Géométrie vectorielle de l'espace

Vecteurs de l'espace

Vecteur, translation, combinaison linéaire

Comme dans le plan, à deux points $A$ et $B$ de l'espace on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, caractérisé par une direction, un sens et une norme $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$. Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.

À tout vecteur $\vec u$ correspond une translation : la transformation qui à tout point $M$ associe l'unique point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\vec u$.

Relation de Chasles. Pour tous points $A,B,C$ : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec u_1,\ldots,\vec u_k$ est un vecteur de la forme $a_1\vec u_1+\cdots+a_k\vec u_k$, où $a_1,\ldots,a_k$ sont des réels.

Colinéarité, coplanarité

La colinéarité de deux vecteurs se définit exactement comme dans le plan : $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s'il existe $k\in\mathbb R$ tel que $\vec v=k\vec u$, ou si l'un des deux est nul.

Exemple. $\vec u(2;-1;3)$ et $\vec v(-6;3;-9)$ sont colinéaires car $\vec v=-3\,\vec u$.

On dit que trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils admettent des représentants situés dans un même plan. Si $\vec u,\vec v$ ne sont pas colinéaires, un vecteur $\vec w$ est coplanaire avec $\vec u,\vec v$ si et seulement s'il existe un unique couple $(a;b)\in\mathbb R^2$ tel que $\vec w=a\vec u+b\vec v$.

Exemple. Pour $\vec u(1;0;0)$, $\vec v(0;1;0)$ et $\vec w(3;5;0)$ : $\vec w = 3\vec u+5\vec v$, donc $\vec w$ est coplanaire avec $\vec u$ et $\vec v$. En revanche, $\vec w'(1;1;1)$ ne l'est pas : sa troisième coordonnée ne peut s'écrire $a\times0+b\times0$, qui vaut toujours $0$.

Quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

Droites et plans de l'espace

Droite : vecteur directeur

On appelle vecteur directeur d'une droite $d$ tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$, pour deux points $A,B$ de $d$. La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires : $M\in d \iff \exists\,k\in\mathbb R,\ \overrightarrow{AM}=k\vec u$ (un exemple chiffré figure plus bas, dans la section sur les représentations paramétriques).

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Plan : direction, caractérisation

On appelle direction d'un plan $P$ tout couple de vecteurs $\vec u,\vec v$ non colinéaires dont on peut choisir des représentants inclus dans $P$. Le plan $P$ passant par $A$ et de direction $(\vec u;\vec v)$ est alors l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\vec u+y\vec v$, avec $(x;y)\in\mathbb R^2$.

Exemple. Pour $A(0;0;0)$, $\vec u(1;0;0)$ et $\vec v(0;1;0)$ : le plan de direction $(\vec u;\vec v)$ passant par $A$ est l'ensemble des points $(x;y;0)$, c'est-à-dire le plan d'équation $z=0$.

En particulier, le plan $(ABC)$ défini par trois points non alignés est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.

Positions relatives dans l'espace

Contrairement au plan, deux droites de l'espace ne sont pas nécessairement coplanaires :

• Deux droites sont soit coplanaires — et alors sécantes, ou parallèles (confondues ou strictement parallèles) —, soit non coplanaires.
• Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles (aucun point commun, ou droite incluse dans le plan).
• Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints).

Exemple. Dans un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$, plaçons $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $E(0;0;1)$, $H(0;1;1)$. La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $(1;0;0)$ et la droite $(EH)$ a pour vecteur directeur $(0;1;0)$ : ces deux directions ne sont pas colinéaires. Or les points de $(AB)$ s'écrivent $(t;0;0)$ et ceux de $(EH)$ s'écrivent $(0;s;1)$ : une intersection exigerait $0=1$ sur la troisième coordonnée, ce qui est impossible. Les droites $(AB)$ et $(EH)$ ne sont donc pas coplanaires.

Bases et repères de l'espace

Base, décomposition, repère

On dit que trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires. Tout vecteur $\vec V$ s'écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire de $\vec u,\vec v,\vec w$ : $\vec V=x\vec u+y\vec v+z\vec w$, où $(x;y;z)$ sont les coordonnées de $\vec V$ dans cette base.

Exemple. Soit la base $\vec u(1;0;0)$, $\vec v(1;1;0)$, $\vec w(1;1;1)$ (non coplanaires) et $\vec V(4;3;5)$. Chercher $(x;y;z)$ tels que $\vec V=x\vec u+y\vec v+z\vec w$ revient à résoudre $x+y+z=4$, $y+z=3$, $z=5$, d'où $z=5$, $y=3-5=-2$, $x=4-(-2)-5=1$. On vérifie : $1\times(1;0;0)+(-2)\times(1;1;0)+5\times(1;1;1) = (1-2+5\,;\,-2+5\,;\,5) = (4;3;5)$.

