Puissance Alpha — Mathématiques 2024

Présentation de l'épreuve

Cette épreuve de mathématiques fait partie du concours Puissance Alpha (admission post-bac en cursus ingénieur), édition du samedi 27 avril 2024. Elle dure 1h30 et porte sur le programme de Terminale générale ; la calculatrice et tout appareil électronique sont interdits.

Barème. Chaque exercice comporte 4 affirmations repérées a, b, c, d, qu'il faut qualifier de vraies (V) ou fausses (F). Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse fait perdre 0,5 point, une abstention ne rapporte ni ne retire aucun point. Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse est donnée à l'une de ses 4 affirmations.

Organisation. Il faut traiter exactement 8 exercices au total :

• les 4 exercices fondamentaux (n°1 à 4), communs à tous les candidats et obligatoires ;
• 4 exercices supplémentaires choisis selon le profil de terminale suivi :
  • Spécialité Mathématiques : 4 exercices au choix parmi les n°5 à 12 ;
  • Mathématiques complémentaires : les 4 exercices n°13 à 16, à traiter en entier ;
  • Tronc commun (ni spécialité, ni option) : 4 exercices au choix parmi les n°17 à 24.

Un exercice traité en dehors de son profil n'est pas comptabilisé. Au-delà de 4 exercices traités dans un même profil, seuls les 4 premiers sont corrigés.

Exercices fondamentaux (obligatoires — n°1 à 4)

Exercice 1 — Bases du calcul

Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

a) $2-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-\frac{1}{2}}} = \dfrac{5}{4}$

b) Pour tout réel $x$, $(2+x)^2-(2-x)^2 = 8x$.

c) Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{4^{2n-1}\times 3^{-3n+1}}{2^{-n-5}} = 24\left(\dfrac{32}{27}\right)^n$.

d) Si $x<0$, alors $\sqrt{x^2-x+1}-x = \dfrac{1-\frac1x}{\sqrt{1-\frac1x+\frac{1}{x^2}}-1}$.

Exercice 2 — Un problème de cercles

$A$, $C$ et $B$ sont trois points distincts alignés dans cet ordre. $\mathscr{C}$ est le cercle de diamètre $[AB]$, $\mathscr{C}'$ le cercle de diamètre $[AC]$, et $M$, $N$ deux points de $\mathscr{C}$ distincts de $A$ et $B$. La droite $(AM)$ recoupe $\mathscr{C}'$ en un point $I$, et la droite $(AN)$ recoupe $\mathscr{C}'$ en un point $J$.

a) Si $\widehat{IAC}=45°$, alors le triangle $AIC$ est rectangle et isocèle.

On donne maintenant : $\widehat{IAC}=30°$, $AC=10$, $AI=4$, $AB=30$, et $H$ le pied de la hauteur issue de $I$ dans le triangle $AIC$.

b) $IH=3$.

c) L'aire du triangle $AIC$ vaut $\mathscr{A}=10$ unités d'aire.

d) $MB=24$.

Exercice 3 — Vecteurs et cercle circonscrit

Le plan est muni du repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. On considère les points $A(-3\,;0)$, $B(6\,;3)$, $C(1\,;8)$ et $K(x\,;y)$ avec $x,y$ réels. $K$ est le centre du cercle $\mathscr{C}$ circonscrit au triangle $ABC$, et $I$ le milieu de $[AB]$. La parallèle $(\Delta)$ à $(CB)$ passant par $K$ coupe l'axe des abscisses en un point $E$.

a) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}$.

b) $KA^2=KB^2 \iff 3x+y-6=0$.

c) Les coordonnées $(x\,;y)$ de $K$ vérifient le système $\begin{cases}3x+y=6\\-x+y=2\end{cases}$.

d) $5\overrightarrow{KE}-3\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.

