Terminale

Orthogonalité et distances dans l'espace

Nous étendons ici le produit scalaire, déjà connu dans le plan, à l'espace. Il permet de démontrer des orthogonalités, de calculer des angles et des longueurs, et de définir la notion de distance d'un point à une droite ou à un plan grâce à la projection orthogonale.

Produit scalaire dans l'espace

Définition du produit scalaire

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. On choisit trois points $A$ , $B$ , $C$ d'un même plan $P$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , est le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ calculé dans le plan $P$ (au sens du produit scalaire plan déjà connu) :

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ .

Exemple. $ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a$ . Comme $AF$ est la diagonale d'une face carrée, $AF = a\sqrt{2}$ , et l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AF})$ mesure $45°$ , donc :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = a \times a\sqrt{2} \times \cos(45°) = a \times a\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2

Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ de l'espace et tout réel $\lambda$ :

Symétrie. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité.

(\vec{u} + \lambda \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \lambda \,(\vec{v} \cdot \vec{w}) \qquad \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v} + \vec{w}) = \lambda \,(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{u} \cdot \vec{w}

Le produit scalaire est donc linéaire par rapport à chacune de ses deux variables : on dit qu'il est bilinéaire.

Base orthonormée, repère orthonormé

Une base orthonormée de l'espace est un triplet de vecteurs $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ deux à deux orthogonaux et de norme $1$ :

\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = \|\vec{k}\| = 1 \quad \text{et} \quad \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0

Un repère orthonormé est un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ dont la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est orthonormée.

Expressions en coordonnées

Dans un repère orthonormé, pour $\vec{u}(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}(x'\,;y'\,;z')$ :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

En particulier, la norme de $\vec{u}$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , et pour deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ , la distance $AB$ est :

AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}

Développement de $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ et formules de polarisation

En développant $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ à l'aide de la bilinéarité :

\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2

De même, $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ . En combinant ces deux égalités, on obtient les formules de polarisation :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\Big(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\Big) = \frac{1}{2}\Big(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Big)

Ces formules permettent de calculer un produit scalaire à partir de normes seules, sans connaître ni les coordonnées ni l'angle.

Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls sont orthogonaux lorsque les droites qui les dirigent sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Propriété (caractérisation). Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul :

\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Exemple. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(1\,;2\,;-1)$ et $\vec{v}(3\,;-1\,;1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times3 + 2\times(-1) + (-1)\times1 = 3-2-1=0$ . Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc orthogonaux.

Exercice — Produit scalaire, norme et angle dans un cube

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ . On munit l'espace du repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AD}\,;\overrightarrow{AE})$ , dans lequel $B(1;0;0)$ , $D(0;1;0)$ , $E(0;0;1)$ et $G(1;1;1)$ (sommet opposé à $A$ ).

Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AG}$ et calculer sa norme $AG$ .
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG}$ à l'aide des coordonnées.
On considère à présent deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 5$ , $\|\vec{v}\| = 4$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{21}$ . À l'aide d'une formule de polarisation, calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , puis en déduire une mesure de l'angle $(\vec{u}\,;\vec{v})$ arrondie au degré.

Exercice — Produit scalaire dans un tétraèdre régulier (bilinéarité)

$ABCD$ est un tétraèdre régulier d'arête $a$ (les six arêtes ont toutes pour longueur $a$ ). On rappelle que, dans un tétraèdre régulier, deux arêtes issues d'un même sommet forment un angle de $60°$ (chaque face est un triangle équilatéral).

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\vec{AC}\cdot\vec{AD}$ en fonction de $a$ .
En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer puis calculer $\vec{AB}\cdot\big(\vec{AC}+\vec{AD}\big)$ en fonction de $a$ .
Soit $M$ le milieu de $[CD]$ . Justifier, à l'aide de la relation de Chasles, que $\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\big(\vec{AC}+\vec{AD}\big)$ . Calculer $\|\vec{AC}+\vec{AD}\|^2$ à l'aide de la formule de développement de $\|\vec u+\vec v\|^2$ , puis en déduire la longueur $AM$ en fonction de $a$ .

Exercice — Orthogonalité de deux vecteurs dépendant d'un paramètre

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j}\,;\vec{k})$ . Pour un réel $m$ , on considère les vecteurs $\vec{u}(m\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}(2\,;m\,;1)$ .

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ en fonction de $m$ .
Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Pour cette valeur de $m$ , calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ , puis en déduire $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ à l'aide d'une formule de polarisation, sans calculer directement les coordonnées de $\vec{u}-\vec{v}$ .