Un repère $(O;\vec u;\vec v;\vec w)$ est la donnée d'un point origine $O$ et d'une base. Pour tout point $M$, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec u+y\vec v+z\vec w$ : ce sont les coordonnées de $M$ dans le repère.

Base orthonormée, repère orthonormé

Une base orthonormée est un triplet $(\vec i,\vec j,\vec k)$ de vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme $1$ : $\|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1$ et $\vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec i\cdot\vec k=0$. Un repère est dit orthonormé lorsque sa base l'est : c'est le cadre par défaut pour calculer distances et produits scalaires à l'aide de coordonnées.

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Définition et propriétés

Pour $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ est celui calculé dans le plan contenant $A,B,C$, au sens déjà connu dans le plan : $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)$ si $\vec u,\vec v$ sont non nuls, et $0$ sinon.

Exemple. Si $AB=5$, $AC=8$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{3}$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times8\times\cos\dfrac{2\pi}{3} = 40\times\left(-\dfrac12\right)=-20$.

Comme dans le plan, ce produit scalaire reste symétrique ($\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$) et bilinéaire : $(\vec u+\lambda\vec v)\cdot\vec w = \vec u\cdot\vec w+\lambda(\vec v\cdot\vec w)$.

En coordonnées : norme et distance

Dans un repère orthonormé, pour $\vec u(x;y;z)$ et $\vec v(x';y';z')$ : $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz'$, d'où $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et, pour $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$ :

$$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

Exemple. Pour $\vec u(1;2;2)$ et $\vec v(2;-2;1)$ : $\vec u\cdot\vec v = 1\times2+2\times(-2)+2\times1=2-4+2=0$ (les vecteurs sont orthogonaux), et $\|\vec u\|=\sqrt{1+4+4}=3$. Pour $A(1;2;3)$ et $B(4;6;15)$ : $AB=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.

En développant $\|\vec u+\vec v\|^2$ comme dans le plan, on obtient les formules de polarisation :

$$\vec u\cdot\vec v = \frac12\Big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\Big) = \frac12\Big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\Big)$$

Orthogonalité de droites, droite et plan

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites qui les dirigent sont perpendiculaires ; par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u,\vec u'$ sont orthogonales si et seulement si $\vec u\cdot\vec u'=0$ — si elles sont sécantes, on parle de droites perpendiculaires ; sinon, d'orthogonales non coplanaires.

Exemple. Reprenons le cube précédent : $(AB)$ a pour direction $(1;0;0)$ et $(EH)$ a pour direction $(0;1;0)$. Leur produit scalaire est $1\times0+0\times1+0\times0=0$ : les droites $(AB)$ et $(EH)$ sont orthogonales — et, comme on a vu qu'elles ne sont pas coplanaires, elles ne sont pas perpendiculaires.

Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec u$ est orthogonale à un plan $P$ dès que $\vec u$ est orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, qui dirigent $P$ (il suffit de vérifier l'orthogonalité avec ce seul couple, pas avec tous les vecteurs du plan). En notant $\vec v,\vec w$ ce couple directeur de $P$ :

$$d \perp P \iff \vec u\cdot\vec v=0 \text{ et } \vec u\cdot\vec w=0$$

Exemple. Pour $P$ dirigé par $\vec v(1;0;0)$ et $\vec w(0;1;0)$ (le plan $z=0$) et $d$ de vecteur directeur $\vec n(0;0;1)$ : $\vec n\cdot\vec v=0$ et $\vec n\cdot\vec w=0$, donc $d$ est orthogonale à $P$.

Vecteur normal, projeté orthogonal, distances

On appelle vecteur normal à un plan $P$ tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$ est alors le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$.

Exemple. Reprenons $\vec n(0;0;1)$, normal au plan $z=0$ passant par $O(0;0;0)$ : pour $M(x;y;z)$, $\overrightarrow{OM}\cdot\vec n = z$, donc $\overrightarrow{OM}\cdot\vec n=0 \iff z=0$ : on retrouve bien l'équation du plan.

Le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ (ou sur un plan $P$) est le point d'intersection de $d$ (ou $P$) avec la perpendiculaire à $d$ (ou à $P$) passant par $M$ ; c'est le point de $d$ (ou $P$) le plus proche de $M$, et $MH$ est alors la distance de $M$ à $d$ (ou à $P$).

