Maths Première 2026 — Asie — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Asie, lundi 15 juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 2 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[-5\,;4]$, dont la courbe représentative est une courbe unique, sans partie verticale, qui passe, dans cet ordre, par les points de coordonnées $(-5\,;-2)$, $(-4\,;2)$, $(-2\,;5)$, $(0\,;3)$, $(1\,;1)$, $(2\,;-3)$, $(3\,;-4)$ et $(4\,;2)$, avec un unique maximum local (entre les abscisses $-4$ et $-2$) et un unique minimum local (entre les abscisses $2$ et $3$), et aucune autre variation entre ces points. Sur $[-5\,;4]$, l'équation $f(x)=-1$ admet :

a) zéro solution b) une seule solution c) deux solutions d) trois solutions

Question 2. Multiplier un nombre par $0{,}6$ revient à le diminuer de :

a) $4\,\%$ b) $6\,\%$ c) $40\,\%$ d) $60\,\%$

Question 3. On donne, dans un repère, une droite tracée sur un quadrillage ; elle passe par les points de coordonnées $(0\,;2)$ et $(6\,;0)$. L'équation réduite de cette droite est :

a) $y=-2x+6$ b) $y=6x+2$ c) $y=-\dfrac13x+2$ d) $y=-3x+2$

Question 4. Un club de sport possède 200 adhérents répartis comme l'indique le tableau ci-dessous :

On choisit au hasard un adhérent du club. On note $E$ l'événement « la personne choisie est un enfant » et $V$ l'événement « la personne choisie pratique le volley-ball ». On note $P_E(V)$ la probabilité que la personne choisie pratique le volley-ball sachant que c'est un enfant. La probabilité $P_E(V)$ est égale à :

a) $\dfrac8{13}$ b) $\dfrac8{11}$ c) $\dfrac8{20}$ d) $\dfrac{11}{13}$

Question 5. Soient $A$ et $B$ deux événements. On donne l'arbre de probabilités suivant : à la racine, deux branches menant aux nœuds $A$ (probabilité $0{,}4$) et $\overline A$ (probabilité $0{,}6$) ; depuis le nœud $A$, deux branches menant à $B$ (probabilité $0{,}3$) et $\overline B$ (probabilité $0{,}7$) ; depuis le nœud $\overline A$, deux branches menant à $B$ (probabilité $0{,}1$) et $\overline B$ (probabilité $0{,}9$). En s'appuyant sur cet arbre, calculer $P(B)$. On trouve :

a) $0{,}4$ b) $0{,}18$ c) $0{,}72$ d) $0{,}03$

Question 6. On a représenté, dans un même repère, une fonction affine $f$ et une fonction polynôme du second degré $g$, toutes deux définies sur $\mathbb R$. La droite représentant $f$ passe par les points de coordonnées $(0\,;0{,}5)$ et $(1\,;-0{,}5)$. La courbe représentant $g$ admet pour sommet le point de coordonnées $(1\,;-2)$ et coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-1\,;0)$ et $(3\,;0)$. L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation $f(x)\lt g(x)$ est :

a) $S=\,]-2\,;2[$ b) $S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ c) $S=\,]-1\,;0{,}5[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ d) $S=\,]-1\,;3[$

Question 7. Pour $y$ réel non nul, on définit $x$ par $x=3+\dfrac5y$. On peut affirmer que :

a) $y=\dfrac x8$ b) $y=\dfrac{x-3}5$ c) $y=\dfrac8x$ d) $y=\dfrac5{x-3}$

Question 8. On considère la série statistique suivante :

On note $\mathit{Me}$ sa médiane et $\overline x$ sa moyenne. On peut affirmer que :

a) $\mathit{Me}=\overline x$ b) $\mathit{Me}\gt\overline x$ c) $\mathit{Me}\lt\overline x$ d) $\mathit{Me}\gt30$

Exercice 1 (7 points)

Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000. En 2020, le niveau du lac était d'environ $1\,100$ mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de $1\,020$ mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.

Partie A — Étude d'un modèle discret

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de $1\,\%$ tous les ans. On définit la suite $(u_n)$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c'est-à-dire en $2020+n$. On a alors $u_0=1\,100$.

Aide aux calculs : $1\,100\times0{,}99=1\,089$ ; $1\,100\times0{,}01=11$.

1. Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.
2. a) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. b) En déduire la nature de la suite $(u_n)$. On précisera sa raison. c) Pour tout entier naturel $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028. On ne demande pas d'effectuer ce calcul.
4. Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique :

u = 1100
n = 0
while ... :
    n = n + 1
    u = ...
print(n)

Partie B — Étude d'un modèle continu

Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$ par

où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années depuis 2020. On donne, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de $f$ : elle est strictement décroissante, part d'une valeur voisine de $1\,100$ mètres en $t=0$ et se rapproche progressivement de $50$ mètres lorsque $t$ augmente ; l'axe des abscisses est gradué en années de $0$ à $9$ (pas de $1$), l'axe des ordonnées en mètres de $1\,000$ à $1\,110$ (pas de $10$).

1. Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? Justifier votre réponse.
2. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\,;+\infty[$, $f'(t) = -10{,}5\,e^{-0{,}01t}$.
3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$. Justifier.
4. Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

Exercice 2 (7 points)

On se place dans un repère orthonormé $(O\,;I\,;J)$ pour l'ensemble de l'exercice.

Partie A — Étude d'un cercle

Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.

On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $A\,(3\,;1)$ et de rayon $r=\dfrac{\sqrt{37}}2$. La figure (non reproduite ici) montre ce cercle tracé dans le repère, avec un point $B$ marqué sur le cercle.

Aide aux calculs : $9{,}25=\dfrac{37}4$ ; $0{,}5^2=0{,}25$.

1. Justifier que le cercle $\mathcal C$ admet pour équation $(x-3)^2+(y-1)^2=\dfrac{37}4$.
2. Démontrer que le point $B\,(6\,;0{,}5)$ appartient au cercle $\mathcal C$.

Pour la suite de l'exercice, on considère la courbe $\mathcal H$ d'équation $y=\dfrac3x$ pour $x$ strictement positif, ainsi que les points $A\,(3\,;1)$, $B\,(6\,;0{,}5)$ et $D\,(4\,;2)$ (la figure, non reproduite ici, montre la courbe $\mathcal H$ tracée dans le repère avec ces trois points placés). On considère un point $M$ mobile sur la courbe $\mathcal H$, d'abscisse $x\gt0$. L'objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{\mathrm{DAM}}$ soit droit.

Partie B — Étude d'un cas particulier

1. Justifier que le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal H$.
2. a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$. b) En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}$. c) L'angle $\widehat{\mathrm{DAB}}$ est-il droit ? Justifier.

Partie C — Étude du cas général

1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $x^2-4x+3=0$.
2. On rappelle que $M$ est un point de la courbe $\mathcal H$ d'abscisse $x\gt0$. Démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{\mathrm{DAM}}$ soit droit.