Première

Dérivation

Ce chapitre introduit la notion de nombre dérivé, d'abord d'un point de vue local (taux de variation, sécantes, tangente en un point), puis d'un point de vue global (fonction dérivée sur un intervalle, opérations). Il pose les bases de l'étude des variations d'une fonction, qui sera approfondie dans le chapitre suivant.

Nombre dérivé et tangente

Taux de variation et sécantes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , $a$ un réel de $I$ , et $h$ un réel non nul tel que $a+h \in I$ . On appelle taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ le nombre :

\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Géométriquement, si $A$ est le point de coordonnées $(a\,;f(a))$ et $M$ le point de coordonnées $(a+h\,;f(a+h))$ sur la courbe représentative de $f$ , alors $\tau(h)$ est le coefficient directeur (la pente) de la droite sécante $(AM)$ .

Nombre dérivé en un point

Définition. Si, lorsque $h$ tend vers $0$ , le taux de variation $\tau(h)$ tend vers un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$ . Ce nombre est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Exemple. Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$ . Pour $h \neq 0$ :

\tau(h) = \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h

Quand $h \to 0$ , $\tau(h) \to 2$ . Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$ .

Tangente à la courbe

Quand $h$ tend vers $0$ , le point $M$ se rapproche de $A$ le long de la courbe, et la sécante $(AM)$ pivote autour de $A$ vers une position limite : la tangente à la courbe au point $A$ . Son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exemple. Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ (calculé ci-dessus). Une équation de la tangente à la parabole au point $(1\,;1)$ est donc :

y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1

Utilisez la figure interactive ci-dessous : déplacez le point sur la courbe pour observer comment la tangente pivote, et comment sa pente correspond au nombre dérivé en ce point :

Tangente à la courbe de f(x) = x² - 2x + 1

Point d'abscisse a = 1.00 — glissez le point orange le long de la courbe — f'(a) ≈ -0.00

Interprétations du nombre dérivé

Le nombre dérivé $f'(a)$ s'interprète selon le contexte :

en cinématique, $f'(a)$ est la vitesse instantanée à l'instant $a$ si $f(t)$ représente une position ;
en économie, $f'(a)$ est le coût marginal en $a$ si $f(x)$ représente un coût de production ;
graphiquement, $f'(a)$ est toujours la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Si $f'(a) = 0$ , la tangente en $a$ est horizontale.

Exercice — Nombre dérivé et tangente à une courbe cubique

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ .

Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ , à l'aide des formules usuelles de dérivation.
Calculer $f'(-2)$ et $f(-2)$ . En déduire une équation de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ .
Vérifier que le point $B(1\,;7)$ appartient à la tangente $(T)$ .
Déterminer le signe de $f'(-1)$ et de $f'(1)$ . Qu'en déduire sur le sens de variation de $f$ au voisinage de ces deux points ?

Exercice — Nombre dérivé à partir de la définition (taux de variation)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x$ , et $a = 2$ .

Calculer le taux de variation $\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ , pour $h \neq 0$ , en fonction de $h$ .
En étudiant la limite de $\tau(h)$ quand $h$ tend vers $0$ , en déduire le nombre dérivé $f'(2)$ .
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ .

Exercice — Tangentes à une parabole passant par un point donné

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ , de courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère. On considère le point $A(1\,;-3)$ .

Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la courbe $\mathcal{C}$ .
Soit $a$ un réel. Montrer que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2ax-a^2$ .
Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles cette tangente passe par le point $A$ .
En déduire les équations des deux tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $A$ .

QCM — Nombre dérivé et tangente

1. Comment définit-on le nombre dérivé

f'(a)

d'une fonction

f

en un point

a

2. Quelle est la dérivée de la fonction

f

définie sur

]0;+\infty[

par

f(x) = \sqrt{x}

3. Soit

f(x) = x^2+1

. Quelle est une équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a=2

Fonction dérivée et opérations

Fonction dérivable sur un intervalle

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , on dit que $f$ est dérivable sur $I$ . La fonction qui, à chaque réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Calculer une dérivée à partir de la définition

Fonction carré. Soit $f(x) = x^2$ et $a$ un réel quelconque. Pour $h \neq 0$ :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2a

Donc $f'(a) = 2a$ pour tout réel $a$ , c'est-à-dire $f'(x) = 2x$ .

