Bac Maths 2025 — Nouvelle-Calédonie — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Nouvelle-Calédonie (jour 1), 20 novembre 2025. Durée 4 heures ; l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé, ainsi que celui d'une calculatrice sans mémoire « type collège ». 4 exercices indépendants, notés respectivement 5, 4, 6 et 5 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Un sac, deux urnes et des billets (5 points)

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

• Le sac contient $4$ boules : $1$ boule portant la lettre A et $3$ boules portant la lettre B.
• L'urne A contient $5$ billets : $3$ billets de $50$ euros et $2$ billets de $10$ euros.
• L'urne B contient $4$ billets : $1$ billet de $50$ euros et $3$ billets de $10$ euros.

Un joueur prend une boule au hasard dans le sac. Si elle porte la lettre A, il prend un billet au hasard dans l'urne A ; si elle porte la lettre B, il prend un billet au hasard dans l'urne B. On note les évènements :

• $A$ : « le joueur obtient une boule portant la lettre A » ;
• $C$ : « le joueur obtient un billet de $50$ euros ».

1. Recopier et compléter l'arbre représentant la situation. Cet arbre part d'un nœud initial d'où sortent deux branches, menant à $A$ et à $\overline{A}$ ; de chacun de ces nœuds sortent deux branches, menant à $C$ et à $\overline{C}$. Aucune des six probabilités n'est donnée.

2. Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule portant la lettre A et un billet de $50$ euros » ?

3. Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à $0{,}337\,5$.

4. Le joueur a obtenu un billet de $10$ euros. L'affirmation « Il y a plus de $80$ % de chances qu'il ait obtenu au préalable une boule portant la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.

5. On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur. Par exemple, si le joueur obtient un billet de $50$ euros, $X_1 = 50$.

Montrer que l'espérance $\mathrm{E}(X_1)$ est égale à $23{,}50$ et que la variance $\mathrm{V}(X_1)$ est égale à $357{,}75$.

6. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne d'où il provient, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire donnant la somme obtenue lors de cette deuxième partie, et $Y = X_1 + X_2$.

a. Montrer que $\mathrm{E}(Y) = 47$.

b. Expliquer pourquoi $\mathrm{V}(Y) = \mathrm{V}(X_1) + \mathrm{V}(X_2)$.

7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième… jusqu'à une centième partie ; on définit de la même façon les variables aléatoires $X_3, X_4, \ldots, X_{100}$. On note $Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$.

Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]1\,950\,;2\,750[$ est supérieure ou égale à $0{,}75$.

Exercice 2 — Projeté orthogonal et volume d'une pyramide (4 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$, on considère les points

1. Démontrer que le triangle $\mathrm{ABC}$ est rectangle en $\mathrm{B}$.

2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$ est $x - y - 8 = 0$.

3. On note $d$ la droite passant par le point $\mathrm{D}$ et orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

b. On note $\mathrm{H}$ le projeté orthogonal du point $\mathrm{D}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$. Déterminer les coordonnées du point $\mathrm{H}$.

c. Montrer que $\mathrm{DH} = 2\sqrt2$.

4. a. Montrer que le volume de la pyramide $\mathrm{ABCD}$ est égal à $2$. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

b. On admet que l'aire du triangle $\mathrm{BCD}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$. En déduire la valeur exacte de la distance du point $\mathrm{A}$ au plan $(\mathrm{BCD})$.

Exercice 3 — Une suite d'intégrales (6 points)

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0\,;1]$ par

On admet que $f_n$ est dérivable sur $[0\,;1]$, et on note $f_n'$ sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie, on étudie le cas $n = 1$, c'est-à-dire la fonction $f_1$ définie sur $[0\,;1]$ par $f_1(x) = x\,\mathrm{e}^{1 - x}$.

1. Montrer que $f_1'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de $[0\,;1[$.

2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0\,;1]$.

3. En déduire que l'équation $f_1(x) = 0{,}1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0\,;1]$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par

On admet que $u_1 = \mathrm{e} - 2$.

1. a. Justifier que, pour tout $x \in [0\,;1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n}$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

c. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

b. On considère le script Python ci-dessous, qui définit la fonction suite(). Recopier et compléter ce script pour que suite() renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^{8}\,\mathrm{e}^{1 - x}\,\mathrm{d}x$.

from math import exp
 
def suite():
    u = ...
    for n in range(1, ...):
        u = ...
    return

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 4 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte ; une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - x^2$.

Affirmation 1 : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

2. On considère l'équation différentielle $(\mathrm{E}) \ : \ -2y' + 3y = \sin x + 8\cos x$, et la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\cos x - \sin x$.

Affirmation 2 : la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E})$.

3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = \ln(3x + 1) + 8$, et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 25$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$. On admet que la suite $(u_n)$ est strictement positive.

Affirmation 3 : la suite $(u_n)$ est décroissante.

4. On considère une fonction affine $h$ définie sur $\mathbb{R}$, et la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$.

Affirmation 4 : la fonction $k$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

5. Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot. Par exemple, le mot BAC possède $6$ anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

Affirmation 5 : le mot EULER possède $120$ anagrammes.