Primitives, équations différentielles

Équation différentielle $y'=f$ et primitives

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction. L'équation $y'=f$, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $I$, consiste à chercher toutes les fonctions dont la dérivée est $f$.

Définition. On dit qu'une fonction $F$, dérivable sur $I$, est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque :

$$\text{pour tout } x \in I, \quad F'(x) = f(x)$$

Exemple. La fonction $F(x) = x^3$ est une primitive de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 3x^2 = f(x)$.

Autre exemple simple : la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$ admet pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x) = x^2$, car $F'(x) = 2x = f(x)$. La figure ci-dessous représente la courbe de $f$ :

Théorème (admis). Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Ce résultat sera démontré dans le chapitre Calcul intégral, à partir de la notion d'aire sous une courbe.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante

Théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.

• Pour tout réel $k$, la fonction $x \mapsto F(x) + k$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.
• Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe un réel $k$ tel que, pour tout $x \in I$, $G(x) = F(x) + k$.

Démonstration.

• Si $F' = f$, alors $(F+k)' = F' = f$ : donc $F+k$ est bien une primitive de $f$.
• Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$. Posons $h = G - F$. Alors $h' = G' - F' = f - f = 0$ sur $I$. Or une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe donc $k \in \mathbb{R}$ tel que $h(x) = k$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire $G(x) = F(x) + k$. $\blacksquare$

Conséquence. Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante. Parmi elles, il existe une unique primitive prenant une valeur donnée en un point donné.

Primitives des fonctions de référence

Remarque. Le cas $n=-1$, c'est-à-dire $f(x)=\frac{1}{x}$, est à part : $x \mapsto \ln|x|$ en est une primitive.

Primitives et fonctions composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, dont la dérivée $u'$ est continue sur $I$.

Ce dernier cas généralise tous les précédents : si $v$ est une primitive de $v'$, alors $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$, donc $v \circ u$ est une primitive de $u' \times (v' \circ u)$.

Méthode. Pour trouver une primitive d'une fonction $f$, on essaie de reconnaître l'une de ces formes en identifiant $u$. Si l'on obtient une forme proche mais avec un coefficient multiplicatif erroné, on corrige en multipliant par la constante adéquate.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{1}{(3x+6)^2}$ définie sur $]-2;+\infty[$. On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = 3x+6$ (donc $u'(x)=3$), à un facteur près :

$$f(x) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{(3x+6)^2} = \frac{1}{3} \times \frac{u'(x)}{u(x)^2}$$

Une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$, donc une primitive de $f$ sur $]-2;+\infty[$ est :

$$F(x) = -\frac{1}{3} \times \frac{1}{3x+6} = -\frac{1}{3(3x+6)}$$

Exemple. Soit $g(x) = x e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x)=x^2$, donc $u'(x)=2x$. On a $g(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x \, e^{x^2} = \dfrac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est donc $G(x) = \dfrac{1}{2} e^{x^2}$.

Équation différentielle $y'=ay$

Soit $a$ un réel. On considère l'équation différentielle $(E) : y' = ay$, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$.

Théorème. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions

$$x \mapsto C e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$

Démonstration. Pour $C \in \mathbb{R}$, posons $f(x) = Ce^{ax}$. Alors $f'(x) = C \times a e^{ax} = a f(x)$ : $f$ est bien solution de $(E)$.

Réciproquement, si $f$ est une solution de $(E)$, posons $g(x) = f(x)e^{-ax}$. Alors $g'(x) = f'(x)e^{-ax} - a f(x) e^{-ax} = e^{-ax}\big(f'(x)-af(x)\big) = 0$ sur $\mathbb{R}$ (car $f'=af$). Donc $g$ est constante, égale à $g(0)=f(0)$. En posant $C=f(0)$, on obtient $f(x) = Ce^{ax}$ pour tout $x$. $\blacksquare$

Unique solution vérifiant une condition initiale. Pour tout couple $(x_0,y_0)$, il existe une unique solution $f$ de $(E)$ telle que $f(x_0)=y_0$ : c'est $f(x) = y_0\, e^{a(x-x_0)}$.

Allure des courbes solutions de $y'=ay$

Les courbes représentatives des solutions $x \mapsto Ce^{ax}$ ont une allure qui dépend des signes de $a$ et de $C$ :

• Si $a>0$ : les solutions sont strictement croissantes si $C>0$, strictement décroissantes si $C<0$.
• Si $a<0$ : les solutions sont strictement décroissantes si $C>0$, strictement croissantes si $C<0$, et tendent vers $0$ en $+\infty$ (modèle de désintégration radioactive, refroidissement, etc.).
• Si $a=0$ : les solutions sont les fonctions constantes $x \mapsto C$.

Toutes les courbes solutions ne se croisent jamais : chacune passe par un unique point d'ordonnée $C$ en $x=0$.

Équation différentielle $y'=ay+b$

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a \neq 0$. On considère l'équation différentielle $(E) : y'=ay+b$.

Étape 1 : solution particulière constante. On cherche une solution constante $y=k$. Comme $y'=0$, l'équation devient $0 = ak+b$, soit $k = -\dfrac{b}{a}$. La fonction constante $\varphi(x) = -\dfrac{b}{a}$ est donc une solution particulière de $(E)$.

Étape 2 : lien avec l'équation homogène. Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $z = y - \varphi$, c'est-à-dire $y = z + \varphi$. Alors, comme $\varphi'=0$ et $a\varphi+b=0$ :

$$y'=ay+b \iff z' = a(z+\varphi)+b \iff z'=az + (a\varphi+b) \iff z'=az$$

Donc $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z=y-\varphi$ est solution de l'équation homogène associée $z'=az$.

Théorème. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y'=ay+b$ (avec $a\neq0$) sont les fonctions

$$x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$$

Exemple. Résoudre $(E):y'=-2y+6$. Solution particulière constante : $k=-\dfrac{6}{-2}=3$. Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-2x}+3$, $C\in\mathbb{R}$.

Équation différentielle $y'=ay+f$ : à partir d'une solution particulière

Plus généralement, si $f$ est une fonction continue quelconque (pas nécessairement constante), et si l'on connaît une solution particulière $\varphi$ de $(E):y'=ay+f$, le même raisonnement s'applique.

Théorème. Soit $\varphi$ une solution particulière de $(E):y'=ay+f$. Une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-\varphi$ est solution de l'équation homogène $z'=az$. Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions

$$x \mapsto Ce^{ax} + \varphi(x), \quad C \in \mathbb{R}$$

Méthode. Pour résoudre $y'=ay+f$ à partir d'une solution particulière $\varphi$ donnée : on résout l'équation homogène $z'=az$ (solutions $Ce^{ax}$), puis on ajoute $\varphi$.

Exemple. Soit $(E):y'=2y+e^{-x}$. On admet que $\varphi(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$ : en effet $\varphi'(x)=\dfrac{1}{3}e^{-x}$ et $2\varphi(x)+e^{-x}=-\dfrac{2}{3}e^{-x}+e^{-x}=\dfrac{1}{3}e^{-x}=\varphi'(x)$. L'équation homogène associée $z'=2z$ a pour solutions $x\mapsto Ce^{2x}$. Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions

$$x \mapsto Ce^{2x} - \frac{1}{3}e^{-x}, \quad C \in \mathbb{R}$$