Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Définition

Soit $\Delta$ une droite passant par un point $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$. Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, c'est-à-dire :

$$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}$$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ (le réel $t$ est le paramètre).

Démonstration. $M \in \Delta \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires $\iff$ il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$. Comme $\overrightarrow{AM}(x-x_A\,;y-y_A\,;z-z_A)$, cette égalité vectorielle équivaut au système ci-dessus.

Remarque. La représentation paramétrique d'une droite n'est pas unique : elle dépend du point choisi sur la droite et du vecteur directeur choisi (deux vecteurs directeurs colinéaires donnent deux représentations différentes de la même droite).

Déterminer une représentation paramétrique

Méthode. Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$, on calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ (vecteur directeur), puis on applique la définition avec le point $A$.

Exemple. Soient $A(2\,;-1\,;3)$ et $B(0\,;3\,;-1)$. On a $\overrightarrow{AB}(-2\,;4\,;-4)$, donc une représentation paramétrique de $(AB)$ est :

$$\begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = -1 + 4t \\ z = 3 - 4t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$

Tester l'appartenance d'un point à une droite

Pour savoir si un point $C(x_C\,;y_C\,;z_C)$ appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique, on remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de $C$ et on résout le système obtenu en $t$ : si les trois équations donnent la même valeur de $t$, alors $C$ appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique

Dans un système $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$, on lit directement :

• un point de la droite : $A_0(x_0\,;y_0\,;z_0)$ (valeur du paramètre $t=0$) ;
• un vecteur directeur de la droite : $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ (coefficients de $t$).

Comparer deux droites. Pour étudier la position relative de deux droites $d$ et $d'$ (sécantes, parallèles ou non coplanaires), on compare d'abord leurs vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ :

• s'ils ne sont pas colinéaires, on résout le système formé en égalant les coordonnées des deux représentations (avec des paramètres $t$ et $t'$ distincts) : s'il admet une solution, les droites sont sécantes ; sinon, elles ne sont pas coplanaires ;
• s'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles : soit confondues (si un point de l'une appartient à l'autre), soit strictement parallèles et distinctes.

Équation cartésienne d'un plan de vecteur normal donné

Propriété.

1. Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ non nul admet une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$.
2. Réciproquement, soient $a,b,c,d$ quatre réels avec $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$. L'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$.

Démonstration (point 1). Soit $A(x_0;y_0;z_0)$ un point du plan $P$ et $M(x;y;z)$ un point de l'espace. On a $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)$, donc :

$$M \in P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0 \iff ax+by+cz\underbrace{-(ax_0+by_0+cz_0)}_{=\,d} = 0$$

Déterminer une équation cartésienne

Méthode. Connaissant un point $A(x_0;y_0;z_0)$ du plan et un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$, on écrit $ax+by+cz+d=0$ puis on détermine $d$ en imposant que les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.

Exemple. Une équation du plan de vecteur normal $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ passant par $A(1\,;0\,;1)$ : on part de $2x+y+2z+d=0$, et $A$ vérifie l'équation donc $2\times1+0+2\times1+d=0$, soit $d=-4$. Une équation du plan est donc $2x+y+2z-4=0$.

Reconnaître un plan donné par une équation cartésienne

Si un plan a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ (les coefficients de $x$, $y$, $z$) est un vecteur normal à ce plan. Pour savoir si un point appartient au plan, on vérifie que ses coordonnées satisfont l'équation.

Exemple. Le plan $\mathscr{P}$ d'équation $2x+3y-5z-2=0$ admet pour vecteur normal $\vec{n}(2\,;3\,;-5)$. Le point $I(1\,;0\,;0)$ vérifie $2\times1+3\times0-5\times0-2=0$ : $I$ appartient donc à $\mathscr{P}$.

Déterminer un vecteur normal à partir de trois points

Pour un plan $(ABC)$, on cherche $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ orthogonal à la fois à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire vérifiant le système $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=0$ et $\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=0$ : ce système de deux équations à trois inconnues admet une infinité de solutions colinéaires entre elles, dont on choisit la plus simple.

Projeté orthogonal et distance à un plan donné par équation cartésienne

Soit $P$ un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$, de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$, et $A$ un point. Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $P$ s'obtient en écrivant une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{n}$, puis en substituant dans l'équation de $P$ pour trouver la valeur du paramètre correspondant à $H$.

Propriété (distance point-plan).

$$d(A,P) = \frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Systèmes linéaires et problèmes de géométrie dans l'espace

Beaucoup de questions de géométrie repérée dans l'espace se ramènent à résoudre un système d'équations linéaires :

• trois vecteurs forment une base de l'espace si, et seulement si, ils ne sont pas coplanaires, ce qui se traduit par : aucun des trois n'est combinaison linéaire des deux autres (le système traduisant une éventuelle combinaison linéaire n'a pas de solution) ;
• les coordonnées d'un vecteur dans une base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ s'obtiennent en résolvant le système vectoriel $\vec{w} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ;
• pour étudier l'intersection d'une droite et d'un plan, on substitue la représentation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan et on résout en $t$ (une solution : sécants ; aucune solution : parallèles disjoints ; une infinité : la droite est incluse dans le plan) ;
• pour l'intersection de deux plans, on résout le système formé par leurs deux équations cartésiennes (colinéarité des vecteurs normaux : plans parallèles ou confondus ; sinon, plans sécants selon une droite).