Première

Fonctions trigonométriques

On généralise ici les notions de cosinus et de sinus, connues dans un triangle rectangle, à un nombre réel quelconque grâce au cercle trigonométrique. On étudie ensuite les fonctions cosinus et sinus sur $\mathbb{R}$ : parité, périodicité et courbes représentatives.

Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique et le radian

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens positif (ou sens trigonométrique), qui est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Le radian est une unité de mesure d'angle, définie comme la longueur de l'arc de cercle intercepté sur le cercle trigonométrique. Le demi-cercle a pour longueur $\pi$ et correspond à un angle de $\pi$ radians, d'où la conversion :

180° = \pi \text{ rad}

Tableau de conversion.

Degrés	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$
Radians	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$

Enroulement de la droite réelle sur le cercle

On considère la droite $d$ tangente au cercle trigonométrique au point $I(1 ; 0)$ , munie d'une graduation identique à celle du cercle (même unité de longueur). En « enroulant » cette droite autour du cercle (dans le sens positif pour les réels positifs, dans le sens négatif pour les réels négatifs), tout réel $x$ vient se placer en un unique point $M$ du cercle : on dit que $M$ est le point image de $x$ .

Comme le cercle a pour périmètre $2\pi$ , un même point $M$ est l'image d'une infinité de réels, tous distants d'un multiple de $2\pi$ :

x \text{ et } x' \text{ ont la même image} \iff x' = x + k \times 2\pi,\ k \in \mathbb{Z}

On note alors $x' = x\ [2\pi]$ (on lit « $x'$ égal $x$ modulo $2\pi$ »).

Exemple. $-\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$ car $-\dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{-5\pi + 6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Parmi tous les réels associés à un même point, un seul appartient à l'intervalle $]-\pi\, ;\, \pi]$ : c'est sa mesure principale.

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique.

Le cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , est l'abscisse du point $M$ .
Le sinus de $x$ , noté $\sin x$ , est l'ordonnée du point $M$ .

On a alors, pour tout réel $x$ :

-1 \leqslant \cos x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1, \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1

Utilisez la figure interactive ci-dessous : déplacez le point $M$ le long du cercle trigonométrique pour observer comment évoluent son cosinus et son sinus :

Point mobile sur le cercle trigonométrique

θ ≈ 45° — glissez le point M sur le cercle — cos θ ≈ 0.70 · sin θ ≈ 0.71

Lien avec le triangle rectangle

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , on retrouve les rapports usuels :

\sin \widehat{B} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC}, \qquad \cos \widehat{B} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC}

Ces définitions coïncident avec celles données par le cercle trigonométrique, pour un angle $\widehat{B}$ compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ .

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Méthode. Pour retrouver le cosinus et le sinus d'un réel $x$ n'appartenant pas à $[0\, ;\, \dfrac{\pi}{2}]$ , on détermine d'abord sa mesure principale, puis on place le point image sur le cercle trigonométrique en utilisant les symétries de la figure.

Exercice — Mesure principale et valeurs remarquables

Pour chacun des réels suivants, déterminer sa mesure principale (appartenant à $]-\pi\, ;\, \pi]$ ), puis donner son cosinus et son sinus :

$x_1 = \dfrac{5\pi}{3}$
$x_2 = -\dfrac{7\pi}{4}$
$x_3 = \dfrac{13\pi}{6}$

Exercice — Conversions degrés-radians et longueur d'arc

Convertir en radians les angles suivants (donner le résultat sous forme de fraction de $\pi$ ) : $150°$ , $240°$ , $20°$ .
Convertir en degrés les angles suivants : $\dfrac{5\pi}{12}$ rad et $\dfrac{7\pi}{4}$ rad.
Sur le cercle trigonométrique (de rayon $1$ ), quelle est la longueur de l'arc parcouru, dans le sens positif, depuis le point $I(1\, ;\, 0)$ jusqu'au point image de l'angle $150°$ ?

