance $x\mapsto x^n$ ($n\geqslant 1$) : ces limites permettent de lever une forme indéterminée du type $\dfrac{+\infty}{+\infty}$. De même en $0^+$, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ mais $x^n$ compense en tendant vers $0$ assez vite pour que le produit tende vers $0$.

Fonctions composées $x \mapsto \ln(u(x))$

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. La fonction $f=\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

$$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

De plus, $f$ a le même sens de variation que $u$ (car $\ln$ est strictement croissante).

Exemple. Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$, définie sur $\mathbb{R}$ (car $x^2+1>0$ pour tout réel $x$). En posant $u(x)=x^2+1$, on a $u'(x)=2x$, donc $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.