Exemple. Le projeté orthogonal de $M(3;5;7)$ sur le plan $z=0$ est $H(3;5;0)$ : la distance de $M$ à ce plan vaut $MH=7$.

Plan médiateur. Pour $A,B$ distincts, de milieu $I$, le plan médiateur de $[AB]$ est le plan passant par $I$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ ; c'est l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$.

Exemple. Pour $A(0;0;0)$ et $B(4;0;0)$, le plan médiateur est le plan d'équation $x=2$. Pour $M(2;5;7)$ : $MA=\sqrt{2^2+5^2+7^2}=\sqrt{78}$ et $MB=\sqrt{(2-4)^2+5^2+7^2}=\sqrt{78}$ : on a bien $MA=MB$.

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Représentation paramétrique d'une droite

Pour $\Delta$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a;b;c)$ : $M(x;y;z)\in\Delta \iff \exists\,t\in\mathbb R,\ \overrightarrow{AM}=t\vec u$, ce qui donne la représentation paramétrique :

$$\begin{cases} x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z=z_A+ct \end{cases} \quad t\in\mathbb R$$

Exemple. Pour $A(2;-1;3)$ et $\vec u(1;-2;4)$ : $\begin{cases} x=2+t \\ y=-1-2t \\ z=3+4t \end{cases}$. Le point $C(4;-5;11)$ appartient à cette droite : $x=4$ donne $t=2$, et l'on vérifie $y=-1-2\times2=-5$ et $z=3+4\times2=11$ — les trois équations donnent la même valeur $t=2$. En revanche $D(4;-5;10)$ n'y appartient pas : $t=2$ donne bien $y=-5$, mais $z=3+4\times2=11\neq10$.

Pour comparer deux droites, on compare d'abord leurs vecteurs directeurs. S'ils ne sont pas colinéaires, on résout le système obtenu en égalant les deux représentations (avec des paramètres distincts) : une solution signifie que les droites sont sécantes, aucune solution qu'elles sont non coplanaires. S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles : confondues si un point de l'une appartient à l'autre, strictement parallèles sinon.

Exemple. La droite $d'$ passant par $A'(3;-3;7)$, de vecteur directeur $\vec u'(2;-4;8)=2\vec u$, est colinéaire à $d$. Le point $A(2;-1;3)$ de $d$ vérifie-t-il une représentation paramétrique de $d'$ ? Avec $x=2=3+2s$, on trouve $s=-\frac12$, et l'on vérifie $y=-3-4\times\left(-\frac12\right)=-1$ et $z=7+8\times\left(-\frac12\right)=3$ : les trois coordonnées de $A$ correspondent à la même valeur $s=-\frac12$. Les droites $d$ et $d'$ sont donc confondues.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ non nul admet une équation $ax+by+cz+d=0$ ; réciproquement, un tel ensemble de points, pour $(a;b;c)\neq(0;0;0)$, est un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$.

Exemple. Pour $A(1;4;-2)$ et $\vec n(2;-1;3)$ : $2(x-1)-(y-4)+3(z+2)=0 \iff 2x-2-y+4+3z+6=0 \iff 2x-y+3z+8=0$.

Réciproquement, si un plan a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors $\vec n(a;b;c)$ en est un vecteur normal. Pour trouver un vecteur normal à un plan $(ABC)$, on cherche $\vec n$ orthogonal à la fois à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$.

Exemple. Pour $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ : $\overrightarrow{AB}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;0;1)$. On cherche $\vec n(a;b;c)$ tel que $-a+b=0$ et $-a+c=0$ : en prenant $a=1$, il vient $\vec n(1;1;1)$. Une équation du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+d=0$ avec, pour $A$ : $1+0+0+d=0$, soit $d=-1$ ; l'équation est $x+y+z-1=0$.

Distance d'un point à un plan

Propriété. Pour $P$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ et $A(x_A;y_A;z_A)$ :

$$d(A,P) = \frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Exemple. Pour $P: 2x+3y+6z-14=0$ (donc $\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$) et $M(1;1;1)$ : $d(M,P) = \dfrac{|2+3+6-14|}{7} = \dfrac{3}{7}$.

Traduire un problème par un système linéaire

De nombreux problèmes de géométrie repérée dans l'espace se ramènent à la résolution d'un système d'équations linéaires : décider si trois vecteurs forment une base (aucun n'est combinaison linéaire des deux autres), calculer les coordonnées d'un vecteur dans une base, étudier l'intersection d'une droite et d'un plan (en substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan) ou de deux plans (en résolvant leurs deux équations cartésiennes simultanément).