Geipi Polytech — Mathématiques 2022

Ce sujet reformule l'épreuve de Mathématiques du concours Geipi Polytech (session du mercredi 4 mai 2022), obligatoire pour tout candidat (durée conseillée : 2 des 3 heures de l'épreuve complète, le reste étant consacré à la spécialité choisie). Calculatrice autorisée, aucun document. Trois exercices notés respectivement sur 29, 26 et 25 points. Pour les QCM, une seule bonne réponse était attendue sans justification dans l'épreuve d'origine (sauf mention contraire) ; une réponse fausse pouvait pénaliser une réponse correcte associée. Nous vous invitons ici à justifier chaque choix.

Exercice 1 — QCM (29 points)

Les questions sont indépendantes. $a$ et $b$ désignent des réels, le plan est muni du repère orthonormé $\mathcal R=(O,\vec\imath,\vec\jmath)$.

Fonctions.

1. Pour $a,b>0$, que vaut $\ln(a+b)$ ? A) $\ln(a)\times\ln(b)$ — B) $\ln(a)+\ln(b)$ — C) $\ln(a)+\ln\!\left(1+\frac ba\right)$.
2. Sur quel ensemble peut-on calculer $\ln(x^2-1)$ ? A) $]0;+\infty[$ — B) $]-1;1[$ — C) $]-\infty;-1[\,\cup\,]1;+\infty[$ — D) $]e^{-1};+\infty[$.
3. Soient $f,g$ définies sur $]-\infty;a[\,\cup\,]a;+\infty[$ avec $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to a}g(x)=0^+$. Que peut-on affirmer ? A) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0^+$ — B) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ — C) $\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0^+$ — D) $\lim_{x\to a}f(x)g(x)=+\infty$.
4. Si $f$ est définie sur $]a;+\infty[$ avec $\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$, alors : A) $C_f$ admet une asymptote horizontale — B) $C_f$ admet une asymptote verticale — C) $f$ est décroissante sur $]a;+\infty[$.
5. $f$ dérivable sur $\mathbb R$ vérifie $f(1)=3$ et, pour tout $x$, $f'(x)+2f(x)=4$. Que vaut $f'(1)$ ? (A) $-2$ (B) $10$ (C) $1$. Donner ensuite une équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 parmi : D) $y=-2x+3$ — E) $y=10x+3$ — F) $y=x+2$ — G) $y=-2x+5$.
6. $f$ dérivable sur $]a;b[\ni c$, avec tangente horizontale à $C_f$ en $c$. Que peut-on affirmer ? A) $f(c)=0$ — B) $f$ admet en $c$ un extremum local — C) $f(x)=c$ a une unique solution sur $]a;b[$ — D) $f'(c)=0$.
7. $f$ continue sur $[a;b]$. Quelles propositions sont vraies ? A) Si $f(a)f(b)>0$, $f$ s'annule sur $[a;b]$ — B) Si $c\in\,]a;b[$, $f(c)$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ — C) Si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ a au moins une solution sur $[a;b]$.
8. $f$ deux fois dérivable sur $[a;b]$, de courbe $C_f$, avec $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$. On suppose $f''>0$ sur $[a;b]$. Quelles propositions sont vraies ? A) $f$ est croissante sur $[a;b]$ — B) $f'$ est croissante sur $[a;b]$ — C) $f$ est convexe sur $[a;b]$ — D) $C_f$ est en dessous du segment $[AB]$.

Suites numériques.

9. Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_1=0$ et $u_{10}=10$. A) sa raison vaut 1 — B) $u_{19}=20$ — C) elle converge — D) $u_1+u_2+\dots+u_{10}=50$.
10. Soit $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $u_n=5-\left(\frac54\right)^n$. A) géométrique de raison $\frac54$ — B) arithmétique de raison $\frac54$ — C) décroissante — D) $\lim_{n\to+\infty}u_n=5$.

Probabilités. ($\Omega$ univers, $P$ probabilité sur $\Omega$)

11. Pour $A,B$ événements quelconques, $P(A\cap B)=$ ? A) $P(A)\times P(B)$ — B) $P(A)+P(B)$ — C) $P(A\cup B)-P(A\cap\overline B)-P(\overline A\cap B)$ — D) $P(A)+P(B)-P(A\cup B)$.
12. $X$ prend ses valeurs dans $\{0,1,10\}$, avec $P(X=0)=\frac12$ et $P(X=10)=\frac16$. A) $P(X=1)=\frac23$ — B) $P(X=1)=\frac13$ — C) $E(X)=2$ — D) $E(X)=\frac{11}3$.

Géométrie dans le plan.

13. $a,b$ réels non nuls, $A(a;a)$, $B(a;-a)$, $C(-a;b)$, $D(-a;0)$. A) $(AB)$ et $(DC)$ sont sécantes — B) elles sont parallèles — C) $ABCD$ est un parallélogramme ssi $b=2a$ — D) $ABCD$ est un parallélogramme ssi $b=-2a$.