QCM — Produit scalaire dans l'espace

1. Dans un repère orthonormé, on considère

\vec{u}(2\,;-1\,;3)

\vec{v}(1\,;4\,;2)

. Que vaut

\vec{u} \cdot \vec{v}

2. Deux vecteurs non nuls

\vec{u}

\vec{v}

vérifient

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

. Que peut-on en conclure ?

3. Sachant que

\|\vec{u}\|=5

\|\vec{v}\|=6

\|\vec{u}+\vec{v}\|=9

, que vaut

\vec{u} \cdot \vec{v}

Orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, projeté orthogonal

Orthogonalité de deux droites

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Contrairement au plan, deux droites orthogonales de l'espace ne sont pas nécessairement sécantes : si elles sont sécantes, on dit qu'elles sont perpendiculaires ; si elles ne se coupent pas, on dit qu'elles sont orthogonales et non coplanaires.

Propriété. Deux droites $d$ et $d'$ , de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ , sont orthogonales si, et seulement si :

\vec{u} \cdot \vec{u}' = 0

Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Propriété (caractérisation pratique). Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonale à un plan $P$ dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{v}$ et $\vec{w}$ si, et seulement si, $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v}$ et à $\vec{w}$ :

d \perp P \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \text{ et } \vec{u}\cdot\vec{w} = 0

Il suffit donc de vérifier l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan — ou, de façon équivalente, avec deux droites sécantes de ce plan — pour conclure que $d$ est orthogonale à tout le plan.

Vecteur normal à un plan

Tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à un plan $P$ est appelé vecteur normal à $P$ .

Propriété. Soit $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = 0$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ :

M \in P \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0

Projeté orthogonal

Sur une droite. Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point d'intersection de $d$ avec le plan orthogonal à $\vec{u}$ passant par $M$ .

Sur un plan. Soit $P$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$ et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ est le point d'intersection de $P$ avec la droite de vecteur directeur $\vec{n}$ passant par $M$ .

Propriété (distance). Si $H$ est le projeté orthogonal d'un point $A$ sur une droite $d$ (ou sur un plan $P$ ), alors $AH$ est la plus petite distance entre $A$ et un point de $d$ (ou de $P$ ) : c'est la distance de $A$ à $d$ (ou à $P$ ).

Démonstration (cas du plan). Soit $M$ un point quelconque de $P$ , avec $M \neq H$ . Le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal au plan $P$ , donc en particulier orthogonal à $\overrightarrow{HM}$ : le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ . D'après le théorème de Pythagore, $AM^2 = AH^2+HM^2 > AH^2$ car $HM \neq 0$ , donc $AM > AH$ . Ainsi $AH$ est bien la plus petite longueur possible.

Application : le plan médiateur de deux points

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$ . Le plan médiateur de $[AB]$ est le plan passant par $I$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ . C'est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ :

M \in \text{plan médiateur de } [AB] \iff MA = MB

Exercice — Orthogonalité d'une droite et d'un plan dans une pyramide

$SABCD$ est une pyramide de base carrée $ABCD$ , telle que les triangles $SAB$ , $SBC$ , $SCD$ et $SDA$ sont isocèles en $S$ . On note $O$ le centre du carré $ABCD$ , c'est-à-dire le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ .

Justifier que le triangle $SBD$ est isocèle en $S$ , puis que $(SO)$ est la médiatrice du segment $[BD]$ dans ce triangle. Justifier de même que $(SO)$ est la médiatrice de $[AC]$ dans le triangle $SAC$ .
En déduire que la droite $(SO)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ .
Justifier que $O$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$ , et que la distance de $S$ au plan $(ABC)$ est égale à $SO$ .
On donne $AC = 8$ cm et $SO = 3$ cm. Calculer la distance $SA$ .

Exercice — Bac Maths — Amérique du Nord 2025 (exercice 3)

Exercice 3 (4 points, vrai/faux) du sujet de bac Amérique du Nord, 21 mai 2025 — voir aussi l'annale complète.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ . On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=3-2t\\y=-1\\z=2-6t\end{cases}$ , $t\in\mathbb R$ , les points $A(3\,;-3\,;-2)$ et $B(5\,;-4\,;-1)$ , le point $C$ de $(d)$ d'abscisse 2, et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $\mathscr P$ d'équation $x+3z-7=0$ .

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

Affirmation 1. La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées ne sont pas coplanaires.

Affirmation 2. Le plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ a pour équation cartésienne $x+3z+3=0$ .

Affirmation 3. Une mesure en radian de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est $\dfrac\pi6$ .

Affirmation 4. $BH=\dfrac{\sqrt{10}}2$ .

Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 1 (exercice 2)

Exercice 2 (7 points) du sujet de bac Métropole, 11 mai 2022 — voir aussi l'annale complète.