Exercice 4 — Algorithmique et programmation

On donne les 6 fonctions Python suivantes.

def prog1(n):
    u = 3
    s = 0
    for k in range(n - 1):
        s = s + u
        u = 2 * u - 1
    return s
 
def prog2(n):
    a, b = 2, 3
    v = 2 * b - a
    k = 2
    liste = [2, 3]
    while k < n:
        liste.append(v)
        k = k + 1
        a = b
        b = v
        v = 2 * b - a
    return liste
 
def prog3(n):
    a, b = 2, 3
    liste = [2, 3]
    for k in range(1, n - 1):
        v = 2 * b - a
        liste.append(v)
        a = b
        b = v
    return liste
 
def prog4(A):
    n = 1
    w = 12
    while w > A:
        n = n + 1
        w = (2 / 5) * w
    return n
 
def prog5(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        u = 2 * k**2 - k + 1
        S = S + u
    return S
 
def prog6(n):
    S = 0
    for k in range(n):
        u = 2 * k**2 + 3 * k + 2
        S = S + u
    return S

a) prog1(3) renvoie la valeur 8.

b) Pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, prog2(n) et prog3(n) affichent les $n$ premiers termes de la suite $(v_k)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_0=2$, $v_1=3$ et, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $v_{k+2}=2v_{k+1}-v_k$.

c) prog4(2) renvoie la valeur 3.

d) Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, prog5(n) et prog6(n) calculent la somme $S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k^2-k+1)$.

Profil Spécialité Mathématiques — choisir 4 exercices parmi les n°5 à 12

Exercice 5 — Géométrie dans l'espace

On rappelle que, dans un tétraèdre, la droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée est appelée une médiane du tétraèdre.

On suppose que $ABCD$ est un tétraèdre régulier, $A'$ le centre de gravité du triangle $BCD$, $I$ le milieu de $[BD]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.

a) $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BC} = 0$, et la médiane $(AA')$ du tétraèdre régulier $ABCD$ est perpendiculaire au plan $(BCD)$.

On munit ensuite l'espace d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, avec $A(0\,;0\,;3)$, $B(2\sqrt2\,;0\,;-1)$, $C(-\sqrt2\,;-\sqrt6\,;-1)$ et $D(-\sqrt2\,;\sqrt6\,;-1)$.

b) $ABCD$ est un tétraèdre régulier.

c) Le point $A'$ a pour coordonnées $A'(0\,;0\,;-1)$.

d) Le plan $(BCD)$ a pour équation cartésienne $z+1=0$.

Exercice 6 — Limites

a) $\displaystyle\lim_{U\to 0}\dfrac{\sin(U)}{U}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x\sin\left(\dfrac2x\right)\right)=2$.

b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{16x^2-x-1}-4x\right)=0$.

Soit $f$ la fonction, de courbe représentative $\mathscr{C}_f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x+1)$.

c) La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.

d) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)=0$.

Exercice 7 — Étude de deux fonctions

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{x+\mathrm{e}^{-x}}$, et $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x)=x+2-\mathrm{e}^x$.

a) L'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in[0\,;+\infty[$.

b) $f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+1}$.

c) $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x\,g(x)}{(x\mathrm{e}^x+1)^2}$.

d) $f$ admet un minimum en $x=\alpha$.

Exercice 8 — Suites et probabilités

Paul joue à un jeu de casino. On admet que s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $\dfrac25$ ; s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est $\dfrac45$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement « Paul gagne la $n$-ième partie », $p_n=P(G_n)$ et $u_n=p_n-\dfrac14$. Paul gagne la première partie, donc $p_1=1$.

a) Pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=\dfrac15\,p_n-\dfrac15$.

b) La suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ est arithmétique de raison $r=\dfrac15$.

c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac34\times\left(\dfrac15\right)^{n-1}+\dfrac14$.

d) Si Paul joue suffisamment longtemps, il finira par avoir plus de chances de gagner que de perdre à ce jeu.

Exercice 9 — Équation différentielle

On note $y(t)$ la température, en degrés Celsius, d'une réaction chimique à l'instant $t$ (en heures). On admet que $y$ est solution, sur $[0\,;+\infty[$, de l'équation différentielle $(E)\,:\ y'+\dfrac12 y = 20\,\mathrm{e}^{-\frac12 t}$. On pose $(E')\,:\ y'+\dfrac12 y = 0$.

a) La fonction $g:x\mapsto 20x\,\mathrm{e}^{-\frac12 x}$ est une solution particulière de $(E)$.

b) Les solutions de $(E')$ sont les fonctions $f_k$, définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=k\,\mathrm{e}^{\frac13 x}$ avec $k$ réel.

(Résultat admis : si $g$ est une solution particulière de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$, alors $f$ est solution de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$ si et seulement si $f-g$ est solution de $(E')$ sur $[0\,;+\infty[$.)

