Terminale

Compléments sur la dérivation

Après avoir étudié la dérivation des fonctions usuelles en Première, ce chapitre approfondit deux outils essentiels de l'étude des fonctions : la dérivation des fonctions composées, et la convexité, qui précise l'allure d'une courbe au-delà du simple sens de variation.

Dérivée d'une fonction composée

Fonction composée

Soient $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que, pour tout $x \in I$ , $u(x) \in J$ .

On appelle composée de $u$ suivie de $v$ la fonction, notée $v \circ u$ , définie sur $I$ par :

(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)

Exemple. Soit $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = \sqrt{x}$ . Alors $(v\circ u)(x) = \sqrt{2x+1}$ : on calcule d'abord l'image par $u$ , puis on applique $v$ au résultat.

Attention à l'ordre des fonctions : en général, $v\circ u \neq u\circ v$ .

Dérivée d'une fonction composée

Propriété (admise). Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $u(I) \subset J$ . Alors la fonction $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$ :

(v \circ u)'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big)

ce que l'on note de façon abrégée $(v\circ u)' = (v'\circ u) \times u'$ .

Cas particuliers à connaître

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$e^{u}$	$u' e^{u}$	—
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$ sur $I$
$u^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$n\,u' \, u^{n-1}$	—
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$ sur $I$
$\dfrac{1}{u^n}$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$-\dfrac{n\,u'}{u^{n+1}}$	$u$ ne s'annule pas sur $I$

Cas particulier fréquent : composée avec une fonction affine. Si $g(x) = f(ax+b)$ avec $f$ dérivable, alors $g$ est dérivable et $g'(x) = a \times f'(ax+b)$ .

Exemple. $f(x) = e^{-4x+5}$ est de la forme $e^{u}$ avec $u(x) = -4x+5$ , donc $u'(x) = -4$ , d'où :

f'(x) = -4\,e^{-4x+5}

Méthode

Pour dériver une composée $v \circ u$ :

Identifier la fonction « extérieure » $v$ et la fonction « intérieure » $u$ .
Calculer $u'$ .
Appliquer la formule $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ , ou reconnaître directement un cas particulier du tableau ci-dessus.

Exemple. $f(x) = (4x+3)^2$ . On pose $u(x) = 4x+3$ (donc $u'(x) = 4$ ) et $v(x) = x^2$ (donc $v'(x) = 2x$ ). Alors :

f'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big) = 4 \times 2(4x+3) = 8(4x+3) = 32x + 24

Exercice — Calculer des dérivées de fonctions composées

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l'ensemble de dérivabilité puis calculer $f'(x)$ .

$f(x) = \dfrac{1}{(2x-3)^3}$
$f(x) = \sqrt{4x+1}$
$f(x) = e^{x^2-6x+1}$
$f(x) = \dfrac{1}{(3x^2+x+1)^2}$

Exercice — Étudier une fonction construite par composition et produit

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (5-x)e^{-2x+3}$ .

Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f'(x) = (2x-11)e^{-2x+3}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ .
Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\,e^{-x} = 0$ ).
Donner une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

QCM — Dérivée d'une fonction composée

1. La fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = e^{3x-1}

a pour dérivée :

2. Soient

u

v

deux fonctions dérivables telles que

v\circ u

soit définie. La dérivée de

v\circ u

est donnée par la formule :

3. Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\sqrt{2x^2+1}

. Quelle est sa dérivée ?

Dérivée seconde et convexité

Dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , de fonction dérivée $f'$ . Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ . La dérivée de $f'$ est appelée dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ .

Exemple. $f(x) = x^3-4x$ . Alors $f'(x) = 3x^2-4$ , puis, en dérivant $f'$ : $f''(x) = 6x$ .

Fonction convexe, fonction concave

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ , le segment $[AB]$ joignant les points $A\big(a\,;f(a)\big)$ et $B\big(b\,;f(b)\big)$ de $\mathcal{C}$ est situé au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ (entre les abscisses $a$ et $b$ ).

On dit que $f$ est concave sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ , ce segment $[AB]$ est situé au-dessous de la courbe $\mathcal{C}$ .

Autrement dit : la courbe d'une fonction convexe se « creuse vers le haut » (comme $x \mapsto x^2$ ), celle d'une fonction concave se « creuse vers le bas » (comme $x \mapsto \sqrt{x}$ ).

