Bac Maths 2026 — Polynésie — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Polynésie (sujet 1, jour 1), 16 juin 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — L'école de surf (5 points)

Une école de surf utilise des planches en mousse pour ses cours destinés aux débutants, et des planches en résine pour ses cours de perfectionnement. Les planches en mousse constituent $80$ % du stock de l'école.

La gérante constate qu'à l'issue de chaque saison :

• $75$ % des planches en mousse sont en bon état et pourront resservir la saison suivante ; les autres partent au recyclage et ne sont donc pas réutilisables ;
• $60$ % des planches en résine sont en bon état ; les autres sont soit consolidées, soit recyclées.

Au terme d'une saison, on prélève une planche au hasard et on considère les évènements suivants :

• $M$ : « la planche est en mousse » ;
• $B$ : « la planche est en bon état » ;
• $R$ : « la planche sera recyclée » ;
• $C$ : « la planche sera consolidée ».

Partie A

1. L'énoncé propose un arbre pondéré à recopier et à compléter au fil de l'exercice. Sa racine se sépare en deux branches menant à $M$ et à $\overline{M}$. Le nœud $M$ donne ensuite deux branches, vers $B$ et vers $R$ ; le nœud $\overline{M}$ en donne trois, vers $B$, vers $R$ et vers $C$. Aucune probabilité n'y figure.

Reproduire cet arbre et le compléter à l'aide des données de l'énoncé.

2. On sait par ailleurs que $P\left(\overline{M} \cap R\right) = 0{,}05$.

a. Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.

b. On a prélevé une planche en résine. Démontrer que la probabilité qu'elle soit consolidée pour la saison suivante vaut $0{,}15$.

3. La gérante affirme qu'à l'issue d'une saison, au moins $\dfrac34$ des planches sont en bon état. A-t-elle raison ?

Partie B

La gérante envisage d'offrir une remise à certains clients pour la saison suivante. Elle imagine pour cela le jeu suivant, proposé à chaque client.

Une urne contient $5$ boules noires et $n$ boules rouges, toutes indiscernables au toucher. Le client tire simultanément deux boules de l'urne. Si ces deux boules sont de la même couleur, il gagne une remise ; sinon, il perd et n'obtient rien.

1. Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est

2. En déduire que cette probabilité peut s'écrire

3. La gérante veut s'assurer que la probabilité de gagner reste inférieure à $\dfrac12$. Déterminer l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut placer dans l'urne.

Exercice 2 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+1)\mathrm{e}^{-x}$.

Affirmation 1 : la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$.

Affirmation 2 : la fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $[-2\,;+\infty[$.

3. Affirmation 3 : une intégration par parties permet d'obtenir

4. On considère l'équation différentielle $(E)\ : \ y' = 2y - 5$, ainsi que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par

Affirmation 4 : la fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python.

def mystere(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

Affirmation 5 : le nombre renvoyé lors de l'exécution de mystere(5) est $120$.

Exercice 3 — Une suite et sa limite (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par

On admet que $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Partie A

On considère la suite $(u_n)$ définie par

1. Calculer $u_1$.

2. L'énoncé représente les quatorze premiers termes de la suite par un nuage de points, dans un repère où l'axe des abscisses porte le rang $n$ et l'axe des ordonnées la valeur $u_n$. Les points ont pour coordonnées :

Émettre des conjectures sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $(u_n)$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Partie B

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Le but de cette partie est d'en obtenir une valeur approchée.

On considère la fonction $g$, définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$, par

1. On note $g'$ la dérivée de $g$. Démontrer que, pour tout réel $x$ de $[0\,;+\infty[$,

2. Démontrer que $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;4]$.

3. Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2\,;4]$, et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

4. Justifier que $\ell = \alpha$.

Exercice 4 — Tétraèdre et calcul formel (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$.

On considère les points

1. a. Démontrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ définissent un plan.

b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(5\,;8\,;-1)$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ABC})$.

c. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$ est $5x + 8y - z - 22 = 0$.

d. Vérifier que le point $\mathrm{D}$ n'appartient pas au plan $(\mathrm{ABC})$.

2. a. On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$ et passant par $\mathrm{D}$. Justifier qu'une représentation paramétrique de $\Delta$ est

b. On note $\mathrm{E}$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(\mathrm{ABC})$. Démontrer que $\mathrm{E}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{2}\,;-2\,;-\dfrac{21}{2}\right)$.

c. En déduire la valeur exacte de la longueur $\mathrm{DE}$, distance du point $\mathrm{D}$ au plan $(\mathrm{ABC})$.

3. On note $\mathrm{H}$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac23\,;\dfrac{10}{3}\,;\dfrac43\right)$.

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{BC})$ est

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants.

a. À l'aide des deux premiers résultats, justifier que le point $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{A}$ sur la droite $(\mathrm{BC})$.

b. En exploitant les deux autres résultats, déterminer le volume du tétraèdre $\mathrm{ABCD}$.

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.