Fonction inverse. Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ et $a \neq 0$ . Pour $h$ voisin de $0$ , $h \neq 0$ et $a+h \neq 0$ :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \frac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h\,a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{-1}{a^2}

Donc $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f$	Dérivée $f'$	Domaine de dérivabilité
$x \mapsto x^2$ (carré)	$2x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto x^3$ (cube)	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$ (inverse)	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$x \mapsto \sqrt{x}$ (racine carrée)	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$x \mapsto x^n$ , $n \in \mathbb{Z}$	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n<0$ )

Fonction valeur absolue. La fonction $x \mapsto |x|$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ , de dérivée $1$ si $x>0$ et $-1$ si $x<0$ , mais elle n'est pas dérivable en $0$ : sa courbe présente un point anguleux (les tangentes à gauche et à droite en $0$ n'ont pas le même coefficient directeur).

Opérations sur les fonctions dérivables

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ (avec $v(x) \neq 0$ quand nécessaire) et $k$ , $a$ , $b$ des réels :

$(u+v)' = u' + v'$
$(k\,u)' = k\,u'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$ : $\big[g(ax+b)\big]' = a\,g'(ax+b)$

Exemple (produit). $f(x) = (x+2)(3x-1)$ . Avec $u(x)=x+2$ , $u'(x)=1$ et $v(x)=3x-1$ , $v'(x)=3$ :

f'(x) = 1\times(3x-1) + (x+2)\times 3 = 3x - 1 + 3x + 6 = 6x + 5

Exemple (quotient). $f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}$ sur $\mathbb{R} - \{-1\}$ . Avec $u(x)=x-1$ , $u'(x)=1$ et $v(x)=x+1$ , $v'(x)=1$ :

f'(x) = \frac{1\times(x+1) - (x-1)\times 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}

Exemple (composée $x \mapsto g(ax+b)$ ). $f(x) = (2x+1)^3$ . On pose $g(x)=x^3$ (donc $g'(x)=3x^2$ ), $a=2$ , $b=1$ :

f'(x) = 2 \times 3(2x+1)^2 = 6(2x+1)^2

Lien avec le sens de variation

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ :

si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
si $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Ce lien (étudié en détail dans le chapitre suivant) permet, une fois la dérivée calculée et son signe étudié, de dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice — Dériver un quotient et étudier son signe

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{8x+4}{x^2+2}$ .

Calculer $g'(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, et vérifier que $g'(x) = \dfrac{-8(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire les coordonnées des points de la courbe représentative de $g$ où la tangente est horizontale.

Exercice — S'entraîner sur les règles de dérivation (somme, produit, composée)

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la fonction dérivée en précisant la règle de dérivation utilisée.

$f_1(x) = 5x^3 - \dfrac{2}{x}$ , sur $\mathbb{R}^*$ .
$f_2(x) = (2x-1)(x^2+3)$ , sur $\mathbb{R}$ .
$f_3(x) = (4x-1)^5$ , sur $\mathbb{R}$ .

Exercice — Dérivée d'un inverse de carré : deux méthodes et étude du signe

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} - \left\{\dfrac{2}{3}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{(3x-2)^2}$ .

En écrivant $f(x) = (3x-2)^{-2}$ , calculer $f'(x)$ à l'aide de la règle de dérivation de $x\mapsto x^n$ combinée à celle de $x\mapsto g(ax+b)$ .
Retrouver ce résultat en calculant $f'(x)$ à l'aide de la formule de dérivation de $\dfrac{1}{v}$ , où $v(x)=(3x-2)^2$ (on exprimera d'abord $v'(x)$ à l'aide de la règle de $x\mapsto g(ax+b)$ ).
Étudier le signe de $f'(x)$ sur chacun des deux intervalles de l'ensemble de définition de $f$ , et en déduire les variations de $f$ .

Exercices bilan

Calculer un nombre dérivé à partir du taux de variation

ApplicationCorrigé gratuit

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = 3x^2 - x + 4

On souhaite calculer $f'(2)$ en revenant à la définition du nombre dérivé.

Calculer $f(2)$ , puis développer et réduire $f(2+h)$ pour tout réel $h$ .
Montrer que, pour tout réel $h$ non nul, le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ vaut $\tau(h) = 3h + 11$ .
En déduire que $f$ est dérivable en $2$ et donner la valeur de $f'(2)$ .
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ .

