Première

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ . Ce chapitre étudie ses propriétés algébriques, sa dérivée, ses variations, et ses applications à la modélisation de phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.

Définition et propriétés algébriques

Définition

Propriété admise. Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée $\exp$ .

Conséquence immédiate. $\exp(0) = 1$ .

Le nombre $e$ et la notation $e^x$

L'image de $1$ par la fonction exponentielle est notée $e$ : $\exp(1) = e$ . C'est un nombre irrationnel dont une valeur approchée est $e \approx 2{,}718$ .

Pour tout réel $x$ , on note $\exp(x) = e^x$ (cette notation est cohérente avec les règles de calcul sur les puissances, grâce aux propriétés algébriques ci-dessous).

Propriétés algébriques (relation fonctionnelle)

Théorème. Pour tous réels $x$ et $y$ :

e^{x+y} = e^x \times e^y

Ce résultat, appelé relation fonctionnelle, permet de transformer une somme en produit (et réciproquement). On en déduit :

e^{-x} = \frac{1}{e^x} \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \qquad (e^x)^n = e^{nx} \ \ (n \in \mathbb{Z})

Démonstration de $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ . D'après la relation fonctionnelle, $e^x \times e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1$ . Comme $e^x \neq 0$ (positivité admise, voir Notion 2), on peut diviser les deux membres par $e^x$ : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ .

Exemple (simplifier une écriture). Simplifions $A = \dfrac{e^{3x} \times e^{-x+2}}{e^{x-1}}$ pour $x$ réel :

A = \frac{e^{3x + (-x+2)}}{e^{x-1}} = \frac{e^{2x+2}}{e^{x-1}} = e^{(2x+2)-(x-1)} = e^{x+3}

Lien avec les suites géométriques

Propriété. Pour tout réel $a$ , la suite $(u_n)$ de terme général $u_n = e^{na}$ est une suite géométrique de raison $e^a$ , car :

u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na + a} = e^{na} \times e^a = u_n \times e^a

Équations et inéquations

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (voir Notion 2), pour tous réels $a$ et $b$ :

e^a = e^b \iff a = b \qquad\qquad e^a < e^b \iff a < b

Exemple (équation). Résoudre $e^{2x-3} = e^{-x+7}$ dans $\mathbb{R}$ :

e^{2x-3} = e^{-x+7} \iff 2x-3 = -x+7 \iff 3x = 10 \iff x = \frac{10}{3}

L'ensemble des solutions est $S = \left\{\dfrac{10}{3}\right\}$ .

Exercice — Simplifier des écritures exponentielles et résoudre des équations

Soit $x$ un nombre réel.

Simplifier les expressions suivantes :

A = (e^x)^3 \times e^{-2x} \qquad\qquad B = \dfrac{e^{x+3}}{e^{2x-1}}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-3} = e^{-x+7}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{-3x} \geqslant 1$ .

Exercice — Reconnaître une suite géométrique définie à partir de l'exponentielle

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = e^{0{,}5n}$ .

Calculer $u_0$ .
Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique, en précisant sa raison $q$ .
En déduire, pour tout entier naturel $n$ , une expression de $u_n$ sous la forme $u_0 \times q^n$ , puis calculer $u_5$ (le résultat sera laissé sous forme exponentielle).

Exercice — Résoudre une équation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

e^{2x} - (e+1)e^{x} + e = 0

Indication : poser $t = e^x$ et remarquer que $e^{2x} = (e^x)^2$ .

QCM — Définition et propriétés algébriques

1. Que vaut

\exp(0)

, c'est-à-dire

e^0

2. Pour tous réels

x

y

, à quoi est égal

e^{x+y}

3. Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation

e^{3x-1} < e^{x+5}

dans

\mathbb{R}

Dérivée, signe et variations

Positivité et dérivée

Propriété admise. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ .

Par définition même de la fonction exponentielle, elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

(e^x)' = e^x

Sens de variation

Comme $(e^x)' = e^x > 0$ pour tout réel $x$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

$x$	$-\infty$		$+\infty$
signe de $(e^x)'$		$+$
variations de $e^x$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Utilisez la figure interactive ci-dessous pour visualiser la courbe de la fonction exponentielle et sa croissance stricte sur $\mathbb{R}$ :

Courbe représentative de la fonction exponentielle

(La courbe représentative de la fonction exponentielle se rapproche de l'axe des abscisses en $-\infty$ sans jamais l'atteindre, et croît très rapidement en $+\infty$ .)