Exercice — Reconnaître des réels associés au même point du cercle

On considère les trois réels $a = \dfrac{29\pi}{6}$ , $b = -\dfrac{11\pi}{6}$ et $c = \dfrac{17\pi}{6}$ .

Déterminer la mesure principale (appartenant à $]-\pi\, ;\, \pi]$ ) de chacun des réels $a$ , $b$ , $c$ .
Deux des trois points images de $a$ , $b$ , $c$ sur le cercle trigonométrique sont confondus. Les identifier, en le justifiant de deux façons différentes : à l'aide de la question précédente, puis en calculant directement la différence entre les deux réels concernés.
Donner le cosinus et le sinus du troisième réel (celui dont le point image est distinct des deux autres).

QCM — Cercle trigonométrique et radian

180°

correspond à combien de radians ?

2. Quelle est la valeur exacte de

\cos\dfrac{\pi}{3}

3. Quelle est la mesure principale (l'unique réel de

]-\pi;\pi]

) associée au réel

x=\dfrac{11\pi}{4}

Fonctions cosinus et sinus

Définition

Les fonctions cosinus et sinus, notées $\cos$ et $\sin$ , sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ , où $\cos x$ et $\sin x$ sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à $x$ (voir la notion précédente). Elles sont à valeurs dans $[-1\, ;\, 1]$ .

Parité et périodicité

Propriété (périodicité). Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques :

\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(x+2\pi) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(x+2\pi) = \sin x

Cela traduit le fait que $x$ et $x+2\pi$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique.

Propriété (parité). La fonction $\cos$ est paire et la fonction $\sin$ est impaire :

\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(-x) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(-x) = -\sin x

Graphiquement, la courbe de $\cos$ est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et celle de $\sin$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ .

Angles associés

En observant les symétries du cercle trigonométrique, on obtient d'autres relations utiles, pour tout réel $x$ :

Relation	$\cos$	$\sin$
Angle opposé $-x$	$\cos(-x) = \cos x$	$\sin(-x) = -\sin x$
Angle supplémentaire $\pi - x$	$\cos(\pi - x) = -\cos x$	$\sin(\pi - x) = \sin x$
Angle diamétralement opposé $\pi + x$	$\cos(\pi + x) = -\cos x$	$\sin(\pi + x) = -\sin x$
Angle complémentaire $\dfrac{\pi}{2} - x$	$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$	$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$

Exemple. Simplifier $A = \cos(x+\pi) - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ .

D'après le tableau, $\cos(x+\pi) = -\cos x$ (angle diamétralement opposé) et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$ (angle complémentaire). Donc $A = -\cos x - \cos x = -2\cos x$ .

Variations

En parcourant le cercle trigonométrique dans le sens positif à partir du point $I(1;0)$ (donc pour $x$ variant de $0$ à $\pi$ ), l'ordonnée du point image — c'est-à-dire $\sin x$ — augmente de $0$ à $1$ tant que $x$ varie de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ , puis redescend de $1$ à $0$ lorsque $x$ varie de $\dfrac{\pi}{2}$ à $\pi$ . Dans le même temps, l'abscisse du point — c'est-à-dire $\cos x$ — diminue continûment de $1$ à $-1$ .

$x$	$0$		$\dfrac{\pi}{2}$		$\pi$
$\sin x$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$
$\cos x$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$

Grâce à la parité et à la $2\pi$ -périodicité, ce tableau sur $[0\, ;\, \pi]$ suffit à connaître les variations de $\sin$ et $\cos$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Courbes représentatives

Les courbes de $\sin$ et $\cos$ sont appelées sinusoïdes. Elles se déduisent l'une de l'autre par une translation horizontale, puisque $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ pour tout réel $x$ .

Elles sont $2\pi$ -périodiques : leur allure sur $[-\pi\, ;\, \pi]$ se répète indéfiniment par translations de vecteurs $2k\pi\,\vec{\imath}$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Exercice — Parité, périodicité et simplification d'expressions

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) \times \cos(x + \pi)$ .

