Geipi Polytech — Mathématiques 2023

Ce sujet reformule l'épreuve de Mathématiques du concours Geipi Polytech (session du mercredi 3 mai 2023). À partir de cette session, l'épreuve se scinde en un tronc commun QCM (obligatoire, noté sur 40 points, durée conseillée 1h) et un module de spécialité Mathématiques au choix parmi 5 spécialités (noté sur 40 points, durée conseillée 1h, à choisir avec une deuxième spécialité). Calculatrice autorisée, aucun document. Pour le QCM, chaque exercice regroupe plusieurs affirmations à qualifier de vraies ou fausses (aucune justification n'était exigée dans l'épreuve d'origine, une réponse fausse étant pénalisée) ; nous vous invitons ici à justifier chaque réponse.

Tronc commun — QCM Vrai/Faux (40 points)

Fonctions

Exercice I. Soit $f(x)=\ln(x^2+1)$. A. $f$ est définie sur $\mathbb R$. B. $f'(0)=1$. C. Pour tout $x<0$, $f(x)<0$. D. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Exercice II. Soient $g$ dérivable sur $\mathbb R$ et $C_g$ sa courbe représentative. A. Si $g(1)=0$, alors $C_g$ coupe l'axe des ordonnées au point $(1;0)$. B. Si $g(1)=2$ et $g'(1)=3$, alors $C_g$ admet la tangente $y=3x-1$ au point $(1;2)$. C. Si $g$ est deux fois dérivable et $g''\ge0$ sur $\mathbb R$, alors $C_g$ est en dessous de chacune de ses tangentes.

Exercice III. A. Pour tout réel $x$, $e^{3x+1}=e^{3x}+e$. B. Pour tout $x\ne0$, $\dfrac{\ln(x^2)}{\ln(x^2+4)}=\ln\!\left(\dfrac{x^2}{x^2+4}\right)$. C. Pour tout $x>0$, $2\ln\!\left(e^{\sqrt x}\right)=x$. D. L'ensemble des solutions de $e^{2x}-3e^x+2=0$ est $\{0\}$.

Exercice IV. Soit $h(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^x+1}$ sur $\mathbb R$. A. $\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$. B. $\lim_{x\to0}h(x)=1$. C. $\lim_{x\to-\infty}h(x)=1$. D. Pour tout $x$, $h'(x)=\dfrac{e^{3x}+2e^{2x}-e^x}{e^{2x}+1}$.

Suites numériques

Exercice V. Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\frac12$ telle que $u_2=1$. A. $(u_n)$ converge. B. Pour tout $n$, $u_n=\left(\frac12\right)^n$. C. Pour tout $n\ge1$, $u_1+u_2+\dots+u_n=4\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)$.

Exercice VI. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=0$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=v_n+\dfrac1{(n+1)(n+2)}$. A. $v_1=\frac16$. B. $(v_n)$ est décroissante. C. $(v_n)$ converge vers $0$. D. Pour tout $n$, $v_n=\dfrac n{n+1}$.

Probabilités

Exercice VII. Pour tous événements $A,B$ de probabilités dans $]0;1[$. A. $P_B(A)\times P(B)=P_A(B)\times P(A)$. B. $P_A(A)=1$. C. $P_{\overline A}(B)=1-P_A(B)$. D. $P(B)=P_A(B)+P_{\overline A}(B)$.

Exercice VIII. Soit $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n=10$, $p=0{,}2$. A. $P(1\le X<3)=P(X\le2)-P(X=0)$. B. $P(X>1)$ est strictement positive. C. $P(X=0)=0{,}2^{10}$.

Géométrie dans le plan

Exercice IX. $A(-1;1)$, $B(3;4)$, $C\left(8;\frac32\right)$ dans un repère orthonormé. A. $AB=\sqrt7$. B. Une équation de $(AB)$ est $3x-4y+7=0$. C. Une équation de la médiatrice de $[AB]$ est $8x+6y-25=0$. D. Le projeté orthogonal $D$ de $C$ sur $(AB)$ a pour coordonnées $\left(5;\frac{11}2\right)$.

Spécialité Mathématiques — Exercice I : bons d'achat (18 points)

$n$ désigne un entier naturel non nul ; les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

Un site de vente en ligne offre des bons d'achat de 5 € à certains clients connectés, selon le protocole suivant : le premier client connecté a une probabilité $\frac15$ d'en obtenir un ; si le $n$-ième client connecté en obtient un, le suivant en obtient également un avec probabilité $\frac3{10}$ ; si le $n$-ième client n'en obtient pas, le suivant n'en obtient pas non plus avec probabilité $\frac9{10}$. On note $A_n$ l'événement « le $n$-ième client obtient un bon d'achat » et $a_n=P(A_n)$.

1. Donner $a_1$.
2. Représenter l'arbre de probabilités correspondant.
3. Exprimer $P(A_{n+1}\cap A_n)$ et $P(A_{n+1}\cap\overline{A_n})$ en fonction de $a_n$.
4. En déduire que, pour tout $n\ge1$, $a_{n+1}=\frac15a_n+\frac1{10}$.

On pose, pour tout $n\ge1$, $u_n=a_n-\frac18$.

5. Calculer $u_1$, puis justifier que $(u_n)_{n\ge1}$ est géométrique (préciser sa raison $q$).
6. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=\dfrac3{8\times5^n}+\dfrac18$ pour tout $n\ge1$.
7. Justifier que $(a_n)_{n\ge1}$ converge et donner sa limite $\ell$.
8. Justifier que $a_n>\frac18$ pour tout $n\ge1$, puis déterminer le plus petit entier $n_0$ à partir duquel $a_n-\frac18\le10^{-5}$ (utiliser la fonction logarithme).

Spécialité Mathématiques — Exercice II : géométrie dans l'espace (22 points)

1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $X^2-4X+2=0$.

Dans un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, on considère un prisme de sommets $A(0;0;0)$, $B(0;1;-\sqrt3)$, $C(0;2;0)$, $D(0;1;\sqrt3)$, $E(4;0;0)$, $F(4;1;-\sqrt3)$, $G(4;2;0)$, $H(4;1;\sqrt3)$, et un point $I(a;0;0)$ où $a\in[0;4]$.

2. Déterminer les coordonnées des points $J$ et $L$, milieux respectifs de $[BF]$ et $[DH]$.
3. Déterminer le réel $\lambda$ tel que $\vec{AI}=\lambda\,\vec{AE}$ (en fonction de $a$), puis en déduire l'ensemble décrit par $I$ lorsque $a$ parcourt $[0;4]$ (segment, droite, cercle, ou plan ?).

On admet que $\vec{IJ}(2-a;1;-\sqrt3)$ et $\vec{IL}(2-a;1;\sqrt3)$.

4. Exprimer $IJ^2$ et $IL^2$ en fonction de $a$ (sans développer), et observer l'égalité des longueurs $IJ$ et $IL$.
5. Déterminer $m,n,p$ tels que $\vec{IJ}\cdot\vec{IL}=ma^2+na+p$, puis en déduire les valeurs de $a$ pour lesquelles $\vec{IJ}$ et $\vec{IL}$ sont orthogonaux.

On prend désormais $a=2+\sqrt2$.

6. Justifier que $I,J,L$ définissent un plan, que $\vec n(1;\sqrt2;0)$ est normal au plan $(IJL)$, et en déduire une équation cartésienne de $(IJL)$.
7. Donner une représentation paramétrique de la droite $(CG)$.
8. Déterminer les coordonnées de $K$, point d'intersection de $(CG)$ et de $(IJL)$.
9. Préciser la nature du quadrilatère $IJKL$.