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ , on considère $A(-1\,;1\,;3)$ et la droite $\mathscr D$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases}$ , $t\in\mathbb R$ (on admet $A\notin\mathscr D$ ).

a. Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $\mathscr D$ . b. Montrer que $B(-1\,;3\,;0)$ appartient à $\mathscr D$ . c. Calculer $\vec{AB}\cdot\vec u$ .
Soit $\mathscr P$ le plan passant par $A$ et orthogonal à $\mathscr D$ , et $H$ le point d'intersection de $\mathscr P$ et $\mathscr D$ (projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr D$ ). a. Montrer que $\mathscr P$ a pour équation cartésienne $2x-y+2z-3=0$ . b. En déduire que $H\left(\dfrac79\,;\dfrac{19}9\,;\dfrac{16}9\right)$ . c. Calculer la longueur exacte $AH$ .
On retrouve $H$ par une autre méthode, sachant $B\in\mathscr D$ et $\vec u$ dirige $\mathscr D$ . a. Justifier qu'il existe $k\in\mathbb R$ tel que $\vec{HB}=k\vec u$ . b. Montrer que $k=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}$ . c. Calculer $k$ et retrouver les coordonnées de $H$ .
Soit $C$ un point de $\mathscr P$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ vaille $\dfrac89$ . Calculer l'aire du triangle $ACH$ (on rappelle $V=\dfrac13\times\mathscr B\times h$ ).

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 2 (exercice 3)

Exercice 3 (7 points) du sujet de bac Métropole, 12 mai 2022 — voir aussi l'annale complète.

$ABCDEFGH$ est un cube ; $K$ est le milieu de $[BC]$ . On travaille dans le repère $(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$ et on étudie le tétraèdre $EFGK$ .

Donner les coordonnées de $E$ , $F$ , $G$ , $K$ .
Montrer que $\vec n(2\,;-2\,;1)$ est orthogonal au plan $(EGK)$ .
Montrer que $(EGK)$ a pour équation cartésienne $2x-2y+z-1=0$ .
Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale à $(EGK)$ passant par $F$ .
Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac59\,;\dfrac49\,;\dfrac79\right)$ .
Justifier que $LF=\dfrac23$ .
Calculer l'aire de $EFG$ ; en déduire que le volume de $EFGK$ vaut $\dfrac16$ .
En déduire l'aire du triangle $EGK$ .
Soit $P$ , $M$ , $N$ les milieux respectifs de $[EG]$ , $[EK]$ , $[GK]$ . Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$ .

QCM — Orthogonalité et projeté orthogonal

1. Une droite

d

de vecteur directeur

\vec{u}

est orthogonale à un plan

P

dirigé par deux vecteurs non colinéaires

\vec{v}

\vec{w}

. Que peut-on affirmer ?

H

est le projeté orthogonal d'un point

A

sur un plan

P

. Que représente la longueur

AH

P

est un plan de vecteur normal

\vec{n}

A

est un point n'appartenant pas à

P

H

désigne le projeté orthogonal de

A

sur

P

. Que peut-on affirmer sur le vecteur

\overrightarrow{AH}

Exercices bilan

Calculer un produit scalaire, une norme et une distance dans l'espace

ApplicationCorrigé gratuit

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j}\,;\vec{k})$ . On considère les vecteurs $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ , $\vec{v}(1\,;4\,;2)$ et $\vec{w}(3\,;3\,;-1)$ , ainsi que les points $A(1\,;0\,;2)$ et $B(4\,;2\,;-1)$ .

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
Calculer les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ , puis calculer la distance $AB$ .
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.

Vérifier qu'une droite est orthogonale à un plan à l'aide d'un vecteur normal

Application

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $P$ le plan passant par $A(1\,;2\,;0)$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{v_1}(1\,;1\,;-1)$ et $\vec{v_2}(2\,;-1\,;1)$ . Soit $d$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(0\,;1\,;1)$ .

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v_1}$ et $\vec{u}\cdot\vec{v_2}$ .
La droite $d$ est-elle orthogonale au plan $P$ ? Justifier à l'aide du cours.
Le vecteur $\vec{u}$ peut-il être qualifié de vecteur normal à $P$ ? Justifier.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étudier l'orthogonalité de diagonales d'un cube à l'aide des coordonnées

EntraînementCorrigé gratuit

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est la face du dessous, $EFGH$ la face du dessus, avec $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ . On munit l'espace du repère orthonormé $(A\,;\vec{AB}\,;\vec{AD}\,;\vec{AE})$ , dans lequel les sommets du cube ont pour coordonnées : $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $C(1\,;1\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , $G(1\,;1\,;1)$ , $H(0\,;1\,;1)$ .

