Suites numériques, modèles discrets

Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_2 = 7$ et $u_5 = 16$. Déterminer sa raison $r$ puis son premier terme $u_0$.

Partie A. On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 4$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
3. Calculer $u_{50}$.
4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 500$.

Partie B. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :

5. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
6. Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique, et préciser son premier terme et sa raison.
7. En déduire le sens de variation de $(v_n)$.

Partie A. Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $q = 2$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
3. Calculer $u_{10}$.
4. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$, puis son comportement lorsque $n$ devient très grand.

Partie B. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :

5. Calculer $v_0$ et $v_1$.
6. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
7. En déduire une expression de $v_n$ de la forme $v_n = A \times q^{\,n}$, où $A$ et $q$ sont deux réels à déterminer.
8. Déterminer le sens de variation de $(v_n)$, puis la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Deux applications mobiles, nommées Nota et Vibra, sont mises en ligne le même jour. On note $n$ le nombre de jours écoulés depuis leur mise en ligne, l'entier $n = 0$ correspondant au jour de la mise en ligne.

• Le jour de la mise en ligne, Nota est téléchargée $500$ fois ; le nombre de téléchargements quotidiens de Nota augmente ensuite de $300$ chaque jour. On note $a_n$ le nombre de téléchargements de Nota le jour de rang $n$.
• Le jour de la mise en ligne, Vibra est téléchargée $20$ fois ; le nombre de téléchargements quotidiens de Vibra double ensuite chaque jour. On note $b_n$ le nombre de téléchargements de Vibra le jour de rang $n$.

1. Calculer $a_1$, $a_2$, $b_1$ et $b_2$. Préciser la nature de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
2. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
3. Compléter un tableau donnant $a_n$ et $b_n$ pour $n$ allant de $0$ à $8$.
4. Déterminer le premier jour à partir duquel Vibra est davantage téléchargée que Nota.
5. Calculer le nombre total de téléchargements de Vibra pendant les neuf premiers jours, c'est-à-dire la somme $b_0 + b_1 + \cdots + b_8$.
6. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 8$, on a $b_{n+1} - b_n \gt a_{n+1} - a_n$. Interpréter ce résultat.

Partie A. Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$. Pour tout entier naturel $n$, on pose :

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_n = 3\left(2^{\,n+1} - 1\right)$.
3. Calculer $S_5$, puis vérifier le résultat en additionnant directement les six premiers termes.
4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $S_n \geqslant 10\,000$.

Partie B. Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0 = 8$ et de raison $q' = \dfrac{1}{2}$. Pour tout entier naturel $n$, on pose :

5. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
6. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $T_n = 16 - 16 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}$.
7. En déduire que $T_n \lt 16$ pour tout entier naturel $n$, puis déterminer la limite de $T_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
8. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $T_n \geqslant 15{,}99$.

Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel $n$, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. On justifiera chaque réponse :

• pour prouver qu'une suite est arithmétique, on calculera $w_{n+1} - w_n$ dans le cas général ;
• pour prouver qu'une suite est géométrique, on calculera $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ dans le cas général ;
• pour prouver qu'une suite n'est ni l'une ni l'autre, il suffira d'exhiber trois termes consécutifs qui l'interdisent.

1. $a_n = 5 - 3n$

2. $b_n = \dfrac{7}{2^{\,n}}$

3. $c_n = n^2 + 1$

4. $d_n = 3^{\,n} + 2^{\,n}$

5. $e_n = \dfrac{4^{\,n}}{2^{\,n-1}}$

6. Pour celles de ces suites qui sont arithmétiques ou géométriques, préciser le sens de variation.

Un lac de montagne est peuplé de truites. Au 1er janvier 2026, une étude estime la population à $3\,000$ truites.

Chaque année, on observe que $20\,\%$ des truites présentes au 1er janvier disparaissent au cours de l'année (pêche, prédation, mortalité naturelle). Pour compenser, le gestionnaire du lac réintroduit $1\,200$ truites au 31 décembre.

Pour tout entier naturel $n$, on note $p_n$ le nombre de truites estimé au 1er janvier de l'année $2026 + n$. On a donc $p_0 = 3\,000$.

Partie A — Mise en place du modèle

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0{,}8\,p_n + 1\,200$.
2. Calculer $p_1$ et $p_2$. Interpréter ces résultats.
3. La suite $(p_n)$ est-elle arithmétique ? est-elle géométrique ? Justifier.

Partie B — Expression du terme général

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = p_n - 6\,000$.

4. Calculer $v_0$.
5. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}8$.
6. En déduire une expression de $v_n$, puis de $p_n$, en fonction de $n$.
7. Vérifier que la formule obtenue redonne bien la valeur de $p_2$ calculée à la question 2.

Partie C — Exploitation du modèle

8. Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
9. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n \geqslant 5\,400$. En quelle année la population dépasse-t-elle pour la première fois $5\,400$ truites ?
10. Le gestionnaire affirme que, avec ce protocole, la population finira par dépasser $6\,000$ truites. Que penser de cette affirmation ?