Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace

Vecteurs de l'espace

Comme dans le plan, à deux points $A$ et $B$ de l'espace on associe le vecteur $\vec{AB}$, caractérisé par :

• une direction : celle de la droite $(AB)$ ;
• un sens : de $A$ vers $B$ ;
• une norme (longueur) : $\lVert \vec{AB} \rVert = AB$.

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) : $\vec{AB} = \vec{CD} \iff ABDC \text{ parallélogramme}$

Translations. À tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace est associée une translation : c'est la transformation qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$. Deux vecteurs égaux définissent la même translation, et réciproquement.

Relation de Chasles. Pour tous points $A$, $B$, $C$ de l'espace : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Combinaisons linéaires de vecteurs

Somme de deux vecteurs. La somme $\vec{u} + \vec{v}$ se construit, comme dans le plan, à l'aide de la relation de Chasles (en choisissant un représentant de $\vec{v}$ dont l'origine est l'extrémité d'un représentant de $\vec{u}$) ou de la règle du parallélogramme.

Produit d'un vecteur par un réel. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $\lambda$ un réel. Le vecteur $\lambda \vec{u}$ a :

• la même direction que $\vec{u}$ ;
• le même sens que $\vec{u}$ si $\lambda > 0$, un sens contraire si $\lambda < 0$ ;
• pour norme $\lVert \lambda \vec{u} \rVert = |\lambda| \, \lVert \vec{u} \rVert$.

Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_k}$ est un vecteur de la forme $a_1 \vec{u_1} + a_2 \vec{u_2} + \cdots + a_k \vec{u_k}$, où $a_1, \ldots, a_k$ sont des réels.

Exemple. Dans un tétraèdre $ABC D$, le point $G$ tel que $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. En notant $I$ le milieu de $[BC]$, on peut montrer que $\vec{GB} + \vec{GC} = 2\vec{GI}$, ce qui permet d'exprimer $\vec{GA}$ comme combinaison linéaire de $\vec{GI}$ : $\vec{GA} = -2\vec{GI}$.

Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$, ou si l'un des deux vecteurs est nul.

Cette notion permet de traduire vectoriellement l'alignement de points ou le parallélisme de droites :

• $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$.
• Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Exemple. Si $\vec{AC} = \dfrac{3}{2}\vec{AB}$, alors $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires (avec $k = \dfrac32$), donc les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Droites de l'espace

Soit $d$ une droite et $A$ un point de $d$. Tout vecteur non nul $\vec{u}$ colinéaire à $\vec{AB}$, pour un point $B$ de $d$ distinct de $A$, est appelé vecteur directeur de $d$.

Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur. Soit $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires : $M \in d \iff \exists\, k \in \mathbb{R},\ \vec{AM} = k\vec{u}$

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (une droite n'a pas un unique vecteur directeur : tous ses vecteurs directeurs sont colinéaires entre eux).

Plans de l'espace

La direction d'un plan $P$ est donnée par un couple de vecteurs non colinéaires dont des représentants sont parallèles à $P$.

Caractérisation d'un plan par un point et un couple de vecteurs non colinéaires. Soit $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $P$ passant par $A$ et de direction $(\vec{u}\,;\vec{v})$ est l'ensemble des points $M$ tels que : $\vec{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}, \quad \text{avec } (x\,;y) \in \mathbb{R}^2$

En particulier, le plan $(ABC)$ défini par trois points non alignés $A$, $B$, $C$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{AC}$, avec $(x\,;y) \in \mathbb{R}^2$.

Vecteurs coplanaires. Trois vecteurs sont dits coplanaires s'ils admettent des représentants situés dans un même plan.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Un vecteur $\vec{w}$ est coplanaire avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ si et seulement s'il existe un unique couple $(a\,;b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires, c'est-à-dire s'il existe $(a\,;b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $\vec{AD} = a\vec{AB} + b\vec{AC}$.

Positions relatives dans l'espace

Contrairement au plan, deux droites de l'espace ne sont pas nécessairement coplanaires.

• Deux droites peuvent être : coplanaires — et alors soit sécantes (un seul point commun), soit parallèles (aucun point commun, ou confondues) — ou bien non coplanaires (aucun plan ne les contient toutes les deux).
• Une droite et un plan peuvent être sécants (un seul point commun) ou parallèles (aucun point commun, ou droite contenue dans le plan).
• Deux plans peuvent être sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles (aucun point commun, ou plans confondus).

Critères vectoriels utiles.

• Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan $P$ de direction $(\vec{v}\,;\vec{w})$ si et seulement si $\vec{u}$ est coplanaire avec $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
• Deux plans sont parallèles si et seulement si les vecteurs qui dirigent l'un sont coplanaires avec les vecteurs qui dirigent l'autre (autrement dit, les deux plans ont la même direction).

Bases et repères de l'espace

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ non coplanaires forment une base de l'espace.

Théorème (décomposition d'un vecteur sur une base). Si $(\vec{u}\,;\vec{v}\,;\vec{w})$ est une base de l'espace, alors tout vecteur $\vec{V}$ de l'espace s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire de $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ : $\exists!\,(x\,;y\,;z) \in \mathbb{R}^3, \quad \vec{V} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}$ Les réels $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $\vec{V}$ dans la base $(\vec{u}\,;\vec{v}\,;\vec{w})$.

Repère de l'espace. Un repère $(O\,;\vec{u}\,;\vec{v}\,;\vec{w})$ est la donnée d'un point origine $O$ et d'une base $(\vec{u}\,;\vec{v}\,;\vec{w})$. Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un unique triplet $(x\,;y\,;z)$ tel que $\vec{OM} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}$ : ce sont les coordonnées de $M$ dans le repère.

Calculs sur les coordonnées. Dans une base donnée, si $\vec{u}(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}(x'\,;y'\,;z')$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors :

• $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')$ ;
• $\lambda\vec{u}$ a pour coordonnées $(\lambda x\,;\,\lambda y\,;\,\lambda z)$.

Exemple. Dans un tétraèdre $ABCD$, les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ ne sont pas coplanaires (car $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas coplanaires) : ils forment donc une base de l'espace, et $(A\,;\vec{AB}\,;\vec{AC}\,;\vec{AD})$ est un repère de l'espace. Tout point de l'espace y possède alors des coordonnées uniques.