Exercice 10 — Un problème sur les suites

On admet que la température initiale de la réaction est de 10 degrés, et on note $h$ l'unique solution de $(E)$ définie sur $[0\,;+\infty[$ telle que $h(0)=10$.

c) La température de la réaction chimique après une heure d'attente est de $30\sqrt{\mathrm{e}}$ degrés.

d) La température maximale atteinte par la réaction est de $40\,\mathrm{e}^{\sqrt{\frac32}}$ degrés.

Soit par ailleurs $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$, $u_1=2$ et $u_{n+2}=1{,}5\,u_{n+1}-0{,}5\,u_n$. On pose $(v_n)$ la suite définie par $v_n=u_{n+1}-u_n$.

a) $v_0=1$ et $v_1=0{,}5$.

b) La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1{,}5$.

c) La suite $(v_n)$ converge vers $L=0$.

On donne le programme suivant.

def prog(n):
    u_n = 1
    u_n1 = 2
    u_n2 = 1.5 * u_n1 - 0.5 * u_n
    v_n = u_n1 - u_n
    k = 0
    while k <= n:
        k = k + 1
        u_n = u_n1
        u_n1 = u_n2
        u_n2 = 1.5 * u_n1 - 0.5 * u_n
        v_n = u_n1 - u_n
    return v_n

d) prog(n) renvoie la valeur de $v_n$.

Exercice 11 — Matrices

Soit $A$, $P$ et $M$ les matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$, $P=\begin{pmatrix}1&-1&0\\2&1&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$ et $M=\begin{pmatrix}3&-1&1\\0&1&0\\-4&0&-1\end{pmatrix}$.

a) $A\cdot P\cdot M=\begin{pmatrix}5&-5&0\\2&3&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$.

b) $P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&-1\\-2&1&3\end{pmatrix}$.

c) $P\cdot M=-A\cdot P$.

d) Pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n=\begin{pmatrix}1&n&n(n+1)\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Exercice 12 — Nombres complexes

On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par $P(z)=z^4+2\sqrt3\,z^3+8z^2+2\sqrt3\,z+7$.

a) $P(z)=(z^2+1)(z^2+2\sqrt3\,z+7)$.

Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O\,;\vec u,\vec v)$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ ont pour affixes respectives $z_A=\mathrm{i}$, $z_B=-\mathrm{i}$, $z_C=-\sqrt3$ et $z_D=-\sqrt3-2\mathrm{i}$.

b) $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ sont 4 racines du polynôme $P$.

c) $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de diamètre $[CD]$.

d) $CA=CB$ et $\left(\overrightarrow{CA}\,;\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{\pi}{3}\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$.

Profil Mathématiques complémentaires — exercices n°13 à 16 (à traiter en entier)

Exercice 13 — Une fonction logarithme

$f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac1x+\dfrac{\ln(x)}{x^2}$, et $g$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x)=x^3-x-2\ln(x)+1$. On a représenté les courbes de $f$ et de $g$, notées $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.

a) $\Gamma_1$ est la courbe représentative de $f$.

b) $f(\sqrt{\mathrm{e}})=2\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\frac12}+\mathrm{e}^{-\frac12}}{2}\right)+\dfrac{\mathrm{e}^{-1}}{2}$.

c) Pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$, $g'(x)=\dfrac{(x-1)(3x^2+3x+2)}{x}$ et $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$.

d) La courbe représentative de $g$ admet une unique tangente parallèle à la droite $\Delta:\ y=-x+1$.

Exercice 14 — Une fonction exponentielle

Soit $f$ la fonction, de courbe représentative $\mathscr{C}_f$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1}$. On observe que $\mathscr{C}_f$ admet, au point $A$ d'abscisse $x_A>0$, une tangente horizontale.

a) Pour tout $x\neq0$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{5x}+3\mathrm{e}^{3x}-2\mathrm{e}^{2x}}{(\mathrm{e}^{2x}-1)^2}$.

b) Pour tout $x\neq0$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3x}-2\mathrm{e}^{2x}}{(\mathrm{e}^x-1)^2}$.

c) $x_A=\ln(2)$.

d) $\mathscr{C}_f$ coupe la droite $\Delta:\ y=-1$ en un unique point $B$ d'abscisse $x_B\leqslant-3$.