Exercice 2 — Un bâtiment (26 points)

On modélise un petit bâtiment dont la dalle (au sol) est le polygone $A_0B_0C_0D_0E_0F_0G_0$, et la toiture deux pans plans $\mathcal P_1=(H_1D_1E_1)$ et $\mathcal P_2=(C_1D_1H_1)$. Les façades $A_0B_0B_1A_1$ et $G_0F_0F_1G_1$ sont rectangulaires, contenues dans des plans parallèles $\mathcal P_3$ et $\mathcal P_4$ ; tous les plans des façades sont orthogonaux au plan de la dalle.

Première partie (résultats admissibles pour la suite).

1. Justifier que $(A_0B_0)$ et $(F_0G_0)$ sont parallèles.
2. Justifier que $(D_1H_1)$ est parallèle à $(A_1B_1)$ et $(F_1G_1)$.

Deuxième partie. Dans le repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ : $A_0(-10;-12;0)$, $B_0(-8;-12;0)$, $C_0(2;-2;0)$, $D_0(0;0;0)$, $E_0(2;2;0)$, $F_0(-4;8;0)$, $G_0(-10;8;0)$, $C_1(2;-2;7)$, $D_1(0;0;8)$, $E_1(2;2;7)$, $H_1(-10;0;8)$.

3. Donner les coordonnées de $\vec{D_1H_1}$ et $\vec{D_1E_1}$.
4. Montrer que $\vec{n_1}(0;1;2)$ est normal au plan $\mathcal P_1$.
5. En déduire une équation cartésienne de $\mathcal P_1$.
6. Le point $F_1$ a pour coordonnées $(-4;8;z_1)$ et appartient au pan de toit $\mathcal P_1$. Déterminer $z_1$.
7. En déduire la longueur $F_0F_1$.

La façade arrière (plan $x=-10$) contient $H_1$, et $G_1$ (situé à la verticale de $G_0$, sur le même pan de toit $\mathcal P_1$). Soit $J$ le point d'intersection de la verticale issue de $H_1$ et de l'horizontale issue de $G_1$ ; la pente du toit est la mesure $\alpha$ de l'angle $\widehat{JG_1H_1}$.

8. Déterminer $\tan\alpha$.
9. Dans cette région, la pente d'un toit doit être comprise entre $33°$ et $45°$. La toiture respecte-t-elle cette norme ?
10. On admet qu'une équation de $\mathcal P_2$ est $y-2z+16=0$. Vérifier qu'une équation du plan $(B_0C_0C_1)$ est $x-y-4=0$.
11. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(B_1C_1)$.

On admet qu'une représentation paramétrique de $(A_1H_1)$ est $\begin{cases}x=-10\\y=2k\\z=8+k\end{cases}$, $k\in\mathbb R$, et que $(A_1H_1)$ et $(B_1C_1)$ sont sécantes.

12. On souhaite prolonger le pan de toit $(A_1B_1C_1D_1H_1)$ jusqu'au sol (plan de la dalle). Est-ce possible ? Justifier.

Exercice 3 — Étude d'une fonction (25 points)

On considère $f(x)=-(1+x^2)e^{-x}$ pour tout réel $x$, de courbe représentative $C_f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$.

1. Donner $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ (sans justification).
2. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ (avec justification).
3. En déduire que $C_f$ admet une asymptote $\Delta$ en $+\infty$. Donner son équation et la position de $C_f$ par rapport à $\Delta$.
4. Déterminer les réels $a,b$ tels que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(ax+b)^2e^{-x}$.
5. Donner l'ensemble $\mathcal E$ des solutions de $f'(x)=0$.
6. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$.
7. Soient $A$ et $B$ les points de $C_f$ d'abscisses respectives $1$ et $0$. Donner, sans justification, des équations des tangentes $T_A$ et $T_B$ à $C_f$ en ces points.
8. En s'appuyant sur les résultats précédents (asymptote, sens de variation, tangentes $T_A$ et $T_B$), décrire l'allure de la courbe $C_f$ : est-elle toujours en dessous, toujours au-dessus, ou tantôt en dessous tantôt au-dessus de sa tangente $T_B$ au voisinage de $B$ ?
9. Justifier que l'équation $f(x)=-3$ admet une unique solution dans $[-1;0]$.
10. QCM — algorithme. On considère : $a\leftarrow-1$ ; $b\leftarrow0$ ; tant que $|b-a|>0{,}3$ : $x\leftarrow\frac{a+b}2$ ; si $g(a)g(x)>0$ alors $a\leftarrow x$ sinon $b\leftarrow x$ ; fin tant que ; $x\leftarrow\frac{a+b}2$ ; afficher $x$ — appliqué à $g(x)=f(x)+3$ sur $[-1;0]$. Quelle valeur affiche l'algorithme ? A) $-0{,}75$ — B) $-0{,}5$ — C) $-0{,}625$ — D) $-1$.