Maths Première 2026 — Centres étrangers — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session de Centres étrangers, lundi 8 juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 3 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Soient $A$ et $B$ deux événements. On donne l'arbre de probabilités suivant : à la racine, deux branches menant aux nœuds $A$ (probabilité $0{,}4$) et $\overline A$ (probabilité $0{,}6$) ; depuis le nœud $A$, deux branches menant à $B$ (probabilité $0{,}2$) et $\overline B$ (probabilité $0{,}8$) ; depuis le nœud $\overline A$, deux branches menant à $B$ (probabilité $0{,}7$) et $\overline B$ (probabilité $0{,}3$). On peut alors affirmer que $P\big(\overline A\cap B\big)$ est égale à :

a) $1{,}3$ b) $0{,}42$ c) $0{,}7$ d) $0{,}18$

Question 2. Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente $\dfrac35$ de l'ensemble des élèves de première générale. Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est :

a) $90$ b) $200$ c) $250$ d) $300$

Question 3. On considère les nombres $A=\dfrac13$ et $B=\dfrac56$. Le nombre $\dfrac AB+1$ est égal à :

a) $\dfrac75$ b) $\dfrac35$ c) $\dfrac{23}{18}$ d) $\dfrac73$

Question 4. Dans un repère orthonormé $(O\,;I\,;J)$, la droite $d$ d'équation réduite $y=\dfrac13x+1$ est représentée, sur un quadrillage, par l'une des quatre droites suivantes (chacune tracée sur son propre repère) :

a) la droite passant par les points de coordonnées $(0\,;3)$ et $(1\,;4)$ ; b) la droite passant par les points de coordonnées $(0\,;1)$ et $(1\,;4)$ ; c) la droite passant par les points de coordonnées $(0\,;1)$ et $(3\,;2)$ ; d) la droite passant par les points de coordonnées $(0\,;1)$ et $(1\,;3)$.

Laquelle de ces quatre droites représente $d$ ?

Question 5. La forme développée de $\big(x^3-1\big)^2$ est :

a) $x^6-1$ b) $x^6-2x^3+1$ c) $x^5-2x^3+1$ d) $x^6+2x^3-1$

Question 6. L'évolution globale correspondant à une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $50\,\%$, est une baisse de :

a) $10\,\%$ b) $30\,\%$ c) $40\,\%$ d) $60\,\%$

Question 7. Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant 25 élèves :

On interroge un élève de cette classe au hasard. La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans est :

a) $\dfrac37$ b) $\dfrac6{25}$ c) $6$ d) $\dfrac35$

Question 8. Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $x=\dfrac5{2+y}$. On peut affirmer que :

a) $y=\dfrac{10}{2x-5}$ b) $y=\dfrac5{2+x}$ c) $y=5-2x$ d) $y=\dfrac5x-2$

Exercice 1 (5 points)

Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d'ombrage et de résistance à la sécheresse.

Partie A

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre. On suppose que, chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0=1$.

1. a) Calculer $u_1$. b) Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
2. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
4. Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?

Partie B

Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double.

Le schéma source illustre cette croissance : au moment de la plantation, un tronc surmonté de 2 branches ; un an après, chacune de ces 2 branches a donné naissance à 2 nouvelles branches (soit 4 nouvelles branches au total) ; deux ans après, chacune de ces 4 nouvelles branches a de nouveau donné naissance à 2 nouvelles branches (soit 8 nouvelles branches au total). Le schéma ne fait qu'illustrer les valeurs déjà données dans l'énoncé.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0=2$.

1. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Justifier.
2. a) Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30. b) On donne le programme ci-dessous, écrit en langage Python (rappel : for i in range(n) permet de répéter $n$ fois un ensemble d'instructions) :

v = 2
total = 2
for i in range(10):
    v = 2 * v
    total = total + v
print(total)

La valeur affichée par ce programme est $4\,094$. Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ?

Exercice 2 (3 points)

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A\,(-1\,;5)$, $B\,(3\,;5)$ et $C\,(4\,;0)$.

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. b) En déduire la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
2. a) Montrer que $\mathrm{AC}=5\sqrt2$. On admet que $\mathrm{AB}=4$. b) Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ en fonction de l'angle $\widehat{BAC}$. c) En déduire une mesure, en radian, de l'angle $\widehat{BAC}$. On rappelle que $\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$.

Exercice 3 (6 points)

Soit $f$ une fonction définie sur $]0\,;+\infty[$. On donne, dans un repère, la courbe représentative $\mathcal C_f$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $T_A$, tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$ de coordonnées $(1\,;20)$. Sur le graphique, la courbe $\mathcal C_f$ décroît d'abord rapidement, atteint un minimum aux alentours de $x\approx1{,}5$, puis croît de nouveau pour les grandes valeurs de $x$. La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3\,;10)$.

1. a) Donner $f(1)$. b) Déterminer la valeur de $f'(1)$. c) Justifier que l'équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal C_f$ au point $A$ est $y=-5x+25$.

Pour la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par

On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

2. a) Démontrer que, pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$, on a $f'(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$. b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$. c) En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. Existe-t-il une tangente à $\mathcal C_f$ parallèle à la droite d'équation $y=3x+5$ ? Justifier votre réponse.