Maths Première 2026 — Amérique du Nord — Épreuve anticipée

Sujet officiel de l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat général, voie générale, pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord, 1er juin 2026. Durée 2 heures, calculatrice non autorisée. L'épreuve comporte deux parties : une partie « automatismes » sous forme de QCM (9 questions, 6 points) et une partie composée de 3 exercices indépendants (14 points), soit 20 points au total.

Partie 1 — Automatismes : QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Le nombre $\dfrac12+\dfrac32\times4$ est égal à :

a) $8$ b) $\dfrac{13}{2}$ c) $4$ d) $\dfrac{16}{8}$

Question 2. Le volume de la partie visible d'un iceberg est d'environ $10\,\%$ de son volume total. Si la partie visible d'un iceberg est de $150$ km³, quel sera le volume total de cet iceberg ?

a) $1350$ km³ b) $1500$ km³ c) $15$ km³ d) $135$ km³

Question 3. Le prix d'un article est multiplié par $0{,}845$. Cela signifie que le prix de cet article a :

a) augmenté de $84{,}5\,\%$ b) baissé de $1{,}55\,\%$ c) augmenté de $15{,}5\,\%$ d) baissé de $15{,}5\,\%$

Question 4. On considère la fonction $A$ définie pour tout réel $x$ par $A(x)=(x+5)(x+8)$. Le tableau de signes de $A(x)$ sur $\mathbb R$ est :

a)

b)

c)

d)

Question 5. Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l'alphabet. On note les événements $V$ « le singe choisit une voyelle » et $M$ « le singe choisit une des lettres du mot SINGE ». Rappel : l'alphabet est constitué de 26 lettres, dont les voyelles sont A, E, I, O, U, Y. On note $P_M(V)$ la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que $P_M(V)$ vaut :

a) $\dfrac{6}{26}$ b) $\dfrac25$ c) $\dfrac26$ d) $\dfrac56$

Question 6. Soit $f$ une fonction affine, dont la représentation graphique dans un repère est une droite passant par les points de coordonnées $(3\,;0)$ et $(0\,;30)$. Une expression algébrique de $f$ est :

a) $f(x) = -x + 30$ b) $f(x) = 30x + 3$ c) $f(x) = -10x + 30$ d) $f(x) = -\dfrac1{10}x + 30$

Question 7. La forme développée et réduite de l'expression $(x+2)^2-(1-x)^2$ vaut :

a) $2x^2+3$ b) $6x+3$ c) $2x+5$ d) $2x^2+2x+3$

Question 8. L'équation $2(x-4)-(2x+1)=0$ admet :

a) deux solutions : $4$ et $\dfrac12$ b) deux solutions : $4$ et $-\dfrac12$ c) aucune solution d) une infinité de solutions

Question 9. On considère le nombre réel $\text E=\dfrac{2\times3^2}{27\times2^3}$. On peut affirmer que $\text E$ est égal à :

a) $\dfrac19$ b) $\dfrac1{12}$ c) $12$ d) $\dfrac16$

Exercice 1 — Probabilités (6 points)

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.

Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer, le joueur doit d'abord payer 1 €. Ensuite :

• le joueur tire une première boule, dont le forain note la couleur, puis la remet dans l'urne ;
• le joueur tire une deuxième boule, dont le forain note à nouveau la couleur, puis la remet dans l'urne.

Voici les récompenses qu'il obtient :

• s'il a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 € ;
• s'il a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 € ;
• sinon, il ne reçoit pas d'argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes. On note les événements $R_1$ « la première boule tirée est rouge » et $R_2$ « la deuxième boule tirée est rouge ».

1. On modélise la situation par un arbre pondéré à deux niveaux : à la racine, deux branches menant aux événements $R_1$ et $\overline{R_1}$ ; puis, à partir de chacun des nœuds $R_1$ et $\overline{R_1}$, deux branches menant aux événements $R_2$ et $\overline{R_2}$. Sur la figure source, les six probabilités de cet arbre sont toutes remplacées par des pointillés à compléter. Reproduire (ou décrire) cet arbre en indiquant la valeur de ces six probabilités.

2. On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 €. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. b. Montrer que $P(X=-1) = \dfrac{18}{100}$. c. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :

   $k$
   $P(X=k)$

   d. Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.

Partie B

Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10-n$ boules vertes, où $n$ est un nombre entier naturel avec $0 \leqslant n \leqslant 10$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

1. Démontrer que $E(Y) = \dfrac{4n^2-20n}{100}$. On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
2. Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

Exercice 2 — Suites et fonctions (4 points)

Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison. Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Lors d'une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l'heure par une fonction $f$, définie sur $[0\,;24]$. Sa courbe représentative $\mathcal C_f$ a l'allure d'une courbe en cloche, symétrique : elle est très proche de $0$ aux deux extrémités de l'intervalle (à $0$ h comme à $24$ h), et atteint son maximum, environ $8$ kW, vers $13$ h. L'axe horizontal représente l'horaire de la journée (de $0$ à $24$ h), l'axe vertical la puissance électrique (en kW).

Avec la précision permise par le graphique :

1. Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11 h 00.
2. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant 5$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie B

Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 € en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de $6\,\%$ chaque année.

On note $c_n$ le coût en euros pour 1 kWh consommé durant l'année $2020+n$, avec $n$ un entier naturel. On a alors $c_0=0{,}15$.

1. Déterminer la nature de la suite $(c_n)$. On précisera sa raison.

2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.

3. Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030. Il n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.

4. On admet que, chaque année depuis 2020, l'utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d'éviter l'achat de 2000 kWh par an. L'installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000 €. On considère le programme Python suivant :

   n = 0
   c = 0.15
   S = 0
   while S < 7000:
       S = S + c*2000
       n = n + 1
       c = 1.06 * c
   print(n)

   a. Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables c et S du programme ? b. On exécute le programme ci-dessus : il affiche 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Exercice 3 — Dérivation et fonction exponentielle (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = (4x-4)e^{-0{,}5x}+5$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb R$, $f'(x) = (-2x+6)e^{-0{,}5x}$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb R$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
3. La courbe $\mathcal C_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.