Maths Première 2026 — Polynésie — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session de Polynésie, vendredi 12 juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 2 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Un article coûte 40 € et subit une augmentation de $30\,\%$. Combien coûte-t-il après cette augmentation ?

a) $40{,}3$ € b) $52$ € c) $12$ € d) $70$ €

Question 2. On considère l'équation $(-0{,}5x+3)(-5x-4)=0$. Les solutions de cette équation sont :

a) $\dfrac{0{,}5}{3}$ et $\dfrac54$ b) $\dfrac{0{,}5}{3}$ et $-0{,}8$ c) $6$ et $0{,}8$ d) $6$ et $-0{,}8$

Question 3. Un entraîneur choisit 8 joueurs dans une équipe. Cela représente $20\,\%$ de l'équipe. Combien y a-t-il de joueurs dans l'équipe ?

a) $16$ b) $20$ c) $40$ d) $32$

Question 4. On peut calculer l'énergie cinétique d'un objet en mouvement. Cette énergie est notée $E_C$ et elle est donnée par la formule $E_C=\dfrac12\,m\,v^2$, où $E_C$ s'exprime en joules, $m$ représente la masse de l'objet en kg et $v$ sa vitesse en m/s. L'expression permettant d'exprimer la vitesse $v$ en fonction de $E_C$ et de $m$ est :

a) $v=\dfrac{{E_C}^2}{2m}$ b) $v=\sqrt{\dfrac{2\,E_C}{m}}$ c) $v=\sqrt{\dfrac{E_C}{2\,m}}$ d) $v=\sqrt{2\,m\,E_C}$

Question 5. On a représenté, dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac1x$. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac1x\geqslant 2$ est :

a) $\left]0\,;\dfrac12\right]$ b) $\left]0\,;2\right]$ c) $\left[2\,;+\infty\right[$ d) $\left]-\infty\,;0\right[\cup\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$

Question 6. Le nombre $2^9\times5^7$ est égal à :

a) $10^{16}$ b) $4\times10^7$ c) $10^{63}$ d) $4\times10^{14}$

Question 7. Dans un repère orthonormé, on a tracé sur un quadrillage une droite $(d)$ qui passe par les points de coordonnées $(2\,;4)$ et $(7\,;1)$. Parmi les équations réduites de droites proposées, laquelle est celle de la droite $(d)$ ?

a) $y=-5{,}2x+8{,}6$ b) $y=0{,}6x+5{,}2$ c) $y=5{,}2x+8{,}6$ d) $y=-0{,}6x+5{,}2$

Question 8. Quelle est la forme factorisée de l'expression $16x^2-(x+1)^2$ ?

a) $(3x-1)^2$ b) $(3x-1)(5x+1)$ c) $(15x-1)^2$ d) $(15x-1)(17x+1)$

Exercice 1 (8 points)

Partie A

Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.

On sait que :

• un quart des clients participent aux randonnées ;
• parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi ;
• parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :

• $R$ l'évènement « le client participe à la randonnée » ;
• $N$ l'évènement « le client participe aux activités nautiques ».

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation : de la racine partent deux branches, vers $R$ et vers $\overline R$ ; de $R$ partent deux branches, vers $N$ et vers $\overline N$ ; de $\overline R$ partent de même deux branches, vers $N$ et vers $\overline N$. Les six probabilités portées par ces branches sont à déterminer.

2. Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de $\dfrac38$.

3. Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?

4. Les évènements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

En 2025, le club a accueilli 400 clients.

Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $(u_n)$ définie par :

où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l'année $2025+n$.

1. Donner la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison.

2. Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?

3. a. Recopier et compléter la fonction seuil, codée en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieure ou égale à $k$, où $k$ est un entier naturel non nul.

def seuil(k):
    u = 400
    n = 0
    while ......:
        n = ...
        u = ...
    return ...

3. b. Le tableau ci-dessous a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$.

Déterminer la valeur renvoyée par seuil(600), où seuil est la fonction codée en Python donnée en 3. a. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Aide aux calculs : $400\times1{,}5=600$.

Exercice 2 (6 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac12x-\dfrac12\right)e^{-x}$.

2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. L'affirmation « Pour tout réel $x$, $f(x)\leqslant2$ » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $(\mathcal{C}_f)$ au point d'abscisse 0.

Aide aux calculs : $e^{1}\approx2{,}7$ ; $e^{-1}\approx0{,}4$ ; $e^{2}\approx7{,}4$.

Partie B

Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie par $g(x)=0{,}5x^2+bx+c$, où $b$ et $c$ sont deux réels.

On construit une courbe constituée des deux éléments suivants :

• une partie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ représentative de la fonction $f$ définie dans la partie A, sur l'intervalle $[-2\,;0]$ ;
• une partie de la courbe $(\mathcal{C}_g)$ représentative de la fonction $g$, sur l'intervalle $[0\,;3]$.

Ces deux arcs se raccordent au point $\text{M}(0\,;1)$.

Le but de cette partie est de déterminer les valeurs des réels $b$ et $c$.

1. Le point $\text{M}(0\,;1)$ appartient aux deux courbes $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$. Démontrer que $c=1$.

2. Au point $\text{M}(0\,;1)$, les courbes $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$ admettent la même tangente. Déterminer la valeur de $b$.