Maths & NSI

Première

Calcul vectoriel et produit scalaire

Le produit scalaire permet d'unifier plusieurs outils de géométrie plane : longueurs, angles et orthogonalité. On l'étudie ici sous plusieurs formes (angle, projection, coordonnées, normes) et on l'applique à des problèmes de géométrie classiques.

Produit scalaire : définition et propriétés

Norme d'un vecteur

Si u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} est un vecteur du plan, sa norme, notée ∥u⃗∥\|\vec u\|, est le réel positif ∥u⃗∥=AB\|\vec u\| = AB.

Définition du produit scalaire

Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs du plan et AA, BB, CC trois points tels que u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec v = \overrightarrow{AC}. Le produit scalaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v, noté u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, est le nombre réel défini par :

u⃗⋅v⃗={∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗)si u⃗≠0⃗ et v⃗≠0⃗0si u⃗=0⃗ ou v⃗=0⃗\vec u \cdot \vec v = \begin{cases} \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v) & \text{si } \vec u \neq \vec 0 \text{ et } \vec v \neq \vec 0 \\ 0 & \text{si } \vec u = \vec 0 \text{ ou } \vec v = \vec 0 \end{cases}

Exemple. Si AB=4AB = 4, AC=3AC = 3 et (AB→,AC→)=π4 [2π](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi], alors :

AB→⋅AC→=4×3×cos⁡π4=12×22=62\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 3 \times \cos\frac{\pi}{4} = 12 \times \frac{\sqrt2}{2} = 6\sqrt2

La figure ci-dessous représente deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v non colinéaires : observez l'angle qu'ils forment, celui qui intervient précisément dans le calcul du produit scalaire.

Deux vecteurs u et v formant un angle non nul
uv

Cas particuliers

  • Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires de même sens : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\|.
  • Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires de sens contraires : u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec u \cdot \vec v = -\|\vec u\| \times \|\vec v\|.
  • En particulier, pour tout vecteur u⃗\vec u : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2.

Vecteurs orthogonaux

Définition. Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Cette caractérisation permet notamment de démontrer que deux droites sont perpendiculaires : pour trois points distincts AA, BB, CC :

AB→⋅AC→=0  ⟺  (AB)⊥(AC)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \iff (AB) \perp (AC)

Propriétés algébriques (bilinéarité, symétrie)

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w du plan et tout réel kk :

  • Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u.
  • Bilinéarité : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w et u⃗⋅(kv⃗)=k(u⃗⋅v⃗)\vec u \cdot (k\vec v) = k(\vec u \cdot \vec v).

Développement de ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u + \vec v\|^2 et formule d'Al-Kashi

En développant à l'aide de la bilinéarité :

∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u + \vec v\|^2 = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u + \vec v) = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2

On en déduit une nouvelle expression du produit scalaire à l'aide des normes :

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec u \cdot \vec v = \frac12\Big(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\Big)

Formule d'Al-Kashi. Dans un triangle ABCABC, en posant a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A

Cette formule généralise le théorème de Pythagore (retrouvé lorsque A^=π2\widehat A = \dfrac\pi2) et permet de calculer un angle ou un côté inconnu dans un triangle quelconque, dès que l'on connaît les trois côtés, ou deux côtés et l'angle qu'ils forment.

Exercice — Utiliser la formule d'Al-Kashi

Un bateau part d'un port PP et se dirige vers une île AA. En chemin, il passe par un point de contrôle CC, avec PC=12PC = 12 km, CA=9CA = 9 km et PA=17PA = 17 km. On note γ\gamma l'angle PCA^\widehat{PCA} (angle en CC dans le triangle PCAPCA).

  1. À l'aide de la formule d'Al-Kashi, exprimer PA2PA^2 en fonction de PCPC, CACA et cos⁡γ\cos\gamma, puis calculer la valeur exacte de cos⁡γ\cos\gamma.
  2. En déduire une valeur approchée de γ\gamma en degrés, arrondie au dixième.
Exercice — Produits scalaires dans un carré

ABCDABCD est un carré de côté 44 (cm). On rappelle que ses diagonales (AC)(AC) et (BD)(BD) sont perpendiculaires, de même longueur, et se coupent en leur milieu.

