Fonctions sinus et cosinus

Rappels (Première)

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[-1;1]$, et sont $2\pi$-périodiques : pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$,

$$\sin(x+2k\pi) = \sin(x) \qquad \qquad \cos(x+2k\pi) = \cos(x)$$

La fonction sinus est impaire ($\sin(-x)=-\sin(x)$) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction cosinus est paire ($\cos(-x)=\cos(x)$) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Dérivées

Propriété (admise). Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

$$\sin'(x) = \cos(x) \qquad \qquad \cos'(x) = -\sin(x)$$

Fonctions composées. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les fonctions $x\mapsto \sin(u(x))$ et $x\mapsto \cos(u(x))$ sont dérivables sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

$$\big(\sin(u)\big)'(x) = u'(x)\cos(u(x)) \qquad \qquad \big(\cos(u)\big)'(x) = -u'(x)\sin(u(x))$$

Exemple. Soit $f(x) = \sin(2x)$. En posant $u(x)=2x$ (donc $u'(x)=2$), on obtient $f'(x) = 2\cos(2x)$.

Sens de variation sur $]-\pi\,;\pi]$

Les fonctions sinus et cosinus étant $2\pi$-périodiques, il suffit de les étudier sur un intervalle d'amplitude $2\pi$, par exemple $]-\pi\,;\pi]$.

Fonction sinus.

Fonction cosinus.

Courbes représentatives

Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes, de période $2\pi$. Elles se déduisent l'une de l'autre par translation horizontale : $\cos(x) = \sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$, donc la courbe de cosinus est l'image de celle de sinus par la translation de vecteur $-\dfrac{\pi}{2}\vec{\imath}$.

La figure interactive ci-dessous permet de visualiser cette sinusoïde représentant la fonction cosinus sur plusieurs périodes.

Résoudre $\cos(x) = a$

Propriété. Soit $a\in[-1;1]$ et $x_0$ une solution de l'équation $\cos(x)=a$. Alors l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :

$$x = x_0 + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -x_0 + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}$$

Sur l'intervalle $[-\pi\,;\pi]$, en notant $x_0\in[0;\pi]$ le réel tel que $\cos(x_0)=a$, l'équation $\cos(x)=a$ admet exactement les deux solutions $x_0$ et $-x_0$ (une seule si $x_0=0$ ou $x_0=\pi$).

Exemple. Résoudre $\cos(x) = \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On sait que $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12$, donc les solutions sur $[-\pi\,;\pi]$ sont $x=\dfrac{\pi}{3}$ et $x=-\dfrac{\pi}{3}$.

Résoudre une inéquation $\cos(x) \leqslant a$ sur $[-\pi\,;\pi]$

Méthode. On résout d'abord l'équation associée $\cos(x)=a$ sur $[-\pi\,;\pi]$, ce qui donne en général deux solutions $-x_0$ et $x_0$ avec $x_0\in[0;\pi]$. On s'appuie ensuite sur le tableau de variations de cosinus (ou sur le cercle trigonométrique) pour déterminer sur quel(s) intervalle(s) $\cos(x)\leqslant a$.

Exemple. Résoudre $\cos(x) \leqslant \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

D'après l'exemple précédent, $\cos(x)=\dfrac12$ pour $x=\pm\dfrac{\pi}{3}$. La fonction cosinus est décroissante sur $[0;\pi]$, donc sur $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\right]$, $\cos(x)\leqslant\dfrac12$. Par parité de cosinus, c'est aussi le cas sur $\left[-\pi\,;-\dfrac{\pi}{3}\right]$. On en déduit :

$$S = \left[-\pi\,;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]$$

Étudier une fonction trigonométrique dans un problème géométrique

Méthode générale. Face à un problème d'optimisation géométrique (aire, périmètre, volume... dépendant d'un angle $x$), on procède ainsi :

1. On exprime la grandeur à optimiser comme une fonction $f(x)$ de la variable angulaire $x$, en précisant l'intervalle d'étude pertinent (souvent $\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ ou $[0;\pi]$ selon le contexte géométrique).
2. On calcule $f'(x)$ à l'aide des formules de dérivation de $\sin$ et $\cos$.
3. On étudie le signe de $f'(x)$ pour dresser le tableau de variations de $f$.
4. On conclut sur l'existence et la valeur de l'extremum (maximum ou minimum) cherché.

Exemple. On inscrit un rectangle $MNPQ$ dans un demi-cercle de rayon $1$ et de centre $O$, la base $[MQ]$ étant portée par le diamètre horizontal, et les sommets $N$ et $P$ sur le demi-cercle. On note $x$ la mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON}\right)$, avec $x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$. Le point $N$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : la largeur du rectangle vaut $2\cos x$ et sa hauteur vaut $\sin x$. L'aire du rectangle est donc :

$$\mathcal{A}(x) = 2\cos(x)\sin(x) = \sin(2x)$$

$\mathcal{A}$ est dérivable sur $\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\mathcal{A}'(x) = 2\cos(2x)$. Sur cet intervalle, $2x\in\,]0;\pi[$, donc $\cos(2x)=0 \iff x=\dfrac{\pi}{4}$, avec $\cos(2x)>0$ pour $x<\dfrac{\pi}{4}$ et $\cos(2x)<0$ pour $x>\dfrac{\pi}{4}$. L'aire est donc maximale pour $x=\dfrac{\pi}{4}$, avec $\mathcal{A}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.