Maths Première 2026 — Antilles-Guyane — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Antilles-Guyane, vendredi 12 juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (8 questions, 6 points) et une partie composée de 3 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Une forme factorisée de l'expression $9x^2-\dfrac19$ est :

a) $\left(3x-\dfrac13\right)^2$ b) $\left(3x-\dfrac13\right)\left(3x+\dfrac13\right)$ c) $\left(9x-\dfrac13\right)^2$ d) $\left(9x-\dfrac13\right)\left(9x+\dfrac13\right)$

Question 2. On considère la relation $E=\dfrac{x-y}{zt}$. Lorsque $x=3$, $y=-2$, $z=-3$ et $t=-4$, on a :

a) $E=\dfrac1{12}$ b) $E=-\dfrac5{12}$ c) $E=\dfrac5{12}$ d) $E=-\dfrac1{12}$

Question 3. On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5\,;9]$. Sa courbe représentative est tracée dans un repère orthogonal : elle passe par les points de coordonnées $(-5\,;3)$, $(-3\,;0)$, $(-1\,;-2)$, $(2\,;0)$, $(4\,;2)$, $(6\,;0)$ et $(9\,;-2)$, et varie continûment entre ces points — en particulier, elle décroît régulièrement de $(-5\,;3)$ jusqu'à $(-1\,;-2)$. On note $A=\dfrac{f(-4)}{f(-1)}$. Laquelle de ces propositions est vraie ?

a) $A=0$ b) $A<0$ c) $A>0$ d) On ne peut pas connaître le signe de $A$.

Question 4. On considère l'inéquation $(I)$ d'inconnue réelle $x$ :

On note $S$ l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I)$. On peut affirmer que :

a) $S=\left]-\infty\,;1\right]$ b) $S=\left[1\,;+\infty\right[$ c) $S=\left[-1\,;+\infty\right[$ d) $S=\left]-\infty\,;-1\right]$

Question 5. On considère ci-dessous le tableau de signes d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ :

Une expression possible de $f(x)$ est :

a) $f(x)=(x+3)(2-x)$ b) $f(x)=(x+2)(x-3)$ c) $f(x)=(x-2)(x+3)$ d) $f(x)=(x+2)(3+x)$

Question 6. Le prix d'un article baisse de $50\,\%$ puis augmente de $40\,\%$. Ces deux variations successives sont équivalentes à :

a) une baisse de $0\,\%$ b) une baisse de $70\,\%$ c) une baisse de $10\,\%$ d) une baisse de $30\,\%$

Question 7. On s'intéresse aux adhérents d'une association. On sait que $40\,\%$ d'entre eux sont des hommes et qu'il y a 30 femmes. Le nombre total d'adhérents de cette association est égal à :

a) $70$ b) $40$ c) $75$ d) $50$

Question 8. On considère un réel $a$ quelconque, différent de $0$. Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?

a) $\dfrac{a^8}{a^{-5}}=a^3$ b) $\dfrac{a^{30}}{a^2}=a^{15}$ c) $\left(a^{10}\right)^3=a^{13}$ d) $\dfrac{a\times a^5}{a^2}=a^4$

Exercice 1 (5 points)

On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10 000 euros. On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année $2025+n$. On a donc $u_0=10\,000$.

1. a) Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026. b) Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$.
2. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
3. a) Pour tout entier naturel $n$, exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$. b) En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030. On pourra s'aider de l'aide au calcul ci-dessous.

4. On considère le programme Python ci-dessous. Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n<A$, où $A$ est un nombre réel strictement positif.

def seuil(A):
    N = 0
    U = 10000
    while ......... :
        U = .......
        N = N + 1
    return N

5. L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$, donne les résultats suivants :

>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16

a) Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel seuil(5000). b) Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Exercice 2 (5 points)

On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.

On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins, et par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d'établir les résultats suivants :

• $60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ;
• parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ;
• parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes.

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

• $A$ : « le spectateur est abonné » ;
• $J$ : « le spectateur est jeune ».

1. Reproduire et compléter l'arbre pondéré décrivant la situation : depuis la racine partent deux branches, menant respectivement à $A$ et à $\overline A$ ; de chacun de ces deux nœuds partent à leur tour deux branches, menant à $J$ et à $\overline J$. Toutes les probabilités portées par ces branches sont à déterminer.

2. Calculer la probabilité $P(A\cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Démontrer que $P(J)=0{,}32$.

4. On considère l'affirmation suivante : « Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

5. Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :

   • un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge ;
   • un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place 2 euros ;
   • un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.

   On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, associe le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.

   a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. b) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Les deux questions sont indépendantes.

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A\,(2\,;0)$, $B\,(3\,;2)$ et $C\,(0\,;4)$.

   Affirmation : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(3x-1)e^x$. On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$.

   a) Affirmation : la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb R$. b) Affirmation : la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=2x-1$.