Exercice 15 — Probabilités : file d'attente d'une boulangerie

Chaque matin, une boulangerie ouvre à 9h. On estime qu'au plus 2 clients se présentent dans les 5 premières minutes. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients se présentant durant ces 5 minutes, avec $X\in\{0,1,2\}$ et la loi suivante : $P(X=0)=0{,}1$, $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}4$.

On admet que chaque client achète soit une baguette (probabilité $0{,}7$), soit une viennoiserie (probabilité $0{,}3$), jamais les deux, et que les choix des clients sont indépendants. On note $C_0$, $C_1$, $C_2$ les évènements « $0$ », « $1$ », « $2$ clients se présentent » et $E$ l'évènement « la boulangerie vend une unique baguette durant ces 5 minutes ».

a) En moyenne, il se présente 1,3 clients durant les 5 premières minutes.

b) Sachant que 2 clients se présentent, la probabilité de vendre une unique baguette vaut $0{,}42$.

c) La probabilité de l'évènement $E$ vaut $0{,}7$.

On admet qu'entre 9h et 9h05, la boulangerie a effectivement vendu une unique baguette.

d) La probabilité que deux clients soient passés entre 9h et 9h05 vaut $\dfrac{12}{37}$.

Exercice 16 — Un problème sur la dérivation

$a$, $b$, $c$, $d$ sont quatre réels. $f$ est la fonction polynôme, de courbe représentative $\mathscr{C}_f$, définie par $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. On admet que $\mathscr{C}_f$ passe par l'origine $O$, par les points $A(-3\,;9)$ et $B(1\,;y_B)$ avec $y_B\in\mathbb{R}$, et par $C(3\,;9)$ ; que $\mathscr{C}_f$ admet en $A$ et $B$ une tangente horizontale ; et que $\mathscr{C}_f$ admet la droite $(OA)$ pour tangente au point $O$.

a) $f'(0)=f(0)$ et $f'(-3)=f'(1)$.

On donne par ailleurs trois courbes $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$, $\mathscr{C}_3$, dont l'une représente la fonction dérivée $f'$.

b) La courbe représentative de $f'$ est $\mathscr{C}_2$ ou $\mathscr{C}_3$.

c) $d=0$ et $c=-3$.

d) $y_B=-\dfrac53$.

Profil Tronc commun — choisir 4 exercices parmi les n°17 à 24

Exercice 17 — Un tableau croisé sur les pratiques sportives

Un club mixte compte 50 adhérents licenciés, hommes (H) ou femmes (F), pratiquant du tennis (T), du judo (J) ou allant à la piscine (P). Un tableau des effectifs recense, pour chaque catégorie, le nombre d'adhérents : parmi les 30 hommes, 9 pratiquent le tennis, 9 le judo, 12 vont à la piscine ; parmi les 20 femmes, 9 pratiquent le tennis, 6 le judo, 5 vont à la piscine (totaux : 18 pour le tennis, 15 pour le judo, 17 pour la piscine).

a) 10 % des femmes vont à la piscine.

b) 40 % des adhérents pratiquant le judo sont des femmes.

c) La fréquence marginale des adhérents pratiquant le tennis est de $0{,}36$.

d) La probabilité de faire du judo sachant que l'adhérent est un homme est égale à la probabilité de faire du judo sachant que l'adhérente est une femme.

Exercice 18 — Suite d'aires de demi-cercles

Soit $n$ un entier naturel non nul et $(M_n)$ la suite de points de coordonnées $(n\,;0)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note $A_n$ l'aire de la portion du plan comprise entre les demi-cercles de diamètres $[OM_n]$ et $[OM_{n+1}]$ et l'axe des abscisses.

a) $A_2=\dfrac{5\pi}{8}$.

b) Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $A_n=2\pi n$.

c) La suite $(A_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac14$.

d) $A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6=6\pi$.

Exercice 19 — Isolation thermique et intérêts composés

Pour évaluer l'isolation d'une pièce, on mesure la quantité de chaleur perdue $f(t)$ (en °C), en fonction du temps $t$ (en heures) depuis l'arrêt du chauffage, avec $f(t)=\dfrac{875}{8}\times0{,}4^{\,t}$ sur $[0\,;+\infty[$.

a) $f$ est croissante.

b) 4h après l'arrêt du chauffage, on aura perdu $2{,}8\,°\mathrm{C}$.

On place par ailleurs un capital de 100 € à intérêts composés au taux annuel de 2 %. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $C_n$ désigne le capital, en euros, obtenu après $n$ années.

c) $C_3\approx106$ €.

d) La suite $(C_n)$ est arithmétique.

