Geipi Polytech — Mathématiques 2025

Ce sujet reformule l'épreuve de Mathématiques du concours Geipi Polytech (session du mardi 29 avril 2025) : un tronc commun QCM Vrai/Faux (obligatoire, noté sur 40 points, durée conseillée 1h) et un module de spécialité Mathématiques au choix (noté sur 40 points, durée conseillée 1h). Calculatrice, téléphone et tout objet communicant interdits ; aucun document ; tous les exercices des sujets choisis sont à traiter. Nous vous invitons à justifier chaque réponse du QCM (non exigé dans l'épreuve d'origine).

Tronc commun — QCM Vrai/Faux (40 points)

Calculs

Exercice I. A. $\dfrac{(\sqrt8)^2\times(\sqrt3)^5}{6^3\times\sqrt6\times(\sqrt2)^{-5}}=\dfrac43$. B. $\dfrac{8^{10}-4^{10}}{10^{10}-8^{10}}=2^{10}$. C. $2+\dfrac4{1-\dfrac3{2-\frac53}}=\dfrac32$. D. Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $a\ne0$, $\dfrac{(a^n)^2}{\frac{a^n+a^n}2}=a^n$. E. Pour tout réel $a\ge1$, $\left(\sqrt{a-\sqrt a}+\sqrt{a+\sqrt a}\right)^2=2a$. F. $\ln(10^5)-\ln(10^3)-\ln(0{,}01)=2\ln(100)$.

Exercice II. A. Soit $m\in\mathbb R$. L'équation $x^2+(m+1)x+1=0$ n'admet pas de solution réelle si et seulement si $m\in\,]-3;1[$. B. Soit $m<2$. L'ensemble des solutions de $\dfrac{x-m}{m-2}>3$ est $S=\,]4m-6;+\infty[$.

Exercice III. $x,y$ réels non nuls. A. Si $x\le2y$, alors $x^2\le2xy$. B. Si $x\le2y$, alors $2x\le x+2y$. C. Si $x\le2y$, alors $x^2\le4y^2$.

Fonctions

Exercice IV. $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ sur $\mathbb R$, courbe $C_f$. A. $C_f$ admet l'asymptote $y=1$. B. $C_f$ admet l'asymptote $y=-1$. C. $C_f$ admet l'asymptote $x=1$. D. $f$ est décroissante sur $\mathbb R$. E. Pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{1-e^x}{1+e^x}$.

Suites numériques

Exercice V. Si $(u_n)_{n\ge1}$ vérifie $|u_n-1|\le\frac1n$ pour tout $n\ge1$, alors : A. pour tout $n\ge1$, $-1-\frac1n\le u_n\le-1+\frac1n$. B. $(u_n)$ est majorée par 2. C. $(u_n)$ est minorée par 0. D. $(u_n)$ converge vers 0.

Exercice VI. Sur les 64 cases d'un échiquier, on place 1 grain de riz sur la première case et on double la quantité d'une case à l'autre. A. Le nombre de grains sur la dernière case est $2^{63}$. B. Le nombre total de grains placés est $2^{64}-1$.

Géométrie dans le plan

Exercice VII. $\vec u\left(-3+\sqrt6;\sqrt3+3\sqrt2\right)$ et $\vec v(-3;3\sqrt2)$. A. $\vec u\cdot\vec v=27$. B. $\|\vec u\|=2\sqrt6$. C. $\|\vec v\|=27$.

Exercice VIII. $A,B,C$ tels que $AB=\sqrt3-1$, $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2$, $\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\sqrt2}2$. A. $AC=\sqrt6+\sqrt2$. B. Une mesure de $\widehat{BAC}$ est $30°$.

Spécialité Mathématiques — Exercice I : étude de deux fonctions (14 points)

Partie A. Soit $g(x)=2x^3+\ln(x)-2$ pour $x>0$.

1. Dresser le tableau de variations de $g$ (limites en $0$ et $+\infty$ incluses).
2. Justifier que $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
3. Dresser le tableau de signe de $g$.

Partie B. Soit $f(x)=\dfrac{x^3+1-\ln(x)}x$ pour $x>0$.

4. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$ (détailler le calcul).
5. Déterminer $\lim_{x\to0^+}f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ (avec justification).
6. Dresser le tableau de variations de $f$, en faisant apparaître $\alpha$, $f(\alpha)$ et les limites (sans calculer $\alpha$ ni $f(\alpha)$).

Spécialité Mathématiques — Exercice II : géométrie dans l'espace (14 points)

Dans un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, on considère $A(1;2;3)$, $B(-3;0;1)$, $C(0;0;4)$.

1. Donner les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Calculer $AB$ (sous la forme $a\sqrt b$, $b$ le plus petit possible).
3. Justifier que $A,B,C$ ne sont pas alignés, puis vérifier qu'une équation du plan $(ABC)$ est $x-y-z+4=0$.
4. Donner les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$, puis en déduire une équation du plan $\mathcal P$ passant par $I$ et orthogonal à $(AB)$.
5. Justifier que $\mathcal P$ et $(ABC)$ sont sécants selon une droite $\mathcal D$, et en donner un système d'équations paramétriques.

Soit $\mathcal S$ la sphère de centre $I$ et de diamètre $[AB]$.

6. Donner une équation cartésienne de $\mathcal S$, justifier que $C\in\mathcal S$, et en déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Spécialité Mathématiques — Exercice III : dés pipés (12 points)

On dispose de 100 dés, dont 25 sont pipés : pour un dé pipé, $P(\text{obtenir 6})=\frac12$ ; pour un dé non pipé, $P(\text{obtenir 6})=\frac16$.

Partie A — un seul lancer. On tire un dé au hasard et on le lance. $T$ : « le dé est pipé » ; $A_1$ : « on obtient un 6 ». (Résultats sous forme de fraction irréductible.)

1. Donner $P(T)$, $P(\overline T)$, $P_T(A_1)$ et $P_{\overline T}(A_1)$.
2. Calculer $P(A_1)$.
3. Calculer $P_{A_1}(T)$.

Partie B — $n$ lancers indépendants. $n$ entier naturel non nul. On choisit un dé au hasard puis on le lance $n$ fois (lancers indépendants). $A_n$ : « on n'obtient que des 6 ».

4. Exprimer $P_T(A_n)$, $P_{\overline T}(A_n)$ et $P(A_n)$ en fonction de $n$.
5. Déterminer $a>1$ tel que $P_{A_n}(T)=\dfrac{a^n}{a^n+3}$.
6. En déduire $\lim_{n\to+\infty}P_{A_n}(T)$.