Bac Maths 2025 — Polynésie — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Polynésie (sujet 2, jour 2), 18 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 — Transmission d'une donnée binaire (5 points)

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : $0$ ou $1$. Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre. Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire telle qu'elle l'a reçue ($1$ devient $1$ et $0$ devient $0$), soit de façon contraire ($1$ devient $0$ et $0$ devient $1$).

La transmission est fidèle dans $90$ % des cas, et donc contraire dans $10$ % des cas. Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur $1$.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :

• $V_n$ l'évènement « la $n$-ième machine détient la valeur $1$ » ;
• $\overline{V_n}$ l'évènement « la $n$-ième machine détient la valeur $0$ ».

1. a. L'énoncé fournit un arbre de probabilité dont les six pointillés sont à compléter. Sa racine est l'évènement $V_1$ ; elle se sépare en deux branches menant à $V_2$ et à $\overline{V_2}$, et chacun de ces deux nœuds se sépare à son tour en deux branches menant à $V_3$ et à $\overline{V_3}$.

Reproduire cet arbre et le compléter.

b. Démontrer que $P(V_3) = 0{,}82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

c. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$.

2. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_n = P(V_n)$. La première machine ayant reçu la valeur $1$, on a $p_1 = 1$.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

c. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission décrite ci-dessus, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ représentant le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0\,;1[$.

def simulation(n):
    donnee = 1
    liste = [donnee]
    for k in range(n):
        if rand() < 0.1:
            donnee = 1 - donnee
        liste.append(donnee)
    return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer $[1, 0, 0, 1]$. Cette liste traduit qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ; que la première machine, qui détient la valeur $1$, a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième ; que la deuxième a transmis de façon fidèle à la troisième ; et que la troisième a transmis de façon contraire à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions de la condition et de la ligne qu'elle commande.

2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste $[1, 1, 1, 1, 1]$, ainsi que la probabilité que simulation(6) renvoie la liste $[1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]$.

Exercice 2 — Étude d'une fonction par sa dérivée (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2\,;+\infty[$ par

L'énoncé fournit une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition, ainsi que les éventuelles asymptotes.

2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]2\,;+\infty[$.

3. Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}} f(x)$. Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1 ?

4. Démontrer que, pour tout $x$ de $]2\,;+\infty[$,

5. On considère la fonction $g$ définie sur $]2\,;+\infty[$ par $g(x) = f'(x)$.

a. Démontrer que, pour tout $x$ de $]2\,;+\infty[$,

b. On admet que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}} g(x) = +\infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]2\,;+\infty[$, en faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

c. En déduire que, pour tout $x$ de $]2\,;+\infty[$, $g(x) \gt 0$.

d. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]2\,;+\infty[$.

6. Étudier la convexité de $f$ sur $]2\,;+\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de sa courbe représentative.

7. Combien existe-t-il de valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?

Exercice 3 — Tétraèdre et projeté orthogonal (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère les points

1. Montrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ déterminent un plan.

2. Montrer que le triangle $\mathrm{ABC}$ est rectangle en $\mathrm{A}$.

3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point $\mathrm{D}$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(2\,;-1\,;1)$.

a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$.

b. Justifier que le plan $(\mathrm{ABC})$ admet pour équation cartésienne

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

4. On appelle $\mathrm{H}$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac23\,;\dfrac43\,;\dfrac53\right)$. Vérifier que $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{D}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$.

5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13\,\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

a. Montrer que $\mathrm{DH} = \dfrac{2\sqrt6}{3}$.

b. En déduire le volume du tétraèdre $\mathrm{ABCD}$.

6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique

La droite $d$ et le plan $(\mathrm{ABC})$ sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 4 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles

Affirmation 1 : il y a davantage de $3$-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à $4$ éléments de $F$.

2. L'énoncé représente, dans un repère orthonormé, la fonction carré ainsi que le carré $\mathrm{ABCD}$ de côté $3$, de sommets $\mathrm{A}(0\,;0)$, $\mathrm{B}(3\,;0)$, $\mathrm{C}(3\,;3)$ et $\mathrm{D}(0\,;3)$. La zone hachurée est le domaine compris entre la parabole, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.

Affirmation 2 : la zone hachurée et le carré $\mathrm{ABCD}$ ont la même aire.

3. On considère l'intégrale

Affirmation 3 : une intégration par parties permet d'obtenir $J = \dfrac{7}{11}$.

4. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle

Affirmation 4 : la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{2x}$ est solution de $(E)$.

5. Soit $x$ donné dans $[0\,;1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par

Affirmation 5 : la suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.