Première

Variations et courbes représentatives des fonctions

Ce chapitre s'appuie sur les outils du chapitre Dérivation : nombre dérivé, fonction dérivée et tangente. Nous allons voir comment le signe de la dérivée renseigne sur le sens de variation d'une fonction, comment repérer ses extremums, et comment ces outils permettent de retrouver et d'approfondir l'étude des fonctions polynômes du second degré.

Signe de la dérivée et sens de variation

Sens de variation et signe de la dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f$ est croissante sur $I$ , alors pour tout réel $x$ de $I$ , $f'(x) \geqslant 0$ .
Si $f$ est décroissante sur $I$ , alors pour tout réel $x$ de $I$ , $f'(x) \leqslant 0$ .

Réciproquement :

Si, pour tout réel $x$ de $I$ , $f'(x) \geqslant 0$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si, pour tout réel $x$ de $I$ , $f'(x) \leqslant 0$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f'$ est strictement positive sur $I$ , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (et de même pour strictement décroissante, avec $f'$ strictement négative).

Méthode. Pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ : on calcule $f'(x)$ , on étudie son signe sur $I$ , puis on en déduit le sens de variation de $f$ à l'aide des propriétés ci-dessus.

Caractérisation des fonctions constantes

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . La fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ de $I$ , $f'(x) = 0$ .

Extremum et tangente horizontale

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$ .

Si $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .
Réciproquement, si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f(a)$ est un extremum de $f$ sur $I$ .

Graphiquement, $f'(a) = 0$ signifie que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale.

Attention. La réciproque simple n'est pas vraie : $f'(a) = 0$ n'entraîne pas forcément que $f$ admette un extremum en $a$ (il faut que $f'$ change de signe). Par exemple, pour $f(x) = x^3$ , on a $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'admet pas d'extremum en $0$ .

Utilisez la figure interactive ci-dessous pour observer, sur une courbe qui admet bien un extremum local, le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation :

Courbe de f(x) = x³ - 3x

Exploiter les variations : inégalités et position de deux courbes

Pour établir une inégalité du type $f(x) \geqslant k$ sur un intervalle $I$ , on étudie souvent les variations de la fonction $g(x) = f(x) - k$ et l'on montre que son minimum sur $I$ est positif ou nul.

Pour étudier la position relative de deux courbes $C_f$ et $C_g$ , on étudie le signe de $f(x) - g(x)$ : là où ce signe est positif, $C_f$ est au-dessus de $C_g$ ; là où il est négatif, $C_f$ est en dessous.

Exercice — Étudier les variations d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}$ .

Partie A — Étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 3x - 4$ .

Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $\mathbb{R}$ , telle que $2 < a < 3$ . En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Partie B — Étude de $f$

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$ , $f'(x) = \dfrac{x\,g(x)}{(x^2-1)^2}$ .
En déduire le tableau de variations de $f$ (on admettra que $f$ admet une asymptote verticale en $x=-1$ et en $x=1$ ).

Exercice — Établir une inégalité par l'étude des variations

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout réel $x > 0$ :

x + \frac{1}{x} \geqslant 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x + \dfrac{1}{x} - 2$ . Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous la forme d'un quotient dont on précisera le signe du numérateur.
Étudier les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ puis déterminer son minimum.
En déduire l'inégalité annoncée, et préciser pour quelle valeur de $x$ il y a égalité.

QCM — Signe de la dérivée et variations

1. Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x

I

f'(x) \leqslant 0

. Que peut-on affirmer ?

2. Soit

f

dérivable sur un intervalle ouvert

I

, admettant un extremum local en

a \in I

. Que peut-on affirmer sur

f'(a)

3. Soit

f

une fonction dérivable sur

\mathbb{R}

telle que

f'(x) = (x-2)(x+1)

pour tout

x

, et

f(2) = -5

. Que peut-on affirmer sur le minimum de

f

sur

[-1;+\infty[

Étudier une fonction polynôme du second degré à l'aide de la dérivée

Dérivée d'une fonction polynôme du second degré

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2+bx+c$ , avec $a \neq 0$ . La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

f'(x) = 2ax+b

La dérivée $f'$ est une fonction affine : elle s'annule en une unique valeur, $x = -\dfrac{b}{2a}$ . On retrouve ainsi le réel $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ déjà rencontré dans la forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ (voir le chapitre Équations, fonctions polynômes du second degré).

