Maths Première 2026 — Polynésie septembre — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement de Polynésie, 4 septembre 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 3 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Ce sujet n'a pas de corrigé officiel : la correction ci-dessous a été entièrement rédigée pour ce site, et chaque résultat vérifié par le calcul.

Première partie — Automatismes (QCM, 6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

On note $S$ l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $(2x-6)(x+4) = 0$. On a :

A. $S = \lbrace 4\,;6 \rbrace$ — B. $S = \lbrace -4\,;6 \rbrace$ — C. $S = \lbrace 3\,;4 \rbrace$ — D. $S = \lbrace -4\,;3 \rbrace$

Question 2

On lance un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ ?

A. $\dfrac12$ — B. $\dfrac13$ — C. $\dfrac14$ — D. $\dfrac15$

Question 3

La seule égalité vraie est :

A. $3^{-5} \times 6^{-5} = 18^{-10}$ — B. $\left(3^{-5}\right)^2 = 3^{-3}$ — C. $\dfrac{3}{3^5} = 3^{-4}$ — D. $\dfrac{3^{-2}}{3^8} = 3^{-6}$

Question 4

L'énoncé représente quatre droites dans un repère orthonormé, sur une fenêtre allant de $-8$ à $8$ en abscisse et de $-4$ à $7$ en ordonnée. On y lit :

• $\mathrm{D}_1$ est verticale, et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $3$ ;
• $\mathrm{D}_2$ descend de la gauche vers la droite, passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $(1\,;-1)$ ;
• $\mathrm{D}_3$ est horizontale, et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $3$ ;
• $\mathrm{D}_4$ monte de la gauche vers la droite, coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $1$ et l'axe des abscisses au point d'abscisse $-1$.

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. la droite $\mathrm{D}_1$ a pour équation $y = 3$ — B. la droite $\mathrm{D}_2$ a pour coefficient directeur $1$ — C. la droite $\mathrm{D}_3$ a pour coefficient directeur $3$ — D. la droite $\mathrm{D}_4$ a pour équation $y = x + 1$

Question 5

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Parmi les quatre points suivants, lequel appartient à $\mathcal{C}_f$ ?

A. $\mathrm{E}(-1\,;2)$ — B. $\mathrm{H}(-3\,;28)$ — C. $\mathrm{G}(2\,;1)$ — D. $\mathrm{K}(3\,;4)$

Question 6

On considère le nombre $E = \left(\dfrac12 + \dfrac13\right) \times \dfrac25$. Une écriture simplifiée de $E$ est :

A. $\dfrac{4}{25}$ — B. $\dfrac13$ — C. $\dfrac{2}{30}$ — D. $\dfrac45$

Question 7

Le prix d'un pantalon a augmenté de $10$ % puis a baissé de $20$ %. Quelle évolution globale a subi le prix du pantalon ?

A. une baisse de $15$ % — B. une augmentation de $8{,}8$ % — C. une baisse de $12$ % — D. une baisse de $10$ %

Question 8

L'accélération gravitationnelle $g$ (en m/s²) d'un astre est donnée par la formule

où $G$ est la constante gravitationnelle universelle, $m$ la masse de l'astre (en kg) et $r$ son rayon (en m). L'expression permettant d'exprimer le rayon $r$ à partir de cette formule est :

A. $r = \dfrac{Gm}{g^2}$ — B. $r = \sqrt{Gmg}$ — C. $r = \sqrt{\dfrac{Gm}{g}}$ — D. $r = \sqrt{\dfrac{g}{Gm}}$

Deuxième partie — Exercice 1 : la pièce et les deux urnes (4 points)

Un joueur participe à un jeu. Il dispose d'une pièce de monnaie équilibrée et de deux urnes $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, qui contiennent chacune des jetons dorés et des jetons argentés. Il commence par lancer la pièce :

• s'il obtient pile, il pioche un jeton dans l'urne $\mathrm{A}$ ; il a alors $60$ % de chances de tirer un jeton doré ;
• s'il obtient face, il pioche un jeton dans l'urne $\mathrm{B}$ ; il a alors $80$ % de chances de tirer un jeton argenté.

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer la pièce puis à tirer un jeton dans l'une des deux urnes, ainsi que les évènements suivants :

• $\mathrm{A}$ : « le joueur pioche dans l'urne $\mathrm{A}$ » ;
• $\mathrm{B}$ : « le joueur pioche dans l'urne $\mathrm{B}$ » ;
• $\mathrm{D}$ : « le jeton obtenu est doré » ;
• $\overline{\mathrm{D}}$ : « le jeton obtenu est argenté ».

1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Calculer $P(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})$, puis interpréter le résultat obtenu.

3. Montrer que $P(\mathrm{D}) = 0{,}4$.

4. Le joueur a obtenu un jeton doré. Quelle est la probabilité qu'il l'ait pioché dans l'urne $\mathrm{B}$ ?

Exercice 2 — Concentration d'un médicament (5 points)

On injecte à un patient un médicament. Après l'injection, on mesure la concentration de ce médicament dans le sang, en grammes par litre (g/L), pendant $13$ heures. Cette concentration est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;13]$ par

où $t$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'injection.

1. Déterminer $f(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. a. Justifier que, pour tout réel $t$ de $[0\,;13]$,

b. Étudier le signe de $t(-t+1)$ sur $[0\,;13]$.

c. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;13]$. Il n'est pas demandé de calculer les images.

3. On estime que le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration devient strictement inférieure à $0{,}1$ g/L ; il convient alors de procéder à une nouvelle injection. En utilisant le tableau de valeurs approchées ci-dessous, déterminer le nombre d'heures maximal $t_0$ — un entier naturel — pendant lequel le médicament reste actif.

Exercice 3 — Les donateurs d'une association (5 points)

Les activités d'une association sont financées grâce à des donateurs. On réalise une estimation du nombre de donateurs de la manière suivante : chaque année,

• $80$ % des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don ;
• $300$ nouveaux donateurs effectuent un don.

En $2025$, l'association comptait $1\,000$ donateurs. Pour tout entier naturel $n$, on modélise par $u_n$ le nombre de donateurs pour l'année $2025 + n$ ; on a donc $u_0 = 1\,000$.

Partie A

1. a. Déterminer le nombre de donateurs prévu en $2026$.

b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 300$.

2. On donne $u_5 \approx 1\,336$. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?

3. On considère la suite d'instructions Python ci-dessous.

u = 1000
i = 0
while u <= 1400:
    u = 0.8*u + 300
    i = i+1

À la fin de l'exécution de ce script, la variable i contient la valeur $8$. Comment peut-on l'interpréter dans le cadre de l'exercice ?

Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 1\,500$.

L'énoncé fournit l'aide au calcul suivante :

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. a. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1\,500 - 500 \times 0{,}8^{\,n}$.