Calcul intégral

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ (avec $a \leqslant b$), et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;I,J)$.

Définitions.

• On appelle unité d'aire (notée u.a.) l'aire du rectangle construit à partir des points $O$, $I$ et $J$.
• Le domaine sous la courbe $\mathscr{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$.
• L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine sous la courbe.

Remarque. La variable $x$ dans $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est muette : on peut tout aussi bien écrire $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$, cela désigne le même nombre.

Théorème fondamental de l'analyse

Théorème. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. La fonction $F_a$ définie sur $[a;b]$ par

$$F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

est dérivable sur $[a;b]$, et $F_a' = f$. Autrement dit, $F_a$ est la primitive de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$ (on a bien $F_a(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0$, l'aire d'un domaine d'épaisseur nulle étant nulle).

Conséquence fondamentale. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ : ce résultat, admis dans le chapitre Primitives, est ainsi justifié pour une fonction positive (le cas général, pour une fonction de signe quelconque, s'en déduit).

Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

Théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$, et $a,b$ deux réels de $I$. Alors :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$$

Démonstration (cas $f$ positive). D'après le théorème fondamental, $F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Comme $F$ est une autre primitive de $f$, on sait que $F$ et $F_a$ diffèrent d'une constante : $F=F_a+k$. En $x=a$ : $F(a)=F_a(a)+k=k$, donc $F_a(x)=F(x)-F(a)$. En particulier, $F_a(b)=\int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a)$. $\blacksquare$

Exemple. Calculer $\displaystyle\int_0^1 (2x+3)\,dx$. Une primitive de $x\mapsto 2x+3$ est $F(x)=x^2+3x$. Donc :

$$\int_0^1 (2x+3)\,dx = \big[x^2+3x\big]_0^1 = (1+3)-(0+0) = 4$$

Extension à une fonction de signe quelconque

Ce résultat permet de définir $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ même lorsque $f$ n'est pas positive : on pose $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ pour $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$.

• Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leqslant 0$, et l'aire (positive) du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ vaut $A = -\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
• Si $f$ change de signe sur $[a;b]$, l'intégrale est la somme algébrique des aires (positives au-dessus de l'axe, négatives en dessous) : on parle d'aire algébrique.

Exemple. Sur $[0;\pi]$, $\sin$ est positive : $\int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1+1=2 \geqslant 0$. Sur $[\pi;2\pi]$, $\sin$ est négative : $\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -1-1=-2 \leqslant 0$.

Propriétés algébriques de l'intégrale

Soit $f,g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $\alpha,\beta$ deux réels et $a,b,c$ trois réels de $I$.

• Intégrale nulle. $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$.
• Antisymétrie. $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.
• Relation de Chasles. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$.
• Linéarité. $\displaystyle\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big)(x)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$.

Positivité et intégration des inégalités

Soit $a \leqslant b$ deux réels de $I$.

• Positivité. Si $f$ est positive sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geqslant 0$.
• Intégration des inégalités. Si, pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx$.

Attention. Ces deux propriétés supposent $a \leqslant b$ : l'ordre des bornes compte.

Encadrer une intégrale

Application fréquente : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x\in[a;b]$ (avec $a\leqslant b$), en intégrant :

$$m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,dx \leqslant M(b-a)$$

Exemple. Pour tout $x\in[0;1]$, $1\leqslant e^{x^2}\leqslant e^x$ (car $0\leqslant x^2\leqslant x$ sur $[0;1]$, et $\exp$ est croissante). En intégrant sur $[0;1]$ :

$$\int_0^1 1\,dx \leqslant \int_0^1 e^{x^2}\,dx \leqslant \int_0^1 e^x\,dx \quad\text{soit}\quad 1 \leqslant \int_0^1 e^{x^2}\,dx \leqslant e-1$$

Valeur moyenne d'une fonction

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a,b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$. On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ le réel $\mu$ défini par :

$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

Interprétation graphique. Lorsque $f$ est continue et positive sur $[a;b]$, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe $\mathscr{C}_f$ :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \mu \times (b-a)$$

Exemple. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$ est $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac13\times9=3$.

La figure ci-dessous représente la courbe de $f(x) = x^2$ et met en évidence, par la zone colorée, l'aire sous la courbe entre 0 et 2, c'est-à-dire l'intégrale $\int_0^2 x^2\,dx$.

Inégalité de la moyenne

Théorème. Soit $f$ continue sur $[a;b]$ (avec $a\leqslant b$) et $m,M$ deux réels tels que $m\leqslant f(x)\leqslant M$ pour tout $x\in[a;b]$. Alors la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[a;b]$ vérifie $m\leqslant\mu\leqslant M$ (conséquence directe de l'intégration des inégalités).

Aire entre deux courbes

Théorème. Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$ telles que $f(x)\geqslant g(x)$ pour tout $x\in[a;b]$. L'aire $A$, en unités d'aire, du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :

$$A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$

Ce résultat généralise la définition de l'intégrale comme aire sous la courbe, en prenant $g=0$.

Méthode. Pour calculer une aire entre deux courbes : on détermine sur quel(s) intervalle(s) $f\geqslant g$ (étude du signe de $f-g$, ou position relative des courbes), puis on intègre $f-g$ sur chacun de ces intervalles.

Exemple. Aire entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, avec $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$, sur $[0;1]$, sachant que $x^2\leqslant x$ sur $[0;1]$ (donc $f\geqslant g$ ici) :

$$A = \int_0^1(x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12-\frac13=\frac16 \text{ u.a.}$$

Intégration par parties

Théorème. Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$. Pour tous réels $a,b$ de $I$ :

$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$

Démonstration. La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)'=u'v+uv'$, donc $u'v = (uv)'-uv'$. En intégrant chaque membre entre $a$ et $b$ (par linéarité) :

$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \int_a^b (uv)'(x)\,dx - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx \qquad\blacksquare$$

Méthode. Cette formule est utile lorsque $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$ est plus simple à calculer que $\displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,dx$. On choisit $v$ facile à dériver et $u'$ facile à intégrer.

Exemple. Calculer $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$. On pose $u'(x)=1$ (donc $u(x)=x$) et $v(x)=\ln x$ (donc $v'(x)=\frac1x$) :

$$\int_1^e \ln x\,dx = \big[x\ln x\big]_1^e - \int_1^e x\times\frac1x\,dx = (e-0) - \int_1^e 1\,dx = e - \big[x\big]_1^e = e-(e-1)=1$$

Exemple. Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$. On pose $u'(x)=e^x$ (donc $u(x)=e^x$) et $v(x)=x$ (donc $v'(x)=1$) :

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 1\times e^x\,dx = (e-0) - \big[e^x\big]_0^1 = e-(e-1)=1$$