  1. Calculer AB→⋅AD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}.
  2. Calculer AB→⋅DC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}.
  3. Calculer AC→⋅BD→\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}.
  4. Sachant que AC=42AC = 4\sqrt2 et que l'angle BAC^\widehat{BAC} mesure 45°45°, calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
Exercice — Une identité vectorielle et une application à la médiane

Soit ABCABC un triangle quelconque, et II le milieu de [BC][BC]. On rappelle les deux relations vectorielles suivantes, vraies pour tout triangle ABCABC :

AB→+AC→=2 AI→etAB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AI} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}
  1. En utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire, développer (AB→+AC→)⋅(AB→−AC→)(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}) et montrer que ce produit est égal à AB2−AC2AB^2 - AC^2.
  2. En déduire, à l'aide des deux relations rappelées ci-dessus, que AI→⋅BC→=AC2−AB22\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{AC^2-AB^2}{2}.
  3. Application : on suppose que AB=7AB = 7 et AC=5AC = 5. Calculer AI→⋅BC→\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BC}.

QCM — Produit scalaire : définition

1. Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont deux vecteurs non nuls orthogonaux, que vaut u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v ?
2. La formule d'Al-Kashi généralise...
3. Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs du plan tels que ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3, ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=5 et ∥u⃗+v⃗∥=7\|\vec u+\vec v\|=7. Que vaut u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v ?

Produit scalaire en coordonnées et applications

Rappel : coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), tout vecteur u⃗\vec u du plan se décompose de façon unique sous la forme u⃗=x ı⃗+y ȷ⃗\vec u = x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath ; le couple (x ; y)(x\, ;\, y) est appelé coordonnées de u⃗\vec u, noté u⃗(xy)\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}. Si u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} avec A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B), alors u⃗(xB−xAyB−yA)\vec u\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}.

Expression du produit scalaire en coordonnées

Propriété. Dans un repère orthonormé, si u⃗(xy)\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}, alors :

u⃗⋅v⃗=x x′+y y′\vec u \cdot \vec v = x\,x' + y\,y'

On en déduit l'expression de la norme d'un vecteur en coordonnées :

∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}

Critère d'orthogonalité. u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux si et seulement si xx′+yy′=0xx' + yy' = 0.

Exemple. Pour u⃗(3 ; −2)\vec u(3\, ;\, -2) et v⃗(4 ; 6)\vec v(4\, ;\, 6) : u⃗⋅v⃗=3×4+(−2)×6=12−12=0\vec u \cdot \vec v = 3\times4 + (-2)\times6 = 12-12=0. Les vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont donc orthogonaux.

Projeté orthogonal

Si AA, BB, CC sont trois points du plan avec A≠BA \neq B, le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) est le point HH, intersection de (AB)(AB) et de la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par CC.

Propriété. AB→⋅AC→=AB×AH‾\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times \overline{AH}, où AH‾\overline{AH} est une mesure algébrique (positive si HH est du même côté que BB vu de AA, négative sinon). Cette propriété permet de calculer un produit scalaire par projection, sans connaître d'angle.

Transformation de l'expression MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}

Soit AA et BB deux points distincts et II le milieu de [AB][AB]. Pour tout point MM du plan, en écrivant MA→=MI→+IA→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} et MB→=MI→+IB→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}, et en utilisant IA→=−IB→\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}, on obtient :

MA→⋅MB→=MI2−(AB2)2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2

Conséquence : caractérisation du cercle de diamètre [AB][AB]. Pour tout point MM :

MA→⋅MB→=0  ⟺  M appartient au cercle de diameˋtre [AB]\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \iff M \text{ appartient au cercle de diamètre } [AB]

En effet M∈C  ⟺  MI=AB2  ⟺  MI2−(AB2)2=0  ⟺  MA→⋅MB→=0M \in \mathcal C \iff MI = \dfrac{AB}{2} \iff MI^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 = 0 \iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.

