Exponentielle, logarithme, trigonométrie et calcul intégral

Fonction exponentielle

Définition, nombre $e$, notation $e^x$

Définition (propriété admise). Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. Cette fonction est la fonction exponentielle, notée $\exp$.

L'image de $1$ par la fonction exponentielle est notée $e$ : $\exp(1)=e$, un nombre irrationnel dont une valeur approchée est $e \approx 2{,}718$. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x)=e^x$.

Relation fonctionnelle

Théorème. Pour tous réels $x,y$ : $e^{x+y}=e^x\times e^y$. On en déduit $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$, $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n=e^{nx}$ pour $n\in\mathbb{Z}$.

Exemple. $\dfrac{e^{3x}\times e^{-x+2}}{e^{x-1}} = e^{(3x-x+2)-(x-1)} = e^{x+3}$.

Dérivée et sens de variation

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, dérivable, avec $(e^x)'=e^x$. Comme $e^x>0$ pour tout $x$, elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$. Étant strictement croissante, elle conserve l'ordre : pour tous réels $a,b$, $e^a=e^b \iff a=b$ et $e^a<e^b \iff a<b$.

Fonction logarithme népérien (notion de Terminale)

Définition comme réciproque de l'exponentielle

Comme la fonction exponentielle est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]0;+\infty[$, pour tout réel $y>0$ l'équation $e^x=y$ admet une unique solution $x$. On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, la fonction qui à tout réel $y>0$ associe cette unique solution : c'est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur $]0;+\infty[$.

$$y=e^x \iff x=\ln(y) \qquad\qquad \ln(e^x)=x \qquad\qquad e^{\ln(y)}=y \ (y>0)$$

Avec $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

Propriétés algébriques

Théorème. Pour tous réels strictement positifs $a,b$ : $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$. On en déduit $\ln\!\left(\dfrac1a\right)=-\ln(a)$, $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$, $\ln(a^n)=n\ln(a)$ pour $n\in\mathbb{Z}$, et $\ln(\sqrt a)=\dfrac12\ln(a)$.

Exemple. $\ln(45) = \ln(3^2\times5) = 2\ln3+\ln5$.

Dérivée, sens de variation, limites

$\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, avec $\ln'(x)=\dfrac1x>0$ : elle est donc strictement croissante. Ses limites aux bornes sont $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ (la droite $x=0$ est asymptote verticale à sa courbe) et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.

Dans un repère orthonormé, la courbe de $\ln$ est la symétrique de la courbe de $\exp$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ — propriété générale de deux fonctions réciproques.

Croissances comparées

Propriété (admise). En $+\infty$, $\ln$ tend vers $+\infty$ « infiniment plus lentement » que toute puissance de $x$ : pour tout entier $n\geqslant1$,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+}x^n\ln(x)=0$$

De même, en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur $x$ (voir la page Fonctions, dérivation et convexité) : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$.

Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique, radian, enroulement

Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre). Le radian est l'unité de mesure d'angle définie par la longueur de l'arc de cercle intercepté sur ce cercle ; le demi-cercle, de longueur $\pi$, correspond à un angle de $\pi$ radians : $180° = \pi$ rad.

En « enroulant » la droite réelle graduée sur le cercle trigonométrique (tangente au point $I(1;0)$), tout réel $x$ vient se placer en un unique point $M$, appelé point image de $x$. Le cercle ayant pour périmètre $2\pi$, un même point est l'image d'une infinité de réels, tous distants d'un multiple de $2\pi$ : $x' = x + k\times2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, ce que l'on note $x'=x\ [2\pi]$. Le seul de ces réels appartenant à $]-\pi;\pi]$ est la mesure principale.

Exemple. $-\dfrac{5\pi}3 = \dfrac{\pi}3\ [2\pi]$, car $-\dfrac{5\pi}3+2\pi = \dfrac{\pi}3$.

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$ ; le sinus de $x$, noté $\sin x$, est son ordonnée. Pour tout réel $x$ : $-1\leqslant\cos x\leqslant1$, $-1\leqslant\sin x\leqslant1$ et $\cos^2x+\sin^2x=1$. Ces définitions coïncident, pour un angle entre $0$ et $\dfrac\pi2$, avec le cosinus et le sinus usuels dans un triangle rectangle.

Fonctions cosinus et sinus : parité et périodicité

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[-1;1]$, et $2\pi$-périodiques : $\cos(x+2\pi)=\cos x$, $\sin(x+2\pi)=\sin x$. La fonction $\cos$ est paire ($\cos(-x)=\cos x$, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; la fonction $\sin$ est impaire ($\sin(-x)=-\sin x$, courbe symétrique par rapport à l'origine). Leurs courbes représentatives sont des sinusoïdes, et $\cos(x)=\sin\!\left(x+\dfrac\pi2\right)$ pour tout réel $x$.