Dériver un produit, un quotient et une composée affine

Application

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser les formules de dérivation utilisées, puis calculer la dérivée sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = (2x - 3)\left(x^2 + 5\right)$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$
$h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \sqrt{2x + 8}$ sur $\left]-4\,;\,+\infty\right[$

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Trouver les points où la tangente a une pente imposée

EntraînementCorrigé gratuit

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
Déterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}$ en lesquels la tangente est horizontale.
Déterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $d$ d'équation $y = 15x - 4$ .
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ .

Étudier la position d'une courbe par rapport à sa tangente

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ , et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

On note $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $2$ et $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ .

Calculer $f'(x)$ , puis déterminer une équation de $T$ .
Montrer que, pour tout réel $x$ , $f(x) - (9x - 14) = (x - 2)^2 (x + 4)$ .
Dresser le tableau de signes de $f(x) - (9x - 14)$ sur $\mathbb{R}$ , puis en déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$ .
Déterminer les coordonnées de tous les points communs à $\mathcal{C}$ et à $T$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Déterminer une fonction à partir des données d'une tangente

Entraînement

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = x^3 + a\,x^2 + b\,x + 2

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On cherche $a$ et $b$ pour que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ soit la droite $T$ d'équation $y = 2x - 1$ .

Exprimer $f(1)$ et $f'(1)$ en fonction de $a$ et $b$ .
Traduire les deux conditions imposées par l'énoncé sous la forme d'un système de deux équations d'inconnues $a$ et $b$ .
Résoudre ce système, puis donner l'expression de $f(x)$ .
Vérifier le résultat obtenu en recalculant l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ .
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$ .

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Comparer coût marginal et coût moyen d'une production

Entraînement

Une entreprise fabrique un matériau qu'elle produit en quantité $x$ , exprimée en tonnes, avec $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,20\right]$ . Le coût total de production, en milliers d'euros, est modélisé par :

C(x) = x^2 + 4x + 36

Calculer $C'(x)$ . En économie, le nombre $C'(10)$ est appelé coût marginal pour une production de $10$ tonnes. Le calculer et l'interpréter dans le contexte.
On appelle coût moyen par tonne la fonction $C_M$ définie sur $\left]0\,;\,20\right]$ par $C_M(x) = \frac{C(x)}{x}$ . Montrer que, pour tout $x$ de cet intervalle, $C_M'(x) = \frac{x^2 - 36}{x^2}$ .
Étudier le signe de $C_M'(x)$ sur $\left]0\,;\,20\right]$ et en déduire le tableau de variations de $C_M$ .
Pour quelle quantité produite le coût moyen par tonne est-il minimal ? Quel est alors ce coût moyen ?
Comparer, pour cette quantité, le coût marginal et le coût moyen. Que constate-t-on ?

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Étudier le mouvement d'un mobile à l'aide de sa vitesse instantanée

Type bac

Un mobile se déplace sur un axe gradué. Sa position, exprimée en mètres, à l'instant $t$ exprimé en secondes, est donnée pour tout $t$ de l'intervalle $[0\,;\,6]$ par :

d(t) = t^3 - 9t^2 + 24t

On rappelle que la vitesse instantanée $v(t)$ du mobile à l'instant $t$ est le nombre dérivé de $d$ en $t$ .

Partie A — Étude de la vitesse

Calculer $v(t)$ pour tout $t$ de $[0\,;\,6]$ .
Calculer $v(0)$ et $v(2)$ , et interpréter chacun de ces deux résultats dans le contexte.
Déterminer les instants auxquels la vitesse du mobile s'annule.
Étudier le signe de $v(t)$ sur $[0\,;\,6]$ , puis dresser le tableau de variations de $d$ sur cet intervalle. On fera figurer les valeurs de $d$ aux bornes et aux instants trouvés à la question 3.
Décrire en une ou deux phrases le mouvement du mobile entre les instants $t = 0$ et $t = 6$ .

Partie B — Deux questions complémentaires

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $d$ au point d'abscisse $3$ .
À quels instants la vitesse du mobile est-elle égale à $9$ mètres par seconde ?
Justifier que, sur l'intervalle $[0\,;\,6]$ , la position du mobile reste toujours comprise entre $0$ et $36$ mètres.

Correction réservée aux abonnés Premium.

Créez un compte gratuit : votre première correction est offerte.

Créer un compte Se connecter

Chapitre suivant