Exercice — Ensemble de points défini par un produit scalaire nul

Dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), on considère les points A(−3 ; 0)A(-3\, ;\, 0) et B(3 ; 0)B(3\, ;\, 0).

  1. Déterminer les coordonnées du milieu II de [AB][AB].
  2. Soit M(x ; y)M(x\, ;\, y) un point du plan. Exprimer MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} en fonction de xx et yy.
  3. Montrer que l'ensemble C\mathcal C des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice — Produit scalaire, norme et orthogonalité en coordonnées

Dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), on donne les points A(1 ; −2)A(1\, ;\, -2), B(4 ; 2)B(4\, ;\, 2) et C(−3 ; 1)C(-3\, ;\, 1).

  1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}. Que peut-on en déduire pour le triangle ABCABC ?
  3. Calculer ABAB (norme de AB→\overrightarrow{AB}).
Exercice — Projeté orthogonal par le calcul : mesure algébrique et coordonnées

Dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), on considère les points A(1 ; 1)A(1\, ;\, 1), B(4 ; 5)B(4\, ;\, 5) et C(6 ; 1)C(6\, ;\, 1). On note HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).

  1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} et ABAB (norme de AB→\overrightarrow{AB}).
  2. En utilisant la propriété AB→⋅AC→=AB×AH‾\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times\overline{AH}, calculer AH‾\overline{AH}. Le point HH appartient-il au segment [AB][AB] ? Justifier.
  3. Comme HH appartient à la droite (AB)(AB), le vecteur AH→\overrightarrow{AH} est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} : on a AH→=AH‾AB AB→\overrightarrow{AH} = \dfrac{\overline{AH}}{AB}\,\overrightarrow{AB}. En déduire les coordonnées de HH.

QCM — Produit scalaire en coordonnées

1. Dans un repère orthonormé, les vecteurs u⃗(2 ; 5)\vec u(2\, ;\, 5) et v⃗(−5 ; 2)\vec v(-5\, ;\, 2) sont...
2. Le projeté orthogonal d'un point CC sur une droite (AB)(AB) est...
3. On considère les points A(−1;3)A(-1;3), B(5;3)B(5;3) et M(2;7)M(2;7) dans un repère orthonormé. Que vaut MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} ?

Exercices bilan

Calculer un produit scalaire par trois expressions différentes

ApplicationCorrigé gratuit

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les trois points :

A(1 ; 2)B(5 ; 4)C(3 ; 6)A(1\,;\,2) \qquad B(5\,;\,4) \qquad C(3\,;\,6)
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} à l'aide de l'expression en coordonnées.
  2. Calculer les longueurs ABAB et ACAC (valeurs exactes). En déduire la valeur exacte de cos⁡BAC^\cos \widehat{BAC}, puis une valeur approchée de l'angle BAC^\widehat{BAC} au dixième de degré.
  3. Retrouver la valeur de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant l'expression du produit scalaire à l'aide des normes :
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec u \cdot \vec v = \frac12\Big(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\Big)
  1. Calculer BCBC, puis préciser la nature du triangle ABCABC. Ce triangle est-il rectangle ?

Produits scalaires donnés par un angle et critère d'orthogonalité

Application

Partie A — Avec la définition.

On rappelle que cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12 et que cos⁡3π4=−22\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}.

  1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v sachant que ∥u⃗∥=6\|\vec u\| = 6, ∥v⃗∥=5\|\vec v\| = 5 et que l'angle des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v mesure π3\dfrac{\pi}{3}.
  2. Calculer a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b sachant que ∥a⃗∥=4\|\vec a\| = 4, ∥b⃗∥=32\|\vec b\| = 3\sqrt2 et que l'angle des vecteurs a⃗\vec a et b⃗\vec b mesure 3π4\dfrac{3\pi}{4}.
  3. Calculer s⃗⋅t⃗\vec s \cdot \vec t sachant que s⃗\vec s et t⃗\vec t sont colinéaires de sens contraires, avec ∥s⃗∥=7\|\vec s\| = 7 et ∥t⃗∥=2\|\vec t\| = 2.