Exercice 20 — Variation instantanée, variation globale

Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac14 x^4-\dfrac43 x^3-\dfrac72 x^2+10x+20$. On donne trois courbes $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$, représentant trois fonctions $g_1$, $g_2$, $g_3$.

(Indication : pour tout $x\in\mathbb{R}$, la dérivée de $x\mapsto x^4$ est $x\mapsto4x^3$.)

a) Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=(x-1)(x+2)(x-5)=g_2(x)$.

b) Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=g_1(x)$ ou $f'(x)=g_3(x)$.

c) La tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $x=-1$ est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=12x-1$.

d) $\mathscr{C}_f$ admet, au point d'abscisse $x=2$, une tangente d'équation $y=-12x+\dfrac{130}{3}$.

Exercice 21 — Un trinôme paramétré

$m$ est un réel différent de $\dfrac12$. $P$ est la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=(1-2m)x^2-4mx+1$, et $(E)$ l'équation $(1-2m)x^2-4mx+1=0$.

(Résultats admis : $\dfrac{-1-\sqrt5}{4}\approx-0{,}8$ et $\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\approx0{,}3$.)

a) $(E)$ admet une unique solution si et seulement si $m=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$.

b) La fonction $P$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

c) Si $m<\dfrac12$, alors pour tout $x\in\mathbb{R}$, $P(x)\geqslant\dfrac{-16m^2-8m+4}{4-8m}$.

d) Si $\dfrac{-1-\sqrt5}{4}<m<\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$, alors pour tout $x\in\mathbb{R}$, $P(x)>0$.

Exercice 22 — Un problème sur les suites

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n=1+(-1)^n\dfrac{5}{2^{n-1}}$.

a) $\dfrac{u_{n+1}-1}{u_n-1}$ est indépendant de $n$.

Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\dfrac{2^{3n}}{3^{2n}}$.

b) La suite $(v_n)$ est croissante.

Soit $(s_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n\geqslant2$, par $s_{n+1}=\dfrac{2s_n+2}{s_n+3}$ et $s_2=3$, et $(t_n)$ la suite définie par $t_n=\dfrac{s_n-1}{s_n+2}$.

c) La suite $(t_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac12$.

d) Pour tout entier naturel $n\geqslant2$, $s_n=\dfrac{1+\frac15\times\frac{1}{2^{2n-6}}}{1-\frac15\times\frac{1}{2^{2n-5}}}$.

Exercice 23 — Vecteurs et produit scalaire dans un carré

$ABCD$ est un carré de côté $a>0$. $M$ est un point du segment $[BD]$ distinct de $B$ et $D$, $P$ et $Q$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur $[AB]$ et $[AD]$. On pose $x=AP$ et $y=AQ$. On travaille dans le repère orthonormé $\left(D\,;\vec{\imath}=\dfrac{1}{DC}\overrightarrow{DC},\ \vec{\jmath}=\dfrac{1}{DA}\overrightarrow{DA}\right)$.

a) $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{MC}$.

b) $\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CM}=y(a-y)$ et $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CM}=(x-a)x$.

c) Les droites $(PQ)$ et $(CM)$ sont perpendiculaires.

d) Si $\widehat{QPM}=\dfrac{\pi}{6}$ rad, alors $x=\dfrac{\sqrt3}{3+\sqrt3}\,a$.

Exercice 24 — Étude de fonctions exponentielles

Soit $f$ la fonction, de courbe $\mathscr{C}_f$, définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{\mathrm{e}^x-1}$ ; $g$ la fonction, de courbe $\mathscr{C}_g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-x\,\mathrm{e}^x-1$ ; et $h$ la fonction, de courbe $\mathscr{C}_h$, définie sur $\mathbb{R}^*$ par $h(x)=f'(x)$.

a) La fonction $g$ admet un minimum en $x=-1$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g(x)\geqslant0$.

b) Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $f'(x)$ est du même signe que $-g(x)$.

c) Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $h'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x\big((x-1)\mathrm{e}^x+x+3\big)}{(\mathrm{e}^x-1)^3}$.

d) $\mathscr{C}_h$ admet une tangente parallèle à la droite $\Delta:\ y=\dfrac{4\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^3}x-2$ au point d'abscisse $x=1$.