Bac Maths 2025 — Nouvelle-Calédonie — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Nouvelle-Calédonie (jour 2), 21 novembre 2025. Durée 4 heures ; l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé, ainsi que celui d'une calculatrice sans mémoire « type collège ». 4 exercices indépendants, notés respectivement 4, 6, 5 et 5 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Vrai ou faux : autour d'un cube (4 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte ; une absence de réponse n'est pas pénalisée.

On considère un cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ d'arête $1$, dont $\mathrm{ABCD}$ est la face inférieure et $\mathrm{EFGH}$ la face supérieure, les sommets $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$ et $\mathrm{H}$ étant situés respectivement au-dessus de $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$. On considère le point $\mathrm{I}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{FI}} = \dfrac13\,\overrightarrow{\mathrm{FB}}$ : il est sur l'arête $[\mathrm{FB}]$, au tiers de sa longueur en partant de $\mathrm{F}$.

On pourra se placer dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$.

1. On considère le triangle $\mathrm{HAC}$.

Affirmation 1 : le triangle $\mathrm{HAC}$ est un triangle rectangle.

2. On considère les droites $(\mathrm{HF})$ et $(\mathrm{DI})$.

Affirmation 2 : les droites $(\mathrm{HF})$ et $(\mathrm{DI})$ sont sécantes.

3. On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0\,;\pi[$, et le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\left(\sin(\alpha)\,;\sin(\pi - \alpha)\,;\sin(-\alpha)\right)$.

Affirmation 3 : le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{FAC})$.

4. Le cube possède $8$ sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant deux sommets distincts quelconques du cube.

Affirmation 4 : $N = \dfrac{8^2}{2}$.

Exercice 2 — Trois zones et deux jeux de fléchettes (6 points)

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O}\,;\mathrm{I},\mathrm{J})$, on considère le carré $\mathrm{OIKJ}$ de côté $1$, où $\mathrm{K}$ est le point de coordonnées $(1\,;1)$. On y trace la droite d'équation $y = x$ (la diagonale $[\mathrm{OK}]$) et la parabole d'équation $y = x^2$, qui relie elle aussi $\mathrm{O}$ à $\mathrm{K}$. Le carré est ainsi partagé en trois zones :

• la zone 1, située au-dessus de la diagonale : c'est le triangle $\mathrm{OKJ}$ ;
• la zone 2, située sous la parabole, entre celle-ci, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 1$ ;
• la zone 3, comprise entre la parabole (en dessous) et la diagonale (au-dessus).

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

Partie B : un premier jeu

Un joueur lance une fléchette sur le carré. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone ; ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la zone 3 est $\dfrac16$.

• Si la fléchette tombe sur la zone 3, le joueur lance une pièce équilibrée : s'il obtient PILE, il gagne ; sinon, il perd.
• Si la fléchette tombe sur une autre zone, le joueur lance un dé équilibré à six faces : s'il obtient $6$, il gagne ; sinon, il perd.

On note les évènements :

• $T$ : « la fléchette tombe sur la zone 3 » ;
• $G$ : « le joueur gagne ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac29$.

3. On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la zone 3 ?

Partie C : un second jeu

Un joueur, appelé joueur n° 1, lance une fléchette sur le carré. Comme dans la partie B, la probabilité que la fléchette tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone : par exemple, si la fléchette tombe sur la zone 3, il gagne $3$ euros.

On note $X_1$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur n° 1, et $\mathrm{E}(X_1)$ et $\mathrm{V}(X_1)$ son espérance et sa variance.

1. a. Calculer $\mathrm{E}(X_1)$.

b. Montrer que $\mathrm{V}(X_1) = \dfrac59$.

2. Un joueur n° 2 et un joueur n° 3 jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur n° 1. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes. On note $X_2$ et $X_3$ les gains des joueurs n° 2 et n° 3, et $Y = X_1 + X_2 + X_3$.

a. Déterminer la probabilité que $Y = 9$.

b. Calculer $\mathrm{E}(Y)$.

c. Justifier que $\mathrm{V}(Y) = \dfrac53$.

Exercice 3 — Une suite et son point fixe (5 points)

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par

$$f(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} + 2\right).$$

On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \ln(9)$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $f\left(2\ln(2)\right) = 2\ln(2)$.

3. Montrer que $u_1 = \ln(5)$.

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

$$2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$$

5. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

6. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - X - 2 = 0$.

b. En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$.

c. En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = x$.

d. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 4 — La distance de l'origine à la courbe du logarithme (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par

$$f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2} + 1,$$

et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$.

2. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\,;+\infty[$,

$$f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}.$$

3. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

4. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

b. Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.

c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

5. On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = \ln(x)$, et on note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine $\mathrm{O}$. Soit $x$ un réel strictement positif, et $\mathrm{M}$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$. On note $\mathrm{OM}$ la distance entre les points $\mathrm{O}$ et $\mathrm{M}$.

a. Exprimer $\mathrm{OM}^2$ en fonction du réel $x$.

b. Montrer que, lorsque $x$ parcourt l'intervalle $]0\,;+\infty[$, la quantité $\mathrm{OM}^2$ admet un minimum en $\alpha$.

c. La valeur minimale de la distance $\mathrm{OM}$, lorsque $x$ parcourt $]0\,;+\infty[$, est appelée distance du point $\mathrm{O}$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ ; on la note $d$. Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.