Geipi Polytech — Mathématiques 2021

Ce sujet reformule l'épreuve de Mathématiques du concours Geipi Polytech (session du vendredi 30 avril 2021). Elle est obligatoire pour tout candidat, sur une durée conseillée de 2 heures (l'épreuve complète, avec la spécialité choisie, dure 3 heures). Calculatrice autorisée, aucun document. Trois exercices, notés respectivement sur 31, 22 et 27 points. Pour les questions signalées QCM, une seule bonne réponse était attendue sans justification dans l'épreuve d'origine ; nous vous invitons ici à justifier vos choix pour vous entraîner.

Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (31 points)

Partie A — Un triangle dans le plan

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$. On considère le triangle $ABC$ avec $A(6;0)$, $B(4;8)$, $C(-4;0)$.

1. Donner les coordonnées de $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$ (détailler le calcul).
3. Calculer les normes exactes de $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$, sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
4. En déduire la valeur exacte de $\cos(\widehat{ABC})$, puis de $\sin(\widehat{ABC})$.
5. Montrer que l'aire du triangle $ABC$ vaut 40 unités d'aire.

Partie B — Un tétraèdre dans l'espace

On munit l'espace du repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ et l'on pose $A(6;0;0)$, $B(4;8;0)$, $C(-4;0;0)$, $D(-4;0;20)$ (le triangle $ABC$ de la partie A est dans le plan d'équation $z=0$, et la droite $(DC)$ est parallèle à l'axe $(Oz)$).

6. Que représente la droite $(DC)$ pour le tétraèdre $ABCD$ ?
7. On rappelle que le volume d'une pyramide vaut $\mathcal V=\frac13\times\mathcal A_{base}\times h$. Calculer la valeur exacte du volume de $ABCD$.
8. On donne le vecteur $\vec n(4;1;2)$. Calculer $\vec n\cdot\vec{BA}$, puis justifier que $\vec n$ est normal au plan $(ABD)$.
9. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
10. Soit $A'$ le point d'intersection de $(ABD)$ avec l'axe $(Oz)$. Donner ses coordonnées, puis déterminer le réel $k$ tel que $\vec{DA'}=k\,\vec{DA}$.
11. QCM. Soit $(\mathcal P)$ le plan passant par $A'$ et parallèle à $(ABC)$, et $A'B'C'$ la section de $(\mathcal P)$ avec le tétraèdre $ABCD$. Quelle est la valeur, arrondie à l'unité, du volume du tétraèdre $A'B'C'D$ ? A) 17 unités de volume — B) 107 unités de volume — C) 160 unités de volume — D) 250 unités de volume.

Partie C — Une sphère circonscrite

On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu.

12. Donner les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$, puis celles du vecteur $\vec{AC}$.
13. En déduire qu'une équation du plan médiateur de $[AC]$ est $x=1$. Justifier qu'une équation du plan médiateur de $[AB]$ est $x-4y+11=0$. On admet qu'une équation du plan médiateur de $[CD]$ est $z=10$.
14. En déduire les coordonnées du centre $\Omega$ de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$, puis la valeur exacte de son rayon $R$.

Exercice 2 — Probabilités et suite numérique (22 points)

On dispose de deux pièces $A$ et $B$ : la pièce $A$ donne Face avec probabilité $\frac12$, la pièce $B$ avec probabilité $\frac14$. Règle du jeu : après un lancer, si l'on obtient Face on relance la même pièce ; sinon, on change de pièce. Tous les résultats numériques de cet exercice sont attendus sous forme de fraction irréductible.

Partie A — Trois lancers, en partant de la pièce $A$

1. Représenter l'arbre de probabilités des trois premiers lancers.
2. Soit $X$ le nombre de Face obtenues sur les 3 lancers. Donner la loi de probabilité de $X$.
3. Calculer l'espérance $E(X)$.

Partie B — Une suite associée

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier $n\ge0$, $u_{n+1}=-\frac14u_n+\frac34$.

