Geipi Polytech — Mathématiques 2024

Ce sujet reformule l'épreuve de Mathématiques du concours Geipi Polytech (session du mardi 30 avril 2024) : un tronc commun QCM Vrai/Faux (obligatoire, noté sur 40 points, durée conseillée 1h) et un module de spécialité Mathématiques au choix (noté sur 40 points, durée conseillée 1h). Calculatrice, téléphone et tout objet communicant interdits ; aucun document. Une réponse fausse au QCM est pénalisée, mais le total par exercice ne peut être négatif ; l'absence de réponse ne retire aucun point. Nous vous invitons à justifier chaque réponse du QCM (non exigé dans l'épreuve d'origine).

Tronc commun — QCM Vrai/Faux (40 points)

Calculs

Exercice I. A. $\dfrac{(2\sqrt3)^2\times12^3\times3^2}{3^{-4}\times(\sqrt2)^4}=3^{10}\times2^8$. B. $2\sqrt{27}-(2\sqrt3-1)^2=10\sqrt3-13$. C. $\ln\!\left(\dfrac e4\right)+\ln\!\left(\dfrac1{9e}\right)+\ln(36e)=1$. D. $e^{2\ln3+\ln5}+e^{-2\ln5}=20$. E. Pour tout $x\ne\pm2$, $\dfrac2{x+2}-\dfrac1{x-2}+\dfrac8{x^2-4}=\dfrac1{x-2}$. F. Pour tout réel $x$, $\dfrac{e^{2x}+2e^x+1}{e^x+1}=e^x+1$.

Fonctions

Exercice II. A. $f(x)=e^{1/x}$ sur $\mathbb R^*$ admet pour dérivée $f'(x)=e^{1/x}$. B. $F(x)=x\sqrt x$ sur $[0;+\infty[$ est une primitive de $f(x)=\frac32\sqrt x$. C. $f(x)=(\ln(3x))^2$ sur $]0;+\infty[$ admet pour dérivée $f'(x)=\dfrac2{3x}\ln(3x)$. D. $\lim_{x\to0}(x\ln x-x)=-\infty$. E. $\lim_{x\to+\infty}(xe^x-\ln x)=0$.

Exercice III. Soit $f(x)=\dfrac3{1-x}$ pour $x\ne1$, de courbe $C_f$. A. $\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$. B. Une équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $-1$ est $y=\frac34x+\frac32$. C. $f$ est concave sur $]1;+\infty[$.

Suites numériques

Exercice IV. Soit $(u_n)$ telle que $u_n\ne0$ pour tout $n$, et $(v_n)$ définie par $v_n=-\dfrac2{u_n}$. A. Si $(u_n)$ est minorée par 2, alors $(v_n)$ est minorée par $-1$. B. Si $(u_n)$ est croissante, alors $(v_n)$ est décroissante. C. Si $(u_n)$ converge, alors $(v_n)$ converge.

Probabilités

Exercice V. On lance 5 fois un dé à 6 faces. A. Le nombre de lancers où apparaît un numéro pair suit une loi binomiale. B. La somme des résultats de tous les lancers suit une loi binomiale.

Exercice VI. $A,B$ événements de probabilités respectives $0{,}6$ et $0{,}4$, avec $P(A\cup B)=0{,}8$. A. $P(A\cap B)=0{,}24$. B. $A$ et $B$ sont contraires. C. $A$ et $B$ sont indépendants. D. $A$ et $B$ sont incompatibles.

Géométrie dans le plan

Exercice VII. $A(2;0)$, $B(0;-4)$ dans un repère orthonormé. A. Une équation de $(AB)$ est $2x-y-4=0$. B. Une équation de la médiatrice de $[AB]$ est $x+2y+3=0$. C. Une équation du cercle de diamètre $[AB]$ est $x^2+y^2-2x-4y=0$. D. Le point $(-1;-1)$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. E. La droite $2x-y+1=0$ est tangente au cercle de diamètre $[AB]$.

Spécialité Mathématiques — Exercice I : suite récurrente (20 points)

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}$ pour $x\ge0$. On admet que $u_n\ge1$ pour tout $n$.

1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$ (fractions irréductibles).
2. La courbe de $f$ et la droite $y=x$ suggèrent que $(u_n)$ est décroissante et converge ; préciser vers quelle valeur semble converger la suite.

Méthode 1.

3. Montrer que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}$, puis en déduire le sens de variation de $(u_n)$.
4. Justifier que $(u_n)$ converge ; on note $\ell$ sa limite.
5. Déterminer $\ell$.

Méthode 2. Soit $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$.

6. Calculer $v_0$.
7. Déterminer $k\in\,]0;1[$ tel que $v_{n+1}=k\,v_n$ pour tout $n$ ; qu'en déduit-on sur $(v_n)$ ?
8. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire la convergence de $(v_n)$ et sa limite.
9. Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$, puis retrouver la convergence de $(u_n)$ et sa limite.

Spécialité Mathématiques — Exercice II : population de marmottes (20 points)

$K$ et $a$ désignent des constantes réelles strictement positives.

Partie I. Soit $(E_1): z'(t)+z(t)=\dfrac1K$, $z$ dérivable sur $[0;+\infty[$.

1. Donner la solution générale de $(E_1)$.

Soit $f(t)=\dfrac{10}{1+ae^{-t}}$ pour $t\ge0$.

2. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$ (valeur en 0, limite en $+\infty$).
3. Déterminer, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $f(t)=5$.

Partie II. On étudie une population de marmottes comptant initialement $y_0>0$ milliers d'individus. La taille de la population au bout de $t$ années, $y(t)$ (en milliers), vérifie $(E_2): y'(t)=y(t)\left(1-\dfrac{y(t)}K\right)$, où $K$ (capacité d'accueil, en milliers) et $y(0)=y_0$. On admet que $y$ est à valeurs strictement positives. On pose $z(t)=\dfrac1{y(t)}$.

4. Exprimer $z'(t)$ en fonction de $y'(t)$ et $y(t)$, puis montrer que $z$ est solution de $(E_1)$ si, et seulement si, $y$ est solution de $(E_2)$.
5. En déduire la solution générale de $(E_2)$, puis, sachant que l'unique solution vérifiant $y(0)=y_0$ s'écrit $y(t)=\dfrac K{1+ae^{-t}}$, exprimer $a$ en fonction de $y_0$ et $K$.

Dans un vallon de capacité d'accueil $K=10$ où les marmottes ont disparu, on souhaite en réintroduire $y_0$ milliers, avec $0<y_0<10$.

6. Justifier que la valeur de $a$ trouvée est bien strictement positive.
7. En utilisant la question 3, donner la valeur de $a$ telle que $y(5)=5$, puis la valeur exacte de $y_0$ correspondante. Sachant que la calculatrice donne $y_0\approx0{,}0669285092$, déterminer le nombre minimal (entier) de marmottes à réintroduire pour qu'au moins 5 milliers soient présentes 5 ans après la réintroduction.