Montrer que $f$ est $2\pi$ -périodique.
Montrer que $f$ est impaire.
Simplifier l'expression $B = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) + \sin(\pi + x) - \sin(-x)$ .

Exercice — Comparer des valeurs à l'aide des variations et de la parité

En utilisant le tableau de variations de $\sin$ sur $[0\, ;\, \pi]$ , comparer $\sin\dfrac{\pi}{5}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{5}$ , sans calculatrice.
En utilisant la parité de $\cos$ , comparer $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{7}\right)$ et $\cos\dfrac{3\pi}{7}$ .
Simplifier, à l'aide du tableau des angles associés, l'expression $C = \sin(\pi - x) + \sin(-x)$ , pour $x$ réel quelconque.

Exercice — Simplifier, étudier la parité et le signe d'une expression trigonométrique

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(x+\pi) + \cos(\pi - x)$ .

À l'aide du tableau des angles associés, montrer que pour tout réel $x$ , $f(x) = -2\cos x$ .
En déduire que $f$ est une fonction paire.
À l'aide du tableau de variations de $\cos$ sur $[0\, ;\, \pi]$ , déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in \left[0\, ;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , puis pour $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\, ;\, \pi\right]$ .
Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ .

QCM — Fonctions cosinus et sinus

1. La fonction cosinus est...

2. Que vaut

\sin(\pi - x)

pour tout réel

x

3. Pour tout réel

x

, à quoi est égal

\sin(-x) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

une fois simplifié ?

Exercices bilan

Convertir des angles et déterminer une mesure principale

ApplicationCorrigé gratuit

On rappelle la conversion de référence : un angle plat mesure $180^\circ$ , soit $\pi$ radians.

Convertir en radians les angles de mesures $135^\circ$ , $210^\circ$ et $300^\circ$ .
Convertir en degrés les angles de mesures $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{4}$ radians.
Déterminer la mesure principale de chacun des réels suivants, c'est-à-dire l'unique réel de l'intervalle $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ ayant le même point image sur le cercle trigonométrique :

a = \frac{29\pi}{4} \qquad b = -\frac{17\pi}{3} \qquad c = \frac{25\pi}{6}

En déduire les valeurs exactes de $\cos a$ , $\sin a$ , $\cos b$ , $\sin b$ , $\cos c$ et $\sin c$ .

Simplifier des expressions à l'aide des angles associés

Application

Partie A. Simplifier les expressions suivantes, définies pour tout réel $x$ , en précisant à chaque étape la relation d'angle associé utilisée.

$A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x)$
$B = \sin(\pi - x) + \sin(-x)$
$C = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \cos(\pi + x)$
$D = \cos^{2}(\pi - x) + \sin^{2}(\pi + x)$

Partie B. Donner les valeurs exactes de :

\cos\frac{5\pi}{6} \qquad \sin\frac{7\pi}{6} \qquad \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \qquad \sin\frac{5\pi}{4}

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Résoudre des équations trigonométriques sur un intervalle donné

EntraînementCorrigé gratuit

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle indiqué. On s'appuiera sur le cercle trigonométrique et on veillera à donner toutes les solutions de l'intervalle, et seulement celles-là.

$\cos x = \dfrac{1}{2}$ dans $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$
$\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$
$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$
$2\sin x + 1 = 0$ dans $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$
$\cos(2x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$ — on posera $X = 2x$ et on précisera d'abord l'intervalle décrit par $X$ .

Exploiter la relation entre cosinus et sinus d'un même réel

Entraînement

On rappelle que, pour tout réel $t$ :

\cos^{2}t + \sin^{2}t = 1

Partie A. Dans chaque cas, calculer la valeur exacte demandée. On justifiera systématiquement le choix du signe à l'aide de la position du point image sur le cercle trigonométrique.