4. Calculer $u_1$ et $u_2$.
5. Soit $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\frac35$. Calculer $v_0$, puis montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $-\frac14$.
6. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-\frac85\left(-\frac14\right)^n+\frac35$.
7. Justifier que $(u_n)$ converge et donner sa limite.

Partie C — $n$ lancers

Pour tout entier $n\ge1$, on note $A_n$ l'événement « on utilise la pièce $A$ au $n$-ième lancer » et $p_n=P(A_n)$ (avec $p_1=1$, puisqu'on commence toujours par $A$).

8. Donner $P_{A_n}(A_{n+1})$ et $P_{\overline{A_n}}(\overline{A_{n+1}})$.
9. En déduire des expressions de $P(\overline{A_n})$, $P(A_n\cap A_{n+1})$ et $P(A_n\cap\overline{A_{n+1}})$ en fonction de $p_n$.
10. Montrer que, pour tout $n\ge1$, $p_{n+1}=-\frac14p_n+\frac34$.
11. On note $F_n$ l'événement « obtenir Face au $n$-ième lancer ». Exprimer $P(F_n\cap A_n)$ et $P(F_n\cap\overline{A_n})$ en fonction de $p_n$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(F_n)$.

Exercice 3 — Équations différentielles : élimination d'un médicament (27 points)

On étudie l'évolution de la concentration sanguine d'un analgésique, administré par voie intraveineuse (partie A) puis par voie orale (partie B).

Partie A — Voie intraveineuse

Soit $\lambda>0$ une constante réelle et l'équation différentielle $(E_1): y'(t)=-\lambda y(t)$.

1. Donner la solution générale de $(E_1)$ sur $\mathbb R$.
2. Soit $Q$ la solution de $(E_1)$ vérifiant $Q(0)=0{,}6$. Exprimer $Q(t)$ en fonction de $\lambda$.
3. Donner $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}Q(t)$ et le sens de variation de $Q$ (sans justification).

On admet qu'à l'instant $t=0$ (en heures), une injection donne une concentration initiale de $0{,}6$ mg/L, qui évolue ensuite selon $Q(t)$, et qu'au bout d'une heure la concentration a diminué de 30 %.

4. Calculer la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
5. Le médicament reste efficace tant que sa concentration dépasse $0{,}1$ mg/L. Déterminer la durée d'efficacité $t_e$ (valeur exacte, puis approchée à $10^{-2}$ près).

Partie B — Voie orale

Soit l'équation différentielle $(E_2): y'(t)+y(t)=\frac12e^{-t/2}$.

6. Vérifier que la fonction $g(t)=e^{-t/2}$ est solution de $(E_2)$.
7. En déduire la solution générale de $(E_2)$.
8. Donner la solution $f$ de $(E_2)$ vérifiant $f(0)=0$.

On pose, pour $t\ge0$, $q(t)=e^{-t/2}-e^{-t}$, de courbe représentative $\mathcal C_q$.

9. Donner $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}q(t)$ et en déduire une équation de l'asymptote $\Delta$ à $\mathcal C_q$.
10. On écrit $q'(t)=e^{-t/2}\left(ae^{-t/2}+b\right)$. Donner les valeurs de $a$ et $b$.
11. Résoudre l'inéquation $q'(t)>0$ sur $[0;+\infty[$.
12. Calculer la valeur exacte de $q(\ln4)$.
13. Dresser le tableau de variations de $q$ sur $[0;+\infty[$.

On admet qu'après une prise orale à l'instant $t=0$, la concentration sanguine (en mg/L) à l'instant $t$ (en heures) est $q(t)$, et que le médicament devient indésirable au-delà de $0{,}3$ mg/L.

14. Ce seuil est-il atteint par la voie orale ? Justifier.

Partie C — Comparaison des deux voies

15. QCM. Pour un soulagement immédiat de la douleur, quelle voie choisir ? A) orale — B) intraveineuse — C) peu importe laquelle.
16. QCM. Sachant que le seuil d'efficacité ($0{,}1$ mg/L) est le même pour les deux voies, quelle voie reste efficace le plus longtemps ? A) orale — B) intraveineuse — C) peu importe laquelle.