Fonctions, dérivation et convexité

Nombre dérivé et tangente

Taux de variation, sécante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un réel de $I$ et $h$ un réel non nul tel que $a+h \in I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le nombre :

$$\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Géométriquement, si $A(a\,;f(a))$ et $M(a+h\,;f(a+h))$ sont deux points de la courbe représentative de $f$, alors $\tau(h)$ est le coefficient directeur (la pente) de la droite sécante $(AM)$.

Exemple. Pour $f(x)=x^2$ et $a=1$ : $\tau(h) = \dfrac{(1+h)^2-1^2}{h} = \dfrac{2h+h^2}{h} = 2+h$.

Nombre dérivé, fonction dérivable en un point

Définition. Si le taux de variation $\tau(h)$ tend vers un nombre réel lorsque $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et ce nombre est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Exemple. Pour $f(x)=x^2$ et $a=1$, d'après le calcul ci-dessus, $\tau(h) = 2+h$, qui tend vers $2$ quand $h$ tend vers $0$. Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$.

Le nombre dérivé s'interprète selon le contexte : pente de la tangente (voir ci-dessous), vitesse instantanée en cinématique, coût marginal en économie.

Tangente à une courbe

Quand $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche de $A$ le long de la courbe et la sécante $(AM)$ pivote vers une position limite : la tangente à la courbe au point $A$, de coefficient directeur $f'(a)$. Son équation est :

$$y = f'(a)(x-a) + f(a)$$

Exemple. Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=2$, donc la tangente au point $(1\,;1)$ a pour équation $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.

Si $f'(a)=0$, la tangente en $a$ est horizontale.

Fonction dérivée et opérations

Fonction dérivable sur un intervalle, fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

Exemple. La fonction carré $x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de fonction dérivée $x \mapsto 2x$. La fonction valeur absolue est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ mais pas dérivable en $0$ : sa courbe présente un point anguleux (les tangentes à gauche et à droite en $0$ n'ont pas le même coefficient directeur).

Opérations et dérivée d'une fonction composée

Les opérations usuelles (somme, produit, quotient) sur des fonctions dérivables donnent des fonctions dérivables, avec par exemple $(uv)' = u'v+uv'$.

Pour deux fonctions $u$ et $v$ telles que $v\circ u$ soit définie, on appelle composée de $u$ suivie de $v$ la fonction $v \circ u$ définie par $(v\circ u)(x) = v\big(u(x)\big)$ — l'ordre compte : en général $v \circ u \neq u \circ v$.

Propriété (admise). Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$, alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et :

$$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$$

Exemple. $f(x) = (4x+3)^2$ est la composée de $u(x)=4x+3$ (donc $u'(x)=4$) suivie de $v(x)=x^2$ (donc $v'(x)=2x$) : $f'(x) = u'(x)\times v'\big(u(x)\big) = 4 \times 2(4x+3) = 32x+24$.

Sens de variation et extremum

Fonction croissante, décroissante, constante

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ (strictement croissante si $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points).
• Si $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$.

Exemple. Pour $f(x)=x^2$, $f'(x)=2x$ : $f'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$, donc $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant 0$, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$.

Extremum local

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$.

• Si $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) en $a$, alors $f'(a)=0$ : la tangente en $a$ est horizontale.
• Réciproquement, si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f(a)$ est un extremum de $f$ sur $I$.

Attention. La réciproque simple est fausse : $f'(a)=0$ n'entraîne pas forcément un extremum. Exemple. Pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (car $f'(x)=3x^2 \geqslant 0$ ne change pas de signe en $0$) : $f$ n'admet pas d'extremum en $0$.

Position relative de deux courbes

Pour comparer les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$ : là où ce signe est positif, $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ ; là où il est négatif, $\mathscr{C}_f$ est en dessous.

Exemple. Pour $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0;1]$ : $f(x)-g(x)=x-x^2=x(1-x) \geqslant 0$ sur $[0;1]$ (produit de deux facteurs positifs sur cet intervalle), donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $[0;1]$.

Dérivée seconde et convexité (notions de Terminale)

Dérivée seconde

Si $f$ est dérivable sur $I$ et que sa fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ ; la dérivée de $f'$ est la dérivée seconde de $f$, notée $f''$.

Exemple. $f(x)=x^3-4x$ : $f'(x)=3x^2-4$, puis $f''(x)=6x$.

Fonction convexe, fonction concave

Définition. Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si, pour tous réels $a,b$ de $I$, le segment joignant les points $A(a\,;f(a))$ et $B(b\,;f(b))$ de sa courbe est situé au-dessus de la courbe entre les abscisses $a$ et $b$. Elle est concave sur $I$ si ce segment est situé au-dessous de la courbe.

Propriété (admise, pour $f$ deux fois dérivable). $f$ est convexe sur $I$ si, et seulement si, $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ ; c'est équivalent à : $f'$ est croissante sur $I$, et à : la courbe de $f$ est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. (Caractérisation analogue pour la concavité, avec $f'$ décroissante et $f'' \leqslant 0$.)

Exemples de référence. $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto e^x$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $x \mapsto \ln x$ et $x \mapsto \sqrt x$ sont concaves sur leur ensemble de définition.

Point d'inflexion

Définition. Un point d'inflexion de la courbe de $f$ est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f$ change de convexité (elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe).

Propriété (admise). Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors le point d'abscisse $a$ de la courbe de $f$ est un point d'inflexion.

Exemple. $f(x)=x^3$ : $f''(x)=6x$ s'annule et change de signe en $0$. La courbe admet donc un point d'inflexion en $O$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$.

Limites et asymptotes (notions de Terminale)

Limite finie ou infinie d'une fonction

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (noté $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$) si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand — et de même pour une limite en $-\infty$, ou pour une limite infinie négative.

On dit que $f$ tend vers un réel $\ell$ quand $x \to +\infty$ (noté $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

On définit de même la limite en un point $a$ : $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

Exemple. Pour $f(x)=\dfrac1x$ : $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$, et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$.

Asymptote horizontale, asymptote verticale

• Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (réel), la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ (définition analogue en $-\infty$).
• Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$, la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Exemple. D'après l'exemple précédent, la courbe de $x \mapsto \dfrac1x$ admet la droite $x=0$ pour asymptote verticale et la droite $y=0$ pour asymptote horizontale (en $+\infty$ comme en $-\infty$).

Limites et comparaison, croissances comparées

Comme pour les suites, un théorème des gendarmes permet d'établir une limite par encadrement : si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage considéré et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$, alors $f$ tend aussi vers $\ell$.

Les croissances comparées (admises) précisent la « vitesse » à laquelle certaines fonctions de référence tendent vers l'infini les unes par rapport aux autres : en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur $x$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$