Dérivées de sinus et cosinus (notion de Terminale)

Propriété (admise). $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec $\sin'(x)=\cos(x)$ et $\cos'(x)=-\sin(x)$.

Exemple. Pour $f(x)=\sin(2x)$, en posant $u(x)=2x$ (donc $u'(x)=2$) : $f'(x) = u'(x)\cos\big(u(x)\big) = 2\cos(2x)$.

Primitives et équations différentielles (notions de Terminale)

Primitive d'une fonction continue

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$. On dit qu'une fonction $F$, dérivable sur $I$, est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (théorème admis, démontré dans le chapitre sur le calcul intégral).

Exemple. $F(x)=x^3$ est une primitive de $f(x)=3x^2$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x)=3x^2=f(x)$.

Propriété. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x\mapsto F(x)+k$, $k\in\mathbb{R}$. Il existe une unique primitive prenant une valeur donnée en un point donné.

Primitives des fonctions de référence. $x\mapsto x^n$ ($n\in\mathbb{Z}$, $n\neq-1$) a pour primitive $x\mapsto\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $x\mapsto\dfrac1x$ a pour primitive $x\mapsto\ln|x|$ ; $x\mapsto\dfrac1{\sqrt x}$ a pour primitive $x\mapsto2\sqrt x$ ; les fonctions $\exp$, $\sin$ et $\cos$ ont pour primitives respectives $\exp$, $x\mapsto-\cos x$ et $\sin$.

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction. L'équation $y'=f$ (avec $f$ continue sur $I$), d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $I$, revient à chercher les primitives de $f$.

Théorème. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ ($a$ réel) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$, $C\in\mathbb{R}$. Pour l'équation $y'=ay+b$ (avec $a\neq0$), les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$, $C\in\mathbb{R}$ (on ajoute à la solution générale de l'équation homogène $y'=ay$ la solution particulière constante $-\dfrac ba$).

Exemple. Les solutions de $y'=-2y+6$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}+3$ ($C\in\mathbb{R}$), car la solution constante particulière vaut $k=-\dfrac6{-2}=3$.

Calcul intégral (notion de Terminale)

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit $f$ continue et positive sur $[a;b]$. On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire du rectangle construit à partir des points $O$, $I$, $J$ d'un repère orthogonal. L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est la mesure en unités d'aire de l'aire du domaine sous la courbe de $f$ (entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$). La variable $x$ y est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$.

Lien primitive/intégrale

Théorème (fondamental). Si $f$ est continue et positive sur $[a;b]$, la fonction $F_a(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Conséquence. Pour $F$ une primitive quelconque de $f$ continue sur $I$, et $a,b\in I$ :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$$

Exemple. $\displaystyle\int_0^1(2x+3)\,dx = \big[x^2+3x\big]_0^1 = 4-0=4$.

Cette relation permet de définir $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ même si $f$ n'est pas positive ; si $f$ change de signe sur $[a;b]$, on parle d'aire algébrique (l'intégrale est alors la somme des aires, positives au-dessus de l'axe, négatives en dessous).

Propriétés

Pour $f,g$ continues sur $I$, $\alpha,\beta$ réels, $a,b,c\in I$ :

• Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$.
• Linéarité : $\displaystyle\int_a^b\big(\alpha f+\beta g\big)(x)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx$.
• Positivité : si $f\geqslant0$ sur $[a;b]$ (avec $a\leqslant b$), alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\geqslant0$ ; si $f\leqslant g$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx$.

Valeur moyenne

Définition. La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a;b]$ ($a<b$) est le réel $\mu = \dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Exemple. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$ est $\mu=\dfrac13\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=\dfrac13\times9=3$.

Aire entre deux courbes, intégration par parties

Si $f\geqslant g$ sur $[a;b]$, l'aire entre les courbes de $f$ et $g$ (et les droites $x=a$, $x=b$) est $A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$.

Intégration par parties. Pour $u,v$ dérivables sur $I$ à dérivées continues, et $a,b\in I$ :

$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$

Exemple. Calculons $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$ en posant $u'(x)=1$ (donc $u(x)=x$) et $v(x)=\ln x$ (donc $v'(x)=\frac1x$) :

$$\int_1^e\ln x\,dx = \big[x\ln x\big]_1^e - \int_1^e1\,dx = e - (e-1) = 1$$