Caractérisations pour une fonction deux fois dérivable (admis)

Propriété (admise). Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ (au sens de la définition précédente, par les sécantes) ;
la courbe de $f$ est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes ;
la fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ .

(Et de même, en remplaçant « au-dessus » par « au-dessous », « croissante » par « décroissante » et $\geqslant$ par $\leqslant$ , pour caractériser la concavité.)

En pratique, pour étudier la convexité d'une fonction deux fois dérivable, on étudie le signe de $f''$ .

Exemples de référence.

$x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée seconde vaut $2 \geqslant 0$ ).
$x \mapsto e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée $f'=f$ est croissante).
$x \mapsto \ln(x)$ est concave sur $]0;+\infty[$ .
$x \mapsto \sqrt{x}$ est concave sur $[0;+\infty[$ .

Point d'inflexion

Définition. On appelle point d'inflexion de la courbe d'une fonction $f$ tout point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire tout point où $f$ change de convexité (elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe).

Propriété (admise). Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors le point de la courbe de $f$ d'abscisse $a$ est un point d'inflexion.

Exemple. $f(x) = x^3$ . On a $f''(x) = 6x$ , qui s'annule et change de signe en $0$ . La courbe de $f$ admet donc un point d'inflexion en $O$ : $f$ est concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$ .

La figure interactive ci-dessous permet d'observer la convexité, la concavité et le point d'inflexion d'une fonction en déplaçant le point de tangence le long de la courbe.

Convexité, concavité et point d'inflexion

Point d'abscisse a = 0.00 — glissez le point orange le long de la courbe — f'(a) ≈ -3.00

Exercice — Une inégalité classique obtenue par convexité

On admet que la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Donner l'équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$ .
En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, démontrer que, pour tout réel $x$ : $e^x \geqslant x+1$
En déduire que, pour tout réel $x$ , $e^{-x} \geqslant 1-x$ .

Exercice — Étudier la convexité et déterminer un point d'inflexion

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x-4)e^{-x}+2$ .

Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f''(x) = (3x-10)e^{-x}$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire l'intervalle sur lequel $f$ est convexe, puis celui sur lequel $f$ est concave.
Justifier que la courbe représentative de $f$ possède un point d'inflexion, dont on précisera l'abscisse.

Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 1 (exercice 4, QCM questions 3 et 4)

Extrait du QCM de l'exercice 4 (7 points au total) du sujet de bac Métropole, 11 mai 2022 : questions 3 et 4, portant sur la convexité. Une seule réponse exacte par question, aucune justification demandée.

On donne la représentation graphique de $f'$ (courbe croissante depuis l'origine, atteignant un maximum vers $x=3$ , puis décroissante). On peut affirmer que $f$ est : a) concave sur $]0\,;+\infty[$ b) convexe sur $]0\,;+\infty[$ c) convexe sur $[0\,;2]$ d) convexe sur $[2\,;+\infty[$ .
Parmi les primitives de $f(x)=3e^{-x^2}+2$ sur $\mathbb R$ : a) toutes croissantes sur $\mathbb R$ b) toutes décroissantes sur $\mathbb R$ c) certaines croissantes, d'autres décroissantes d) toutes croissantes sur $]-\infty\,;0]$ et décroissantes sur $[0\,;+\infty[$ .

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Exercice — Bac Maths — Métropole 2022 Sujet 2 (exercice 2, QCM questions 1 à 3)

Extrait du QCM de l'exercice 2 (7 points au total) du sujet de bac Métropole, 12 mai 2022 : questions 1 à 3, portant sur la convexité. $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R$ ; on donne la courbe de $f'$ , admettant un maximum en $x=-\frac32$ , coupant l'axe des abscisses en $x=-\frac12$ (positive avant, négative après). Une seule réponse exacte par question, aucune justification demandée.

a) $f$ admet un maximum en $-\frac32$ b) $f$ admet un maximum en $-\frac12$ c) $f$ admet un minimum en $-\frac12$ d) la courbe de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-1$ .
a) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac32\right[$ b) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac12\right[$ c) la courbe de $f$ n'admet pas de point d'inflexion d) $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;-\frac12\right[$ .
a) $f''(x)\geqslant0$ pour $x\in\left]-\infty\,;-\frac12\right[$ b) $f''(x)\geqslant0$ pour $x\in[-2\,;-1]$ c) $f''\left(-\frac32\right)=0$ d) $f''(-3)=0$ .

