Équations, fonctions polynômes du second degré

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta = f(\alpha)$, et en déduire la forme canonique de $f$.
2. Vérifier la forme obtenue en la développant.
3. En déduire que $f$ admet un extremum sur $\mathbb{R}$ : préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum, en quelle valeur il est atteint et combien il vaut.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Pour chacune, on calculera d'abord le discriminant et on précisera le nombre de solutions avant de les déterminer.

1. $3x^2 - 7x + 2 = 0$
2. $4x^2 - 20x + 25 = 0$
3. $x^2 + x + 3 = 0$

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer le discriminant de $g$ et déterminer ses racines.
2. Dresser le tableau de signes de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x^2 + 5x + 3 \geqslant 0$.
4. Résoudre l'inéquation $-2x^2 + 5x + 3 \gt x + 3$.

Un éleveur dispose de $60$ mètres de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un long mur rectiligne. Le côté situé le long du mur n'est pas grillagé : seuls les trois autres côtés le sont.

On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. On admet que $x$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,30]$.

1. Exprimer en fonction de $x$ la longueur du côté parallèle au mur, puis montrer que l'aire de l'enclos, en mètres carrés, est donnée par $A(x) = -2x^2 + 60x$.
2. Justifier que le côté parallèle au mur impose bien la contrainte $x \leqslant 30$.
3. Déterminer la forme canonique de $A$.
4. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de l'enclos est maximale, ainsi que l'aire maximale. Préciser alors les dimensions de l'enclos.

Partie A. On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

1. On pose $X = x^2$. Justifier que l'équation se ramène à $X^2 - 13X + 36 = 0$, puis résoudre cette équation d'inconnue $X$.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation initiale.

Partie B. Résoudre de la même façon dans $\mathbb{R}$ :

On sera particulièrement attentif au signe des valeurs obtenues pour $X$.

Soit $m$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue $x$ :

1. Montrer que le discriminant de $(E_m)$ vaut $\Delta = (m-2)^2$.
2. En déduire que, quelle que soit la valeur de $m$, l'équation $(E_m)$ admet au moins une solution réelle. Pour quelle valeur de $m$ cette solution est-elle unique ? La déterminer.
3. On suppose $m \neq 2$. Déterminer les deux solutions de $(E_m)$ en fonction de $m$. On distinguera les cas $m \gt 2$ et $m \lt 2$ pour écrire $\sqrt{\Delta}$.
4. Vérifier par un calcul direct que le réel $2$ est solution de $(E_m)$ pour toute valeur de $m$.

Un atelier artisanal fabrique des lampes de bureau. Sa production mensuelle est comprise entre $0$ et $1\,000$ lampes. On note $x$ le nombre de centaines de lampes produites et vendues au cours d'un mois, de sorte que $x$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,10]$.

Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par :

Chaque centaine de lampes est vendue $12$ milliers d'euros. La recette, en milliers d'euros, est donc $R(x) = 12x$.

Partie A — Pour quelle production l'atelier est-il rentable ?

1. Justifier que le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, est donné pour tout $x$ de $[0\,;\,10]$ par $B(x) = -x^2 + 10x - 9$.
2. Calculer $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Déterminer les racines de $B$, puis dresser le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;\,10]$.
4. En déduire, en justifiant, le nombre de lampes que l'atelier doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice strictement positif.

Partie B — Quel est le bénéfice maximal ?

5. Écrire $B$ sous forme canonique.
6. En déduire, en rédigeant soigneusement le raisonnement, le nombre de lampes à produire pour que le bénéfice soit maximal. Donner le montant de ce bénéfice maximal, en euros.
7. Le gérant affirme qu'avec une production bien choisie, l'atelier peut atteindre un bénéfice mensuel de $20\,000$ euros. Que penser de cette affirmation ?