Épreuve pratique NSI 2024 — Sujet 23 : insertion dans un ABR immuable, empaquetage glouton

Épreuve pratique de NSI, session 2024 — sujet n°23 de la banque nationale. Durée : 1 heure, sur ordinateur. Le candidat traite les deux exercices, notés chacun sur 10 points.

Exercice 1 — insérer dans un arbre binaire de recherche représenté par des triplets

Dans cet exercice, on considère des arbres binaires de recherche qui sont :

• soit l'arbre vide identifié par None ;
• soit un nœud, contenant une clé et deux sous-arbres gauche et droit et représenté par un triplet (g, v, d) où g et d sont les sous-arbres gauche et droit et v la clé.

Ainsi, l'arbre binaire de recherche abr1 ci-dessus est créé par le code Python ci-dessous :

n0 = (None, 0, None)
n3 = (None, 3, None)
n2 = (None, 2, n3)
abr1 = (n0, 1, n2)

Écrire une fonction récursive insertion_abr(a, cle) qui prend en paramètres une clé cle et un arbre binaire de recherche a, et qui renvoie un arbre binaire de recherche dans lequel cle a été insérée.

Dans le cas où cle est déjà présente dans a, la fonction renvoie l'arbre a inchangé.

Résultats à obtenir :

>>> insertion_abr(abr1, 4)
((None,0,None),1,(None,2,(None,3,(None,4,None))))
>>> insertion_abr(abr1, -5)
(((None,-5,None),0,None),1,(None,2,(None,3,None)))
>>> insertion_abr(abr1, 2)
((None,0,None),1,(None,2,(None,3,None)))

Exercice 2 — ranger des objets dans des boîtes (algorithme glouton)

On dispose d'un ensemble d'objets dont on connaît, pour chacun, la masse. On souhaite ranger l'ensemble de ces objets dans des boîtes identiques de telle manière que la somme des masses des objets contenus dans une boîte ne dépasse pas la capacité c de la boîte. On souhaite utiliser le moins de boîtes possible pour ranger cet ensemble d'objets.

Pour résoudre ce problème, on utilisera un algorithme glouton consistant à placer chacun des objets dans la première boîte où cela est possible.

Par exemple, pour ranger dans des boîtes de capacité c = 5 un ensemble de trois objets dont les masses sont représentées en Python par la liste [1, 5, 2], on procède de la façon suivante :

• Le premier objet, de masse 1, va dans une première boîte.
• Le deuxième objet, de masse 5, ne peut pas aller dans la même boîte que le premier objet car cela dépasserait la capacité de la boîte. On place donc cet objet dans une deuxième boîte.
• Le troisième objet, de masse 2, va dans la première boîte.

On a donc utilisé deux boîtes de capacité c = 5 pour ranger les 3 objets.

Compléter la fonction Python empaqueter(liste_masses, c) suivante pour qu'elle renvoie le nombre de boîtes de capacité c nécessaires pour empaqueter un ensemble d'objets dont les masses sont contenues dans la liste liste_masses. On supposera que toutes les masses sont inférieures ou égales à c.

def empaqueter(liste_masses, c):
    """Renvoie le nombre minimal de boîtes nécessaires pour
    empaqueter les objets de la liste liste_masses, sachant
    que chaque boîte peut contenir au maximum c kilogrammes"""
    n = len(liste_masses)
    nb_boites = 0
    boites = [ 0 for _ in range(n) ]
    for masse in ...:
        i = 0
        while i < nb_boites and boites[i] + ... > c:
            i = i + 1
        if i == nb_boites:
            ...
        boites[i] = ...
    return ...

Exemples :

>>> empaqueter([1, 2, 3, 4, 5], 10)
2
>>> empaqueter([1, 2, 3, 4, 5], 5)
4
>>> empaqueter([7, 6, 3, 4, 8, 5, 9, 2], 11)
5