Maths Première 2026 — Métropole — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole, vendredi 12 juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 3 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. La forme développée de l'expression $(3x-2)^2$ est :

a) $9x^2-4$ b) $3x^2-12x+4$ c) $9x^2-12x+4$ d) $6x-4$

Question 2. Dans un repère $(O\,;I\,;J)$, une droite $(\Delta)$ est tracée sur un quadrillage : elle passe par le point de coordonnées $(0\,;2)$ sur l'axe des ordonnées, et par le point de coordonnées $(2\,;0)$ sur l'axe des abscisses. La droite $(\Delta)$ a pour équation :

a) $y=2x+2$ b) $y=-2x+2$ c) $y=-x+2$ d) $y=x+2$

Question 3. Dans une classe de première, $75\,\%$ des élèves étudient le grec. Les autres élèves étudient le latin : ils sont 9. Le nombre d'élèves de cette classe de première est égal à :

a) $24$ b) $30$ c) $34$ d) $36$

Question 4. Le prix d'un article augmente de $15\,\%$. Cela signifie que le prix de l'article a été multiplié par :

a) $\dfrac{15}{100}$ b) $1{,}15$ c) $0{,}85$ d) $1{,}115$

Question 5. Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\dfrac{150\,000}{3\,200}$ est :

a) $5$ b) $50$ c) $500$ d) $5\,000$

Question 6. Une vidéo, d'une durée de 1 minute et 40 secondes, contient 2 400 images. Le nombre d'images par seconde est égal à :

a) 60 images/seconde b) 24 images/seconde c) 120 images/seconde d) 15 images/seconde

Question 7. On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=0{,}5(x-3)^2+10$. On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère. Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe $\mathcal C$. Lequel ?

a) $A\,(-3\,;10)$ b) $B\,(3\,;10{,}5)$ c) $C\,(3\,;10)$ d) $D\,(0\,;19{,}5)$

Question 8. On considère le nombre $A=\dfrac{10^{201}\times10^{-4}}{(10^2)^{100}}$. On peut affirmer que :

a) $A=-0{,}001$ b) $A=0{,}0001$ c) $A=0{,}001$ d) $A=1\,000$

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles (5 points)

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance.

On dispose des informations suivantes :

• $60\,\%$ des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
• Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, $25\,\%$ ont pris une assurance.
• $20\,\%$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance.

On choisit un client au hasard et on note les événements : $T$ « le client a loué une bicyclette traditionnelle », $A$ « le client a pris une assurance ».

1. On modélise la situation par un arbre pondéré à deux niveaux : à la racine, deux branches menant aux événements $T$ et $\overline T$ ; puis, à partir de chacun des nœuds $T$ et $\overline T$, deux branches menant aux événements $A$ et $\overline A$. Sur la figure source, seules quatre probabilités sont indiquées par des pointillés à compléter : celles des branches $T$ et $\overline T$ depuis la racine, et celles des branches $A$ et $\overline A$ depuis le nœud $T$ (les deux branches issues du nœud $\overline T$ ne portent, elles, aucune indication, même en pointillés). Reproduire (ou décrire) cet arbre en indiquant la valeur de ces quatre probabilités, à partir des données ci-dessus.
2. Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'événement $A$.
3. Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$.
4. En déduire que la probabilité $P\big(\overline T\cap A\big)$ est égale à $0{,}05$.
5. Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Exercice 2 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.

1. On considère un réel $u$, et sur $\mathbb R$ l'équation $(E)\ :\ x^2+x-u^2=0$.

   Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel $u$, l'équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.

2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^{-n}$.

   Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$.

3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^x-1$. On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère, et $\mathcal T$ la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$. On note $A$ le point de coordonnées $(3\,;3)$.

   Affirmation : Le point $A$ appartient à la tangente $\mathcal T$.

Exercice 3 — Produit scalaire et trigonométrie (4 points)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $P\,(4\,;0)$ et $K\,(1\,;0)$. On considère le réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x\,;3)$ — un point mobile, situé sur la droite horizontale d'équation $y=3$, dont l'abscisse $x$ varie ; la figure source en représente une position particulière, aux alentours de $x\approx2{,}3$, à titre d'illustration.

1. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.
2. Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.
3. Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM}$ est égal à $3x-3$.
4. Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac\pi3$, alors le réel $x$ est solution de l'équation $(E)\ :\ \sqrt{(x-1)^2+9}=2x-2$.
5. Vérifier que le réel $1+\sqrt3$ est solution de l'équation $(E)$.