Sens de variation et extremum

Comme $f'(x) = 2ax+b$ est une fonction affine de coefficient directeur $2a$ :

Si $a > 0$ , $f'$ est strictement croissante, donc négative avant $\alpha$ et positive après : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$ . La fonction $f$ admet un minimum en $\alpha$ , égal à $\beta = f(\alpha)$ .
Si $a < 0$ , $f'$ est strictement décroissante, donc positive avant $\alpha$ et négative après : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$ . La fonction $f$ admet un maximum en $\alpha$ , égal à $\beta = f(\alpha)$ .

Lien avec l'allure de la parabole

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ :

si $a > 0$ , la parabole est tournée « vers le haut » (forme de U), le sommet correspond au minimum ;
si $a < 0$ , la parabole est tournée « vers le bas » (forme de pont), le sommet correspond au maximum.

Au point d'abscisse $\alpha$ , la tangente à la parabole est horizontale, ce qui correspond bien à $f'(\alpha)=0$ .

Méthode : résoudre un problème d'optimisation

Pour résoudre un problème d'optimisation modélisé par une fonction polynôme du second degré, on exprime la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable $x$ , on identifie les coefficients $a$ , $b$ , $c$ , on étudie le sens de variation de la fonction (par exemple à l'aide de sa dérivée), puis on lit l'extremum obtenu.

Exercice — Étudier une fonction polynôme du second degré avec la dérivée

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2+8x-3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis donner le sens de variation de $f$ .
En déduire que $f$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ , dont on précisera la valeur et en quelle valeur de $x$ il est atteint.

Exercice — Problème d'optimisation : aire maximale d'un rectangle

On dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un des côtés (en mètres), avec $0 < x < 20$ .

Exprimer, en fonction de $x$ , la longueur du côté adjacent, puis l'aire $A(x)$ de l'enclos.
Calculer $A'(x)$ , étudier son signe, et en déduire les variations de $A$ sur $]0;20[$ .
Quelle valeur de $x$ permet d'obtenir une aire maximale ? Quelle est alors la nature du rectangle, et quelle est cette aire maximale ?

QCM — Second degré et dérivation

1. Soit

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a<0

. Quel est le comportement de

f

au voisinage de son sommet

\alpha=-\frac{b}{2a}

2. Pour la fonction

f(x) = 3x^2-12x+5

, en quelle valeur de

x

la dérivée de

f

s'annule-t-elle ?

3. Un terrain rectangulaire est bordé sur un côté par un mur déjà existant ; les trois autres côtés sont clôturés avec

40

m de grillage. En notant

x

la largeur du terrain (les deux côtés perpendiculaires au mur), l'aire du terrain (en m²) est modélisée par

A(x) = x(40-2x)

, pour

x \in [0;20]

. Pour quelle valeur de

x

cette aire est-elle maximale ?

Exercices bilan

Dresser le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré 3

ApplicationCorrigé gratuit

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
Vérifier que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = 6(x - 2)(x + 1)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ , en y faisant figurer les valeurs de $f$ aux abscisses où la dérivée s'annule.
Préciser les extremums locaux de $f$ et donner les équations des tangentes horizontales à $\mathcal{C}$ .

Retrouver l'extremum d'un trinôme à l'aide de sa dérivée

Application

On étudie deux fonctions polynômes du second degré définies sur $\mathbb{R}$ :

f(x) = 3x^2 - 18x + 7 \qquad\qquad g(x) = -2x^2 + 10x - 3

Partie A — Étude de $f$

Calculer $f'(x)$ et résoudre l'équation $f'(x) = 0$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire que $f$ admet un extremum sur $\mathbb{R}$ : préciser sa nature, la valeur en laquelle il est atteint et sa valeur.
Retrouver ce résultat en écrivant $f$ sous forme canonique.

Partie B — Étude de $g$

Reprendre les questions 1. à 3. pour la fonction $g$ .
Que peut-on dire de l'allure des deux paraboles représentant $f$ et $g$ ?

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étudier les variations d'une fonction quotient et en déduire un minorant

EntraînementCorrigé gratuit

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = \left]1\,;\,+\infty\right[$ par :

f(x) = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Justifier que $f$ est dérivable sur $I$ .
Montrer que, pour tout réel $x$ de $I$ :

f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}

Étudier le signe de $f'(x)$ sur $I$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$ .
En déduire que, pour tout réel $x$ de $I$ , $f(x) \geqslant 4$ .
Retrouver directement cette inégalité en montrant que, pour tout réel $x$ de $I$ :

f(x) - 4 = \frac{(x - 3)^2}{x - 1}

Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ .

