Vecteurs, produit scalaire et géométrie repérée

Vecteurs et produit scalaire

Norme d'un vecteur

Si $\vec u = \overrightarrow{AB}$ est un vecteur du plan, sa norme, notée $\|\vec u\|$, est le réel positif $\|\vec u\|=AB$.

Produit scalaire : définition

Soient $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de $\vec u$ et $\vec v$, noté $\vec u\cdot\vec v$, est le réel :

$$\vec u\cdot\vec v = \begin{cases}\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v) & \text{si } \vec u\neq\vec0 \text{ et } \vec v\neq\vec0\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}$$

Exemple. Si $AB=4$, $AC=3$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac\pi4$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times3\times\cos\dfrac\pi4=12\times\dfrac{\sqrt2}2=6\sqrt2$.

Cas particuliers : si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens, $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|$ ; de sens contraires, $\vec u\cdot\vec v=-\|\vec u\|\times\|\vec v\|$ ; et pour tout vecteur $\vec u$, $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.

Vecteurs orthogonaux

Définition. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec u\cdot\vec v=0$. Pour trois points distincts $A,B,C$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \iff (AB)\perp(AC)$.

Propriétés algébriques : bilinéarité, symétrie

Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ et tout réel $k$ : symétrie $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ; bilinéarité $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $\vec u\cdot(k\vec v)=k(\vec u\cdot\vec v)$.

En développant $\|\vec u+\vec v\|^2$ par bilinéarité, on obtient $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$, d'où une expression du produit scalaire à l'aide des normes :

$$\vec u\cdot\vec v=\frac12\Big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\Big)$$

Cette identité, appliquée dans un triangle $ABC$ (avec $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), conduit à la formule d'Al-Kashi :

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$$

qui généralise le théorème de Pythagore (retrouvé quand $\widehat A=\frac\pi2$, car $\cos\frac\pi2=0$).

Produit scalaire en coordonnées

Dans un repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, tout vecteur $\vec u$ se décompose de façon unique $\vec u=x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath$ ; le couple $(x;y)$ est ses coordonnées. Dans un repère orthonormé, si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ et $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$. Critère d'orthogonalité : $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx'+yy'=0$.

Exemple. Pour $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(4;6)$ : $\vec u\cdot\vec v=3\times4+(-2)\times6=12-12=0$ : $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.

Projeté orthogonal

Définition. Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est l'unique point $H$ de $d$ tel que $(MH)\perp d$ (si $M\in d$, alors $H=M$).

Propriété. Pour trois points $A,B,C$ avec $A\neq B$, si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times\overline{AH}$, où $\overline{AH}$ est une mesure algébrique (positive si $H$ est du même côté que $B$ vu de $A$, négative sinon) — cela permet de calculer un produit scalaire par projection, sans connaître d'angle.

Exemple (calcul de coordonnées). Soit $d$ la droite d'équation $3x-y+5=0$ et $M(1;-2)$. Le vecteur $\vec n(3;-1)$ est normal à $d$ (voir ci-dessous), donc le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ s'écrit $H(1+3t\,;-2-t)$ pour un certain réel $t$. Comme $H\in d$ :

$$3(1+3t)-(-2-t)+5=0 \iff 10t+10=0 \iff t=-1$$

d'où $H(1-3\,;-2+1)=H(-2;-1)$.

Vecteur normal, vecteur directeur, équation de droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Un vecteur non nul $\vec n$ est normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.

Propriété. Si $d$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ (avec $(a;b)\neq(0;0)$), alors $\vec n(a;b)$ est normal à $d$, et $\vec u(-b;a)$ en est un vecteur directeur.

Exemple. La droite $d: 3x-y+5=0$ admet $\vec n(3;-1)$ pour vecteur normal et $\vec u(1;3)$ pour vecteur directeur.

Équation connaissant un point et un vecteur normal. La droite $d$ passant par $A(x_A;y_A)$ et de vecteur normal $\vec n(a;b)$ a pour équation $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$.

Exemple. Pour $A(1;2)$ et $\vec n(1;3)$ : $1(x-1)+3(y-2)=0 \iff x+3y-7=0$.

Cercles et paraboles dans un repère

Équation de cercle

Définition. Le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\Omega M=r$. Dans un repère orthonormé, son équation cartésienne est :

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Exemple. Le cercle de centre $\Omega(2;-3)$ et de rayon $5$ a pour équation $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.

Une équation de la forme $x^2+y^2+dx+ey+f=0$ est celle d'un cercle si, en faisant apparaître deux carrés (forme canonique), on obtient $(x-a)^2+(y-b)^2=k$ avec $k>0$ : c'est alors le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $r=\sqrt k$ (si $k=0$, l'ensemble se réduit au point $\Omega$ ; si $k<0$, l'ensemble est vide).

Parabole représentative d'une fonction du second degré

Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$), de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac b{2a}$, la courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x=\alpha$, tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.

Exemple. $g(x)=-3x^2+6x+1$ : $\alpha=-\dfrac{6}{2\times(-3)}=1$ et $\beta=g(1)=-3+6+1=4$. La parabole a pour sommet $S(1;4)$, d'axe de symétrie $x=1$, et est tournée vers le bas car $a=-3<0$.