Partie B — En coordonnées.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les vecteurs :

u⃗(5−2)v⃗(410)w⃗(−36)\vec u\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix} \qquad \vec v\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix} \qquad \vec w\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}
  1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v et u⃗⋅w⃗\vec u \cdot \vec w. Que peut-on dire des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v ?
  2. Calculer ∥u⃗∥\|\vec u\| et ∥w⃗∥\|\vec w\| (valeurs exactes).
  3. Déterminer toutes les valeurs du réel mm pour lesquelles les vecteurs p⃗(m3)\vec p\begin{pmatrix}m\\3\end{pmatrix} et q⃗(m−12)\vec q\begin{pmatrix}m\\-12\end{pmatrix} sont orthogonaux.
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Compléter un triangle avec la formule d'Al-Kashi

EntraînementCorrigé gratuit

ABCABC est un triangle tel que :

AB=8AC=5BAC^=π3AB = 8 \qquad AC = 5 \qquad \widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}

On rappelle que cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12.

  1. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
  2. Calculer la longueur BCBC à l'aide de la formule d'Al-Kashi.
  3. Retrouver ce résultat en développant ∥AC→−AB→∥2\|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 à l'aide des propriétés algébriques du produit scalaire.
  4. Déterminer la valeur exacte de cos⁡ABC^\cos\widehat{ABC}, puis une valeur approchée de ABC^\widehat{ABC} au dixième de degré.
  5. En déduire la valeur de BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}, et vérifier ce résultat par un second calcul indépendant.
  6. Déterminer une valeur approchée de ACB^\widehat{ACB}, puis contrôler la cohérence de l'ensemble des résultats.

Étudier les diagonales d'un rectangle par décomposition vectorielle

Entraînement

ABCDABCD est un rectangle tel que AB=6AB = 6 et AD=4AD = 4. Les sommets sont nommés dans cet ordre, de sorte que AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.

On note II le milieu du segment [BC][BC].

  1. Justifier que AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0, puis calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en décomposant AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Calculer la longueur ACAC (valeur exacte).
  3. Exprimer AI→\overrightarrow{AI} et DI→\overrightarrow{DI} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}, puis calculer AI→⋅DI→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{DI}.
  4. Calculer AC→⋅BD→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}. En déduire la valeur exacte du cosinus de l'angle formé par les deux diagonales, puis une valeur approchée de cet angle au dixième de degré.
  5. On remplace maintenant AD=4AD = 4 par AD=ℓAD = \ell, où ℓ\ell est un réel strictement positif, la longueur AB=6AB = 6 restant inchangée. Pour quelle valeur de ℓ\ell les diagonales du rectangle sont-elles perpendiculaires ? Quelle est alors la nature du quadrilatère ?
  6. Vérifier les réponses des questions 1., 3. et 4. en munissant le plan d'un repère orthonormé bien choisi.
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Déterminer des ensembles de points définis par un produit scalaire

Entraînement

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(1 ; −2)A(1\,;\,-2) et B(7 ; 6)B(7\,;\,6), et on note II le milieu du segment [AB][AB].

On rappelle la relation du cours : pour tout point MM du plan,

MA→⋅MB→=MI2−(AB2)2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2
  1. Déterminer les coordonnées de II et calculer la longueur ABAB.
  2. En déduire que, pour tout point MM du plan, MA→⋅MB→=MI2−25\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25.
  3. Déterminer et caractériser l'ensemble E1\mathcal{E}_1 des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0, et en donner une équation cartésienne.
  4. Retrouver cette équation par un calcul direct, en prenant M(x ; y)M(x\,;\,y) et en exprimant MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} en coordonnées.
  5. Déterminer l'ensemble E2\mathcal{E}_2 des points MM tels que MA→⋅MB→=11\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 11.
  6. Déterminer l'ensemble E3\mathcal{E}_3 des points MM tels que MA→⋅MB→=−25\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -25, puis l'ensemble E4\mathcal{E}_4 des points MM tels que MA→⋅MB→=−30\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -30.
  7. Le point C(8 ; −1)C(8\,;\,-1) appartient-il à E1\mathcal{E}_1 ? Justifier de deux façons différentes.
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Démontrer une orthogonalité dans un carré par deux méthodes

Entraînement

ABCDABCD est un carré de côté 44. Les sommets sont nommés dans cet ordre, de sorte que AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.

