Géométrie repérée

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $4x-3y+6=0$.

1. Donner un vecteur normal à $d$, puis un vecteur directeur de $d$.
2. Vérifier que le point $A(3\, ;\, 6)$ appartient à $d$.
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d'$ passant par le point $B(2\, ;\, -1)$ et de vecteur normal $\vec{n'}(5\, ;\, 1)$.
4. Les points $C(1\, ;\, 4)$ et $D(3\, ;\, -2)$ appartiennent-ils à $d'$ ? Justifier chaque réponse.

Partie A — Cercles.

1. Donner une équation cartésienne du cercle de centre $\Omega(-3\, ;\, 4)$ et de rayon $6$.
2. L'équation $x^2+y^2-6x+2y-6=0$ est celle d'un cercle $\mathcal{C}$. Déterminer, en faisant apparaître deux carrés, les coordonnées de son centre et la valeur de son rayon.

Partie B — Parabole.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2-8x+3$.

3. Déterminer la forme canonique de $f(x)$, puis en déduire les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $\mathcal{P}$ représentative de $f$ et une équation de son axe de symétrie. La parabole $\mathcal{P}$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?
4. Vérifier que le point $A(0\, ;\, 3)$ appartient à $\mathcal{P}$. Sans calculer $f(4)$, utiliser la symétrie de $\mathcal{P}$ par rapport à son axe pour donner les coordonnées d'un second point de $\mathcal{P}$ de même ordonnée que $A$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(1\, ;\, 1)$, $B(5\, ;\, 4)$ et $C(-6\, ;\, 2)$.

1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis en déduire un vecteur normal $\vec{n}$ à la droite $(AB)$.
2. Déterminer une équation cartésienne de $(AB)$ à l'aide du point $A$ et du vecteur normal $\vec{n}$. Vérifier que $B$ appartient bien à $(AB)$.
3. On note $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$. En utilisant la méthode du cours, déterminer les coordonnées de $H$.
4. Calculer la distance $CH$.
5. Calculer la longueur $AB$, puis en déduire l'aire du triangle $ABC$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x;y)$ tels que :

et la droite $(d)$ d'équation cartésienne $x+7y-6=0$.

1. Montrer, en faisant apparaître deux carrés, que $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $r$.
2. Vérifier que le point $A(6\, ;\, 0)$ appartient à la fois à $\mathcal{C}$ et à $(d)$.
3. En exprimant $x$ en fonction de $y$ à l'aide de l'équation de $(d)$, puis en substituant dans celle de $\mathcal{C}$, déterminer les coordonnées du second point d'intersection de $(d)$ et de $\mathcal{C}$.
4. Calculer la distance entre les deux points d'intersection trouvés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note $\mathcal{P}$ la parabole représentative de $f$.

1. Déterminer la forme canonique de $f(x)$.
2. En déduire les coordonnées du sommet $S$ de $\mathcal{P}$, une équation de son axe de symétrie, et préciser si $\mathcal{P}$ est tournée vers le haut ou vers le bas.
3. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis en déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ avec l'axe des abscisses.
4. Vérifier que les deux points trouvés à la question 3. sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de $\mathcal{P}$.
5. Vérifier que le point $A(0\, ;\, 6)$ appartient à $\mathcal{P}$, puis utiliser la symétrie de $\mathcal{P}$ pour donner, sans nouveau calcul de $f$, les coordonnées d'un second point de $\mathcal{P}$ de même ordonnée que $A$.
6. Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre $S$ passant par le point $A(0\, ;\, 6)$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x;y)$ tels que :

ainsi que les droites $(d_1)$ d'équation $x+y-2=0$ et $(d_2)$ d'équation $x+2y=0$.

1. Montrer, en faisant apparaître deux carrés, que $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $r$ (on donnera une valeur exacte du rayon).
2. En substituant $y=2-x$ dans l'équation de $\mathcal{C}$, déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(d_1)$ et de $\mathcal{C}$.
3. En substituant $x=-2y$ dans l'équation de $\mathcal{C}$, montrer que $(d_2)$ et $\mathcal{C}$ n'ont qu'un seul point commun $T$, dont on précisera les coordonnées.
4. Donner un vecteur normal $\vec{n_2}$ à $(d_2)$, puis vérifier que le vecteur $\overrightarrow{\Omega T}$ lui est colinéaire. Que peut-on en conclure pour la droite $(d_2)$ vis-à-vis du cercle $\mathcal{C}$ ?

Partie A — Un cercle et sa tangente

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x;y)$ tels que :

1. Montrer, en faisant apparaître deux carrés, que $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $\Omega(3\, ;\, 2)$ et de rayon $5$.
2. Vérifier que le point $A(6\, ;\, 6)$ appartient à $\mathcal{C}$.
3. On rappelle que la tangente à un cercle en l'un de ses points est perpendiculaire au rayon en ce point. En déduire un vecteur normal à la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point $A$, puis déterminer une équation cartésienne de $(d)$.
4. Le point $B(0\, ;\, 10)$ appartient-il à $(d)$ ?

Partie B — Une parabole

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2-6x+5$. On note $\mathcal{P}$ la parabole représentative de $g$.

5. Déterminer la forme canonique de $g(x)$.
6. En déduire les coordonnées du sommet $S$ de $\mathcal{P}$, une équation de son axe de symétrie, et préciser si $\mathcal{P}$ est tournée vers le haut ou vers le bas.
7. Résoudre l'équation $g(x)=0$ et interpréter graphiquement les solutions obtenues pour $\mathcal{P}$.

Partie C — Synthèse

8. Le sommet $S$ de la parabole $\mathcal{P}$ appartient-il au cercle $\mathcal{C}$ de la partie A ?
9. Le point $S$ appartient-il à la tangente $(d)$ déterminée à la question 3. ?
10. Comparer l'abscisse du centre $\Omega$ de $\mathcal{C}$ et l'abscisse $\alpha$ du sommet $S$ de $\mathcal{P}$. Qu'en déduit-on sur la position de $\Omega$ par rapport à l'axe de symétrie de $\mathcal{P}$ ?