Bac Maths 2025 — Polynésie septembre — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement de Polynésie (sujet 1), 2 septembre 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total. Sauf mention contraire, toute réponse doit être justifiée.

Exercice 1 — Conduite accompagnée et réussite au permis (5 points)

En France, il existe deux formules pour obtenir le permis de conduire :

• suivre, à partir de $15$ ans, une formation de conduite accompagnée pendant $2$ ans ;
• suivre la formation classique, sans conduite accompagnée, à partir de $17$ ans.

Actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de conduire, $16$ % choisissent la conduite accompagnée ; parmi eux, $74{,}7$ % réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative. Avec la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative n'est que de $56{,}8$ %.

On choisit au hasard un jeune Français qui a déjà passé l'examen de conduite, et on considère les évènements :

• $A$ : « le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée » ;
• $R$ : « le jeune a obtenu le permis dès sa première tentative ».

On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près, si nécessaire.

Partie A

1. Dresser un arbre de probabilités modélisant cette situation.

2. a. Démontrer que $P(R) = 0{,}59664$.

Dans la suite, on gardera la valeur $0{,}597$, arrondie à $10^{-3}$ près.

b. Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

3. On choisit un jeune ayant obtenu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?

4. Quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée pour que le taux de réussite global dès la première tentative — quelle que soit la formation choisie — dépasse $70$ % ?

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite $10$ candidats ayant suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le passage des examens par des épreuves aléatoires indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces $10$ candidats qui obtiendront leur permis dès la première tentative.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}747$.

2. Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.

3. Déterminer $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{V}(X)$.

4. L'auto-école présente aussi pour la première fois $40$ candidats n'ayant pas suivi la conduite accompagnée. On note de même $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces candidats qui obtiendront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de $X$, que $\mathrm{E}(Y) = 22{,}53$ et que $\mathrm{V}(Y) = 9{,}81$.

On note $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats, parmi les $50$, qui obtiendront le permis dès la première tentative dans cette auto-école.

a. Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $\mathrm{E}(Z)$ et $\mathrm{V}(Z)$.

b. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'au plus $20$, ou au moins $40$, candidats obtiennent leur permis dès la première tentative est inférieure à $0{,}12$.

Exercice 2 — Deux modèles d'évolution d'une population (5 points)

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle. Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années :

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve choisit de modéliser le nombre d'individus par une fonction définie sur $[0\,;+\infty[$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis l'an $2000$. Dans son modèle, l'image de $0$ vaut $50$, ce qui correspond à l'effectif de l'an $2000$.

Partie A : modèle 1

Dans cette partie, la direction fait l'hypothèse que la fonction cherchée vérifie l'équation différentielle

1. Résoudre l'équation différentielle $(\mathrm{E}_1)$ avec la condition initiale $y(0) = 50$.

2. Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

Partie B : modèle 2

Dans cette partie, la direction fait l'hypothèse que la fonction cherchée vérifie l'équation différentielle

On note $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.

1. Démontrer que $f(0) = 50$ et que, pour tout réel $x$,

On admet que $f$ est l'unique solution de $(\mathrm{E}_2)$ prenant la valeur $50$ en $0$.

2. Avec ce nouveau modèle, estimer l'effectif de cette population en $2050$. Arrondir le résultat à l'unité.

3. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? Interpréter cette limite dans le contexte du problème.

4. Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.

5. Démontrer le résultat obtenu à la ligne 4 du logiciel.

6. On admet que la vitesse de croissance de la population, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $[0\,;+\infty[$, et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

b. La direction de la réserve affirme : « Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer. » A-t-elle raison ? Justifier.

Exercice 3 — Une suite explorée en Python (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$,

On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : exploitation de programmes Python

1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que suite(k), qui prend en paramètre un entier naturel k, renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_n)$.

On précise que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(......):
        L.append(u)
        u = ............
    return(......)

2. On a exécuté suite(9) ; voici ce qui a été affiché. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_n)$, l'autre sur son éventuelle convergence.

>>> suite(9)
[5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]

3. On a ensuite créé la fonction mystere(n) ci-dessous, et l'exécution de mystere(10000) a renvoyé 1. Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? Justifier.

def mystere(n):
    L = suite(n)
    c = 1
    for i in range(n - 1):
        if L[i] > L[i + 1]:
            c = 0
    return c

>>> mystere(10000)
1

Partie B : étude de la convergence de la suite $(u_n)$

On considère la fonction $g$ définie sur $[2\,;+\infty[$ par

On admet que $g$ est dérivable sur $[2\,;+\infty[$, et on note $g'$ sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2\,;+\infty[$.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Partie C : étude de la valeur de la limite

On considère la fonction $f$ définie sur $[2\,;+\infty[$ par

On admet que $f$ est dérivable sur $[2\,;+\infty[$. On donne son tableau de variations, sans qu'aucune justification ne soit demandée :

1. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $[2\,;+\infty[$, que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha \lt \beta$.

b. Donner la valeur exacte de $\alpha$, et une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près.

2. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $f(\ell) = 0$, et déterminer $\ell$.

Exercice 4 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x\ln(x)$.

Affirmation 1 :

2. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k \leqslant n$.

Affirmation 2 :

3. Pour les trois affirmations suivantes, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère :

• la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2t + 1 \\ z = -t \end{cases}$, $\ t \in \mathbb{R}$ ;
• la droite $d'$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2t' - 1 \\ y = -t' + 2 \\ z = t' + 1 \end{cases}$, $\ t' \in \mathbb{R}$ ;
• le plan $P$ d'équation cartésienne $2x + y - 2z + 18 = 0$ ;
• les points $\mathrm{A}(-1\,;-3\,;2)$ et $\mathrm{B}(-5\,;-5\,;6)$.

On appelle plan médiateur du segment $[\mathrm{AB}]$ le plan passant par le milieu de $[\mathrm{AB}]$ et orthogonal à la droite $(\mathrm{AB})$.

Affirmation 3 : le point $\mathrm{A}$ appartient à la droite $d$.

Affirmation 4 : les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.

Affirmation 5 : le plan $P$ est le plan médiateur du segment $[\mathrm{AB}]$.