Bac Maths 2026 — Polynésie — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Polynésie (sujet 2, jour 2), 17 juin 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Filles, garçons et études d'ingénieur (5 points)

Cet exercice porte sur la part des filles et des garçons qui s'orientent vers des études scientifiques après avoir suivi la spécialité mathématiques en terminale.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A

Dans une académie donnée, on considère la population des élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques, et l'on s'intéresse à leur orientation vers des études supérieures d'ingénierie. Les répartitions sont les suivantes :

• $40$ % sont des filles, $60$ % sont des garçons ;
• parmi les filles, $33{,}75$ % envisagent des études d'ingénieur ;
• parmi les garçons, $54{,}25$ % envisagent des études d'ingénieur.

On interroge au hasard, de façon équiprobable, un élève de terminale de cette académie ayant choisi la spécialité mathématiques, et l'on considère les évènements :

• $F$ : « l'élève est une fille » ;
• $I$ : « l'élève envisage des études d'ingénieur ».

Pour un évènement $E$ quelconque, $\overline{E}$ désigne son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit une fille envisageant des études d'ingénieur.

3. Démontrer que la probabilité que l'élève interrogé envisage des études d'ingénieur vaut $0{,}4605$.

4. L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ? Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

Partie B

Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel non nul.

On interroge au hasard, de façon équiprobable, $n$ filles de terminale de cette académie, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. Leur nombre est assez grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant, parmi ces $n$ lycéennes, le nombre de celles qui envisagent de devenir ingénieure. On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure vaut $0{,}15$.

1. a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale.

b. Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $n$.

2. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes à interroger pour que la probabilité de l'évènement « au moins une des filles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

3. Dans cette question, l'échantillon comporte $n = 29$ filles. Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

Partie C

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables, numérotées de $1$ à $10$.

On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $15\,00\!0/10 = 1\,500$ lycéennes de l'académie numéro $1$, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure ; on définit de même $X_2$, …, $X_{10}$ pour les académies $2$ à $10$.

On admet que ces dix variables aléatoires sont indépendantes, qu'elles ont toutes pour espérance $225$ et toutes pour variance $191{,}25$.

On pose $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}$.

1. Que représente la variable aléatoire $S$ pour les $15\,000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?

2. Calculer l'espérance et la variance de $S$.

3. On considère l'ensemble des $15\,000$ lycéennes formé par les échantillons des dix académies. Indiquer, en argumentant, si l'affirmation suivante est vraie, fausse, ou si l'on ne peut pas conclure : « la probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2\,000$ et $2\,500$ est supérieure à $0{,}95$ ».

Exercice 2 — Une suite et son point fixe (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de $[4\,;10]$, par

On admet que $f$ est dérivable sur $[4\,;10]$ et on note $f'$ sa dérivée.

1. Montrer que, pour tout $x$ de $[4\,;10]$,

2. a. En déduire que $f$ est croissante sur $[4\,;10]$.

b. Montrer que, pour tout $x$ de $[4\,;10]$, $4 \leqslant f(x) \leqslant 10$.

3. On définit la fonction $g$ sur $[4\,;10]$ par $g(x) = f(x) - x$. On admet que $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

a. Montrer que, sur $[4\,;10]$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-3}$.

Partie B

On admet que l'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée en partie A.

1. Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.

2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers le nombre $\alpha$ défini en partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \leqslant \alpha \leqslant 8{,}5$.

On a écrit en Python la fonction alpha ci-dessous. On précise que l'instruction log y correspond à la fonction $\ln$.

def f(x) :
    return log(8*x**3 - 1)
 
def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

1. On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur $11$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Un utilisateur exécute alpha(8.6). Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.

Exercice 3 — Plans perpendiculaires et projeté orthogonal (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère les points

1. a. Démontrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(6\,;-2\,;13)$ est normal au plan $(\mathrm{ABC})$.

c. En déduire que le plan $(\mathrm{ABC})$ admet pour équation cartésienne

2. On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$. On admet que deux plans sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

Démontrer que les plans $(\mathrm{ABC})$ et $(P)$ sont perpendiculaires.

3. Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique

Démontrer que la droite $(d)$ coupe le plan $(\mathrm{ABC})$ en un unique point, que l'on notera $\mathrm{E}$, et que ce point a pour coordonnées $\mathrm{E}(-3\,;-5\,;1)$.

4. Soit $\mathrm{H}(-2\,;1\,;0)$.

a. Montrer que $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{A}$ sur $(d)$.

b. En déduire la distance du point $\mathrm{A}$ à la droite $(d)$.

c. Montrer que le triangle $\mathrm{AHE}$ est rectangle et que son aire vaut $\sqrt{19}$ unités d'aire.

Exercice 4 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$.

Affirmation 1 : $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$.

2. Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces, numérotés de $1$ à $24$, et travaille avec trois vétérinaires. Pour administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$, comptant chacun $8$ rapaces.

Affirmation 2 : le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est

3. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle $y' = -y + 1$ sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 3 : la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - 1$ vérifie $g' = -g$.

4. La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par

Affirmation 4 : la suite $(u_n)$ n'admet pas de limite.

5. L'énoncé représente, dans un même repère, la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$. Ces deux courbes se coupent en deux points, et le domaine grisé sur la figure est la portion de plan comprise entre la parabole et la droite, délimitée par ces deux points d'intersection. Sur toute cette portion, la parabole est au-dessus de la droite.

Affirmation 5 : l'aire du domaine grisé est égale à $6{,}5$ unités d'aire.