Soit $x$ un réel de $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ . Calculer $\cos x$ .
Soit $y$ un réel de $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ tel que $\cos y = -\dfrac{5}{13}$ . Calculer $\sin y$ .
Soit $z$ un réel de $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[$ tel que $\cos z = \dfrac{2}{3}$ . Calculer $\sin z$ , puis $\sin(z + \pi)$ et $\cos(\pi - z)$ .

Partie B. Soit $t$ un réel quelconque.

Démontrer que $\cos^{4}t - \sin^{4}t = \cos^{2}t - \sin^{2}t$ .
En déduire que $\cos^{4}t - \sin^{4}t = 2\cos^{2}t - 1$ .

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Étudier la parité et la périodicité du produit du cosinus par le sinus

Entraînement

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = \sin x \, \cos x

Démontrer que $f$ est impaire. Quelle symétrie en découle pour sa courbe représentative ?
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $f(x + \pi) = f(x)$ . Interpréter graphiquement ce résultat.
Calculer les valeurs exactes de $f(0)$ , $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ , $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ , $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ .
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$ .
En développant $(\cos x - \sin x)^{2}$ puis $(\cos x + \sin x)^{2}$ , démontrer que pour tout réel $x$ :

-\frac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}

Ces deux bornes sont-elles atteintes ? Si oui, préciser un réel en lequel c'est le cas.

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Résoudre des inéquations trigonométriques à l'aide du cercle

Entraînement

Pour chaque inéquation, on commencera par résoudre l'équation associée, puis on lira la solution sur le cercle trigonométrique.

Résoudre $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $\cos x \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ .
Résoudre l'inéquation $\sin x \lt \dfrac{1}{2}$ dans $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ .
Résoudre l'inéquation $2\cos x + \sqrt{3} \leqslant 0$ dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$ .
Déterminer l'ensemble des réels $x$ de $\left[0\,;\,2\pi\right[$ vérifiant simultanément $2\cos x + \sqrt{3} \leqslant 0$ et $\sin x \geqslant 0$ .

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Étudier la hauteur d'une nacelle de grande roue

Type bac

Une grande roue de fête foraine a un rayon de $35$ mètres. Son centre est situé à $40$ mètres au-dessus du sol.

Une nacelle part du point le plus bas de la roue, puis la roue tourne dans le sens trigonométrique. On note $x$ la mesure, en radians, de l'angle dont la nacelle a tourné depuis son départ.

On admet que la hauteur de la nacelle au-dessus du sol, exprimée en mètres, est donnée par :

h(x) = 40 - 35\cos x

Partie A — Étude de la fonction $h$

Démontrer que, pour tout réel $x$ , $5 \leqslant h(x) \leqslant 75$ . Interpréter ces deux nombres dans le contexte.
Calculer les valeurs exactes de $h(0)$ , $h\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ , $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ , $h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ et $h(\pi)$ .
Démontrer que $h$ est paire et $2\pi$ -périodique. Interpréter chacune de ces deux propriétés dans le contexte de la grande roue.
En utilisant les variations du cosinus données par le cours, dresser le tableau de variations de $h$ sur $\left[0\,;\,2\pi\right]$ .

Partie B — Questions concrètes

Déterminer les valeurs de $x$ de $\left[0\,;\,2\pi\right[$ pour lesquelles la nacelle se trouve exactement à $40$ mètres du sol.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ de $\left[0\,;\,2\pi\right[$ pour lesquelles la nacelle est à une hauteur d'au moins $57{,}5$ mètres.
La roue tourne à vitesse constante et effectue un tour complet en $12$ minutes. Pendant combien de temps, au cours d'un tour, la nacelle est-elle à une hauteur d'au moins $57{,}5$ mètres ?
Un passager affirme : « au cours d'un tour, on passe plus de la moitié du temps au-dessus de $40$ mètres ». Que penser de cette affirmation ?

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