Démontrer une inégalité et comparer deux courbes par les variations

Entraînement

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

g(x) = x^3 - 3x^2 + 4

Partie A — Variations de $g$

Calculer $g'(x)$ et vérifier que $g'(x) = 3x(x - 2)$ pour tout réel $x$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire que, pour tout réel $x$ positif ou nul :

x^3 + 4 \geqslant 3x^2

Cette inégalité est-elle encore vraie pour tout réel $x$ ? Justifier la réponse par un contre-exemple.

Partie B — Position relative de deux courbes

On note $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y = x^3 + 4$ et $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = 3x^2$ .

Vérifier que, pour tout réel $x$ , $g(x) = (x + 1)(x - 2)^2$ .
En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{P}$ , et donner les coordonnées de leurs points communs.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Optimiser le volume d'une boîte sans couvercle

Entraînement

On dispose d'une plaque de carton carrée de $12$ centimètres de côté. Dans chacun des quatre coins, on découpe un carré de côté $x$ centimètres, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle, de base carrée.

Justifier que le réel $x$ appartient nécessairement à l'intervalle $\left]0\,;\,6\right[$ .
Exprimer la longueur du côté de la base de la boîte en fonction de $x$ , puis montrer que le volume de la boîte, en centimètres cubes, est donné par :

V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x

Calculer $V'(x)$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de $\left]0\,;\,6\right[$ , $V'(x) = 12(x - 2)(x - 6)$ .
Étudier le signe de $V'(x)$ sur $\left]0\,;\,6\right[$ , puis dresser le tableau de variations de $V$ .
En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la boîte est maximal. Donner ce volume maximal et les trois dimensions de la boîte correspondante.
Calculer $V(1)$ et $V(3)$ , et vérifier la cohérence avec le résultat précédent.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Déterminer deux coefficients à partir des tangentes horizontales

Entraînement

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = x^3 + a\,x^2 + b\,x + 4

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On souhaite que $\mathcal{C}$ admette une tangente horizontale en chacun des points d'abscisses $-1$ et $3$ .

Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ , $b$ et $x$ .
Traduire les deux conditions de l'énoncé par un système de deux équations d'inconnues $a$ et $b$ .
Résoudre ce système, puis donner l'expression de $f(x)$ .
Vérifier le résultat en factorisant $f'(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et préciser ses extremums locaux.
Un élève affirme : « dès que la dérivée d'une fonction s'annule en un réel, la fonction admet un extremum en ce réel ». Expliquer pourquoi cette affirmation est fausse, en s'appuyant sur un exemple.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étudier le bénéfice d'une usine de panneaux solaires

Type bac

Une usine fabrique des panneaux solaires. Sa production hebdomadaire est comprise entre $0$ et $700$ panneaux. On note $x$ le nombre de centaines de panneaux produits et vendus au cours d'une semaine, de sorte que $x$ appartient à l'intervalle $\left[0\,;\,7\right]$ .

Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $\left[0\,;\,7\right]$ par :

C(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 46

Chaque centaine de panneaux est vendue $27$ milliers d'euros, si bien que la recette hebdomadaire, en milliers d'euros, est donnée par $R(x) = 27x$ .

Partie A — Pour quelles productions l'usine est-elle rentable ?

Montrer que le bénéfice hebdomadaire, en milliers d'euros, est donné pour tout $x$ de $\left[0\,;\,7\right]$ par :

B(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 46

Calculer $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Vérifier que $B(2) = 0$ , puis montrer que pour tout réel $x$ :

B(x) = (x - 2)\left(-x^2 + 4x + 23\right)

Étudier le signe du trinôme $-x^2 + 4x + 23$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,7\right]$ .
En déduire le tableau de signes de $B(x)$ sur $\left[0\,;\,7\right]$ , puis le nombre de panneaux que l'usine doit produire et vendre pour être rentable.

Partie B — Quel est le bénéfice maximal ?

Calculer $B'(x)$ et vérifier que $B'(x) = -3(x - 5)(x + 1)$ pour tout réel $x$ .
Étudier le signe de $B'(x)$ sur $\left[0\,;\,7\right]$ , puis dresser le tableau de variations de $B$ sur cet intervalle. On y fera figurer les valeurs de $B$ aux bornes.
En déduire la production hebdomadaire qui rend le bénéfice maximal, et donner ce bénéfice maximal en euros.
La directrice de l'usine souhaite atteindre un bénéfice hebdomadaire de $60\,000$ euros. Est-ce possible avec ce modèle ? Justifier.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Chapitre suivant