On note EE le milieu du segment [BC][BC], et FF le point du segment [DC][DC] tel que DF=3DF = 3.

Partie A — Méthode vectorielle (sans repère).

  1. Exprimer AE→\overrightarrow{AE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
  2. Justifier que CF→=−14AB→\overrightarrow{CF} = -\dfrac14 \overrightarrow{AB}, puis exprimer EF→\overrightarrow{EF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
  3. En développant le produit scalaire AE→⋅EF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF}, démontrer que les droites (AE)(AE) et (EF)(EF) sont perpendiculaires.

Partie B — Méthode analytique (avec repère).

  1. On munit le plan du repère orthonormé d'origine AA, de premier vecteur de base 14AB→\dfrac14\overrightarrow{AB} et de second vecteur de base 14AD→\dfrac14\overrightarrow{AD}. Donner les coordonnées des points AA, BB, CC, DD, EE et FF.
  2. Retrouver par le calcul en coordonnées le résultat de la question 3.
  3. Calculer les longueurs AEAE, EFEF et AFAF (valeurs exactes), et vérifier le théorème de Pythagore dans le triangle AEFAEF.
  4. Déterminer la valeur exacte de cos⁡EAF^\cos\widehat{EAF}, puis une valeur approchée de EAF^\widehat{EAF} au dixième de degré.
  5. On note désormais GG le point du segment [DC][DC] tel que DG=dDG = d, où dd est un réel de l'intervalle [0 ; 4][0\,;\,4]. Démontrer que FF est le seul point du segment [DC][DC] pour lequel (AE)(AE) et (EG)(EG) sont perpendiculaires.
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Triangle isocèle rectangle, cercle circonscrit et ensemble de points

Type bac

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points :

A(1 ; 1)B(5 ; 3)C(−1 ; 5)A(1\,;\,1) \qquad B(5\,;\,3) \qquad C(-1\,;\,5)

Partie A — Nature du triangle ABCABC

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}. Qu'en déduit-on pour le triangle ABCABC ?
  2. Calculer les valeurs exactes de ABAB, ACAC et BCBC. Préciser alors la nature exacte du triangle ABCABC et vérifier le théorème de Pythagore.
  3. Calculer BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}, puis déterminer la valeur exacte de cos⁡ABC^\cos\widehat{ABC} et la mesure de l'angle ABC^\widehat{ABC}. Ce résultat était-il prévisible ?
  4. Calculer l'aire du triangle ABCABC.

Partie B — Cercle circonscrit au triangle ABCABC

  1. On note II le milieu de [BC][BC]. Déterminer les coordonnées de II, puis calculer IAIA, IBIB et ICIC.
  2. En déduire que les points AA, BB et CC appartiennent à un même cercle C\mathcal{C} dont on précisera le centre et le rayon, puis donner une équation cartésienne de C\mathcal{C}.
  3. Montrer que cette équation peut s'écrire x2+y2−4x−8y+10=0x^2 + y^2 - 4x - 8y + 10 = 0.
  4. Montrer que le point D(5 ; 5)D(5\,;\,5) appartient à C\mathcal{C}, puis démontrer de deux façons différentes que le triangle BDCBDC est rectangle en DD.

Partie C — Un ensemble de points

  1. Justifier que, pour tout point MM du plan, MB→⋅MC→=MI2−10\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MI^2 - 10.
  2. Déterminer l'ensemble E\mathcal{E} des points MM du plan tels que MB→⋅MC→=−6\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = -6, et en donner une équation cartésienne.
  3. Le point AA appartient-il à E\mathcal{E} ? Justifier de deux façons différentes.
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