QCM — Dérivée seconde et convexité

1. Soit

f

une fonction deux fois dérivable sur un intervalle

I

telle que

f''(x) \leqslant 0

pour tout

x \in I

. Que peut-on affirmer ?

2. Un point d'inflexion de la courbe d'une fonction

f

deux fois dérivable est caractérisé par le fait que :

3. Combien la courbe représentative de

f(x)=x^4-6x^2

admet-elle de points d'inflexion ?

Exercices bilan

Dériver des fonctions composées à l'aide des formules usuelles

ApplicationCorrigé gratuit

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l'ensemble de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée, en identifiant la fonction intérieure $u$ utilisée.

$f(x) = e^{3x-1}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
$g(x) = (2x+5)^{4}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
$h(x) = \sqrt{4x+1}$ , définie sur $\left[-\dfrac14\,;+\infty\right[$ .
$k(x) = \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Dériver des fonctions composées faisant intervenir logarithme et exponentielle

Application

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l'ensemble de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée.

$f(x) = \ln\left(2x^{2}+3\right)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
$g(x) = e^{-x^{2}+2x}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
$h(x) = \sqrt{1-x^{2}}$ , définie sur $]-1\,;1[$ .
$k(x) = \dfrac{3}{(x+1)^{3}}$ , définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

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Étudier les variations d'une fonction composée avec une racine carrée

EntraînementCorrigé gratuit

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , puis démontrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ , en précisant la valeur exacte du minimum.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ .

Étudier la convexité d'une fonction gaussienne et ses points d'inflexion

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^{2}}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Démontrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = -2x\,e^{-x^{2}}$ .
En dérivant $f'$ comme un produit, démontrer que, pour tout réel $x$ , $f''(x) = 2e^{-x^{2}}\left(2x^{2}-1\right)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, ceux sur lesquels elle est concave, et les abscisses des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ (on donnera des valeurs exactes).

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Utiliser la concavité de la racine carrée pour établir une inégalité

Entraînement

On considère la fonction racine carrée $f : x \mapsto \sqrt{x}$ sur $[0\,;+\infty[$ , de dérivée $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \gt 0$ . On admet, comme énoncé dans le cours, que $f$ est concave sur $[0\,;+\infty[$ .

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $4$ .
À l'aide de la concavité de $f$ , en déduire que, pour tout réel $x \geqslant 0$ , $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x}{4}+1$ .
Vérifier cette inégalité pour $x=0$ et pour $x=4$ ; que remarque-t-on pour $x=4$ ?
En appliquant l'inégalité de la question 2 à $x=10$ , en déduire que $\sqrt{10} \lt 3{,}5$ .

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Étudier la convexité d'une fonction rationnelle et ses points d'inflexion

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x^{2}+1}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Justifier que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ , puis démontrer que $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ pour tout réel $x$ .
En dérivant $f'$ comme un produit, démontrer que, pour tout réel $x$ , $f''(x) = \dfrac{2\left(3x^{2}-1\right)}{(x^{2}+1)^{3}}$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis en déduire la convexité de $f$ et les abscisses des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ (on donnera des valeurs exactes).

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Étude complète d'une fonction logarithme composée : dérivation, convexité et inégalité

Type bac

Partie A — Étude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln\left(x^{2}+1\right)$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Justifier que $f$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, puis démontrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (on précisera la valeur exacte du minimum).
Déterminer une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ .
En dérivant $f'$ comme un produit, démontrer que, pour tout réel $x$ , $f''(x) = \dfrac{2\left(1-x^{2}\right)}{(x^{2}+1)^{2}}$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis en déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ .

Partie B — Une inégalité par la convexité

Déterminer une équation de la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .
En utilisant la question 5, justifier que $f$ est concave sur $[1\,;+\infty[$ , puis en déduire que, pour tout réel $x \geqslant 1$ , $\ln\left(x^{2}+1\right) \leqslant x-1+\ln 2$ .
En appliquant l'inégalité précédente à $x=2$ , en déduire que $\ln 5 \leqslant 1+\ln 2$ .

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