Dérivée de fonctions construites à partir de l'exponentielle

En combinant $(e^x)'=e^x$ avec les règles de dérivation (opérations, composée $x \mapsto g(ax+b)$ ) vues dans le chapitre Dérivation :

pour $f(t) = e^{kt}$ avec $k$ réel (cas particulier de $x \mapsto g(ax+b)$ avec $g=\exp$ ) : $f'(t) = k\,e^{kt}$ ;
pour un produit $f(x) = u(x)\,e^x$ : $f'(x) = \big(u'(x) + u(x)\big)\,e^x$ .

Exemple. Soit $f(x) = (3x+1)e^x$ . Avec $u(x)=3x+1$ , $u'(x)=3$ :

f'(x) = \big(3 + (3x+1)\big)e^x = (3x+4)e^x

Propriété. Si $k>0$ , la fonction $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante ; si $k<0$ , elle est strictement décroissante.

Démonstration. $\big(e^{kt}\big)' = k\,e^{kt}$ . Comme $e^{kt} > 0$ pour tout $t$ , le signe de la dérivée est celui de $k$ .

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

Une fonction de la forme $f(t) = A\,e^{kt}$ (avec $A = f(0)$ ) permet de modéliser de nombreux phénomènes : évolution d'un capital à taux d'intérêt fixe ( $k>0$ ), décroissance radioactive ( $k<0$ ), etc.

Exemple. Un capital de $8000$ € est placé à intérêts continus ; son évolution est modélisée par $f(t) = 8000\,e^{0{,}03t}$ , où $t$ est exprimé en années. Comme $k = 0{,}03 > 0$ , la fonction $f$ est strictement croissante : le capital augmente continûment au cours du temps.

Exercice — Étudier les variations d'une fonction exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-2)e^x$ .

Montrer que $f'(x) = (x-1)e^x$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ .

Exercice — Modéliser une décroissance radioactive

La quantité $N(t)$ (en grammes) d'une substance radioactive présente à l'instant $t$ (en années) est modélisée par $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ , où $N_0$ est la quantité initiale et $\lambda > 0$ une constante caractéristique de la substance.

On étudie un échantillon pour lequel $N_0 = 20$ et $\lambda = 0{,}1$ .

Calculer $N(0)$ . Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
Justifier, sans étudier de dérivée, que $N$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ .
On donne $N(10) \approx 7{,}36$ . En utilisant la relation fonctionnelle de l'exponentielle, montrer que $N(20) = \dfrac{N(10)^2}{N_0}$ , puis en déduire une valeur approchée de $N(20)$ .

Exercice — Étudier les variations d'une fonction produit avec un exposant affine

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1-2x)e^{2x}$ .

Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -4x\,e^{2x}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ (on précisera la valeur exacte de l'extremum).
En déduire que, pour tout réel $x$ , $f(x) \leqslant 1$ .

QCM — Dérivée et variations de l'exponentielle

1. Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle

x \mapsto e^x

2. Pour

k < 0

, quel est le sens de variation de la fonction

t \mapsto e^{kt}

sur

\mathbb{R}

3. Soit

f(x) = (2x-3)e^x

. Quelle est sa dérivée

f'(x)

Exercices bilan

Simplifier des expressions à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle

ApplicationCorrigé gratuit

Simplifier les expressions suivantes, définies pour tout réel $x$ . On donnera le résultat sous la forme $e^{u(x)}$ ou sous la forme la plus courte possible, en citant à chaque fois la propriété utilisée.

$A = e^{5x} \times e^{-2x+3}$
$B = \dfrac{e^{4x+1}}{e^{x-2}}$
$C = \dfrac{\left(e^{x}\right)^{3} \times e^{-x}}{e^{2x+5}}$
$D = e^{-3x}\left(e^{4x} + e^{3x}\right)$

Dériver quatre fonctions construites à partir de l'exponentielle

Application

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser la formule de dérivation utilisée, puis calculer la dérivée sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = (2x - 5)\,e^{x}$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = e^{-4x+1}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = x^{2}e^{x}$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{e^{x}}{x}$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$

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Résoudre des équations et des inéquations exponentielles

EntraînementCorrigé gratuit

On rappelle que, pour tous réels $a$ et $b$ :

e^{a} = e^{b} \iff a = b \qquad\qquad e^{a} \lt e^{b} \iff a \lt b

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$e^{3x-1} = e^{x+5}$
$e^{x^{2}} = e^{5x-6}$
$e^{2x-4} \leqslant e^{-x+2}$
$e^{2x} + 2e^{x} - 3 = 0$ — on posera $X = e^{x}$ .
En déduire, sans nouveau calcul de discriminant, l'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{2x} + 2e^{x} - 3 \gt 0$ .