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AG}$ (une diagonale du cube, reliant deux sommets opposés) et de $\overrightarrow{BD}$ (une diagonale de la face du dessous).
Montrer que les droites $(AG)$ et $(BD)$ sont orthogonales.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EC}$ (une autre diagonale du cube, $E$ et $C$ étant également deux sommets opposés). Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont-elles orthogonales ?

Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan et en déterminer une équation cartésienne

Entraînement

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $P$ le plan passant par $A(1\,;-1\,;2)$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{v_1}(2\,;1\,;-1)$ et $\vec{v_2}(1\,;-1\,;1)$ . Soit $d$ la droite passant par $B(0\,;3\,;1)$ , de vecteur directeur $\vec{u}(0\,;1\,;1)$ .

Vérifier que $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ne sont pas colinéaires.
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v_1}$ et $\vec{u}\cdot\vec{v_2}$ . La droite $d$ est-elle orthogonale au plan $P$ ? En déduire que $\vec{u}$ est un vecteur normal à $P$ .
Déterminer une équation cartésienne de $P$ .
Le point $C(4\,;1\,;-2)$ appartient-il au plan $P$ ?

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite et calculer une distance

Entraînement

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $d$ la droite passant par $A(1\,;-1\,;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1\,;2\,;2)$ . Soit $M$ le point de coordonnées $(5\,;4\,;5)$ .

Justifier que le point $H$ défini par $\overrightarrow{AH} = 2\vec{u}$ appartient à la droite $d$ , et donner ses coordonnées.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{HM}$ , puis calculer $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}$ .
En déduire que $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ .
Calculer la distance du point $M$ à la droite $d$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et calculer une distance

Entraînement

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $P$ le plan d'équation cartésienne $2x-2y+z-1=0$ , et soit $M$ le point de coordonnées $(6\,;-6\,;4)$ .

Donner un vecteur normal $\vec{n}$ à $P$ lu directement sur son équation, et vérifier que le point $A(0\,;0\,;1)$ appartient à $P$ .
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ , et vérifier qu'il est colinéaire à $\vec{n}$ .
Justifier, à l'aide du cours, que $A$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ .
En déduire la distance du point $M$ au plan $P$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étude vectorielle d'un tétraèdre : orthogonalité, plan et distance

Type bac

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j}\,;\vec{k})$ . On considère le tétraèdre $ABCD$ de sommets $A(0\,;0\,;0)$ , $B(2\,;-2\,;1)$ , $C(2\,;1\,;-2)$ et $D(7\,;5\,;5)$ .

Partie A — Produit scalaire et orthogonalité dans le tétraèdre

Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ . Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles orthogonales ?
Calculer $AB$ et $AC$ , puis calculer les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$ et en déduire $BC$ . Vérifier ce dernier résultat à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ .
Calculer $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$ . Que peut-on en déduire sur les droites $(AD)$ et $(BC)$ ?

Partie B — Plan $(ABC)$ et distance du point $D$

On admet que le vecteur $\vec{n}(1\,;2\,;2)$ est normal au plan $(ABC)$ .

Vérifier ce résultat en calculant $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .
Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ .
Soit $H$ le point défini par $\overrightarrow{DH} = -3\vec{n}$ . Calculer les coordonnées de $H$ , vérifier que $H$ appartient au plan $(ABC)$ , et en déduire que $H$ est le pied de la hauteur issue de $D$ dans le tétraèdre $ABCD$ (c'est-à-dire le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ ). Vérifier que la distance $DH$ est bien cohérente avec le résultat de la question 6.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Chapitre suivant

Orthogonalité et distances dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Définition du produit scalaire

Propriétés du produit scalaire

Base orthonormée, repère orthonormé

Expressions en coordonnées

Développement de ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2∥u+v∥2 et formules de polarisation

Orthogonalité de deux vecteurs

QCM — Produit scalaire dans l'espace

Orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, projeté orthogonal

Orthogonalité de deux droites

Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Vecteur normal à un plan

Projeté orthogonal

Application : le plan médiateur de deux points

QCM — Orthogonalité et projeté orthogonal

Exercices bilan

Calculer un produit scalaire, une norme et une distance dans l'espace

Vérifier qu'une droite est orthogonale à un plan à l'aide d'un vecteur normal

Étudier l'orthogonalité de diagonales d'un cube à l'aide des coordonnées

Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan et en déterminer une équation cartésienne

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite et calculer une distance

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et calculer une distance

Étude vectorielle d'un tétraèdre : orthogonalité, plan et distance

Développement de $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ et formules de polarisation