Étudier les variations d'un produit faisant intervenir l'exponentielle

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = \left(x^{2} - 3\right)e^{x}

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = \left(x^{2} + 2x - 3\right)e^{x}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ , en donnant les valeurs exactes des extremums locaux.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ et en déduire les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ .

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Modéliser le refroidissement d'une pièce métallique

Entraînement

À la sortie d'un four, une pièce métallique est posée dans un atelier maintenu à température constante. On note $\theta(t)$ sa température, exprimée en degrés Celsius, $t$ minutes après sa sortie du four. Pour tout $t$ de $\left[0\,;\,+\infty\right[$ :

\theta(t) = 20 + 180\,e^{-0{,}5t}

Calculer $\theta(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
Calculer $\theta'(t)$ , puis étudier son signe. En déduire le sens de variation de $\theta$ .
Montrer que, pour tout $t \geqslant 0$ , $\theta(t) \gt 20$ . Quelle grandeur physique le nombre $20$ représente-t-il ?
Le technicien peut saisir la pièce à mains nues dès que sa température est descendue à $20 + 180e^{-2}$ degrés Celsius. Déterminer l'instant exact où cela se produit, puis donner une valeur approchée de cette température au dixième. On prendra $e^{-2} \approx 0{,}1353$ .
On appelle vitesse de refroidissement à l'instant $t$ le nombre $-\theta'(t)$ . Comparer les vitesses de refroidissement aux instants $t = 0$ et $t = 4$ , puis commenter.
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = \theta(n) - 20$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique ; préciser son premier terme et sa raison.

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Étudier une fonction quotient bâtie sur l'exponentielle

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie par :

f(x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}

Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Montrer que $f$ est impaire. Quelle propriété graphique en découle pour sa courbe représentative ?
Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = \dfrac{2e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}$ , puis en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Vérifier que, pour tout réel $x$ , $f(x) = 1 - \dfrac{2}{e^{x}+1}$ . En déduire que $-1 \lt f(x) \lt 1$ .
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ .
Résoudre l'équation $f(x) = \dfrac{e-1}{e+1}$ .

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Suivre la concentration d'un médicament dans le sang

Type bac

Partie A — Étude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,12]$ par :

f(t) = 12\,t\,e^{-0{,}5t}

Calculer $f(0)$ , puis montrer que $f(2) = 24e^{-1}$ .
Montrer que, pour tout $t$ de $[0\,;\,12]$ , $f'(t) = (12 - 6t)\,e^{-0{,}5t}$ .
Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0\,;\,12]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. On donnera les valeurs exactes de $f$ aux bornes et au point où la dérivée s'annule.
En déduire le maximum de $f$ sur $[0\,;\,12]$ .

Partie B — Application au suivi d'un patient

Un patient reçoit une injection à l'instant $t = 0$ . La concentration du médicament dans son sang, exprimée en milligrammes par litre, est modélisée par $C(t) = f(t)$ , où $t$ désigne le temps écoulé depuis l'injection, en heures, avec $0 \leqslant t \leqslant 12$ .

Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? Donner la valeur exacte de ce maximum, puis une valeur approchée au dixième. On prendra $e \approx 2{,}718$ .
Le protocole médical impose que la concentration ne dépasse jamais $9$ milligrammes par litre. Ce protocole est-il respecté ? Justifier soigneusement, sans utiliser de valeur approchée du maximum.
Une nouvelle injection est autorisée dès que la concentration est redescendue à $4$ milligrammes par litre ou moins. À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $C(n) \leqslant 4$ . On justifiera au préalable pourquoi il suffit de chercher $n$ après l'instant $t = 2$ .

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Chapitre suivant

Fonction exponentielle

Définition et propriétés algébriques

Définition

Le nombre eee et la notation exe^xex

Propriétés algébriques (relation fonctionnelle)

Lien avec les suites géométriques

Équations et inéquations

QCM — Définition et propriétés algébriques

Dérivée, signe et variations

Positivité et dérivée

Sens de variation

Dérivée de fonctions construites à partir de l'exponentielle

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

QCM — Dérivée et variations de l'exponentielle

Exercices bilan

Simplifier des expressions à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle

Dériver quatre fonctions construites à partir de l'exponentielle

Résoudre des équations et des inéquations exponentielles

Étudier les variations d'un produit faisant intervenir l'exponentielle

Modéliser le refroidissement d'une pièce métallique

Étudier une fonction quotient bâtie sur l'exponentielle

Suivre la concentration d'un médicament dans le sang

Le nombre $e$ et la notation $e^x$