Bac Maths 2026 — Métropole septembre — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement de septembre, Métropole (sujet 2, jour 2), 9 septembre 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Lancers francs au basket (5 points)

Partie A

Une joueuse de basket constate qu'elle réussit $60$ % de ses lancers francs au cours d'une séance d'entraînement. On modélise la situation, à partir de cette statistique, comme une succession d'épreuves aléatoires indépendantes.

1. Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.

a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.

b. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \geqslant 4)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. On suppose maintenant que la joueuse effectue $n$ lancers, où $n$ est un entier naturel non nul. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis ; on admet que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}6$.

a. Montrer que $P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^n$.

b. En déduire le nombre $n$ de lancers à partir duquel la probabilité d'en réussir au moins un dépasse $0{,}9999$.

c. Recopier et compléter le script Python suivant afin qu'il permette de retrouver le résultat de la question 2. b.

def basket ():
    p = 0.6
    n = 1
    while ..... :
        n = n + 1
        p = .....
    return ...

Partie B

Pour un autre joueur, on observe que :

• lorsqu'il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de $0{,}7$ ;
• lorsqu'il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de $0{,}4$.

On admet enfin que la probabilité qu'il réussisse son premier lancer vaut $0{,}5$.

On note $G_1$ l'évènement « le joueur réussit son premier lancer franc », de sorte que $P(G_1) = 0{,}5$, et $G_2$ l'évènement « le joueur réussit son deuxième lancer franc ».

1. Calculer $P(G_2)$. On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilité.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $G_n$ l'évènement « le joueur réussit son $n$-ième lancer franc » et $p_n$ sa probabilité ; on définit ainsi une suite $(p_n)$ de réels. On admet que, pour tout $n \geqslant 1$,

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \geqslant 1$, $p_n \leqslant p_{n+1}$.

b. Quel argument permet d'affirmer que la suite $(p_n)$ est majorée ?

c. En déduire que la suite $(p_n)$ est convergente.

3. On admet que la limite de $(p_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ vaut $\dfrac47$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 — Étude d'une fonction avec exponentielle (5 points)

Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis interpréter graphiquement ce résultat.

3. On note $f'$ la dérivée de $f$.

a. Vérifier que, pour tout réel $x$, $f'(x) = (4 - 3x)\mathrm{e}^{-x}$.

b. Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. a. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, que l'on notera $\alpha$.

b. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

c. En déduire le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$.

d. Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (-3x-2)\mathrm{e}^{-x} + 2x$. On admet que $F$ est une primitive de $f$.

Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

5. On admet que la droite d'équation $y = 4x + 1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Vérifier que, pour tout réel $x$, $(3x-1)\mathrm{e}^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1$.

Exercice 3 — Vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les affirmations sont indépendantes.

1. On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 1 : la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-2)\mathrm{e}^{x}$ est solution de $(E)$.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)\cos(x)$. On intègre par parties $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Affirmation 2 :

3. On considère, sur $]7\,;+\infty[$, l'inéquation

Affirmation 3 : l'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle $[8\,;+\infty[$.

4. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

On admet que $u_n \neq 0$ pour tout entier naturel $n$. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{2}{u_n}$.

Affirmation 4 : la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique.

5. On lance $3\,600$ fois un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.

Affirmation 5 : la probabilité que le nombre d'apparitions du $6$ soit strictement compris entre $450$ et $750$ est minorée par $0{,}97$.

Exercice 4 — Tétraèdre et distance minimale (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$ d'unité $1$ cm.

Partie A

On considère les points

1. Démontrer que les points $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ et $\mathrm{T}$ ne sont pas alignés.

2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(-10\,;4\,;3)$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{RST})$.

b. En déduire une équation cartésienne du plan $(\mathrm{RST})$.

3. a. Vérifier que le point $\mathrm{A}$ n'appartient pas au plan $(\mathrm{RST})$.

b. On note $d_1$ la droite passant par $\mathrm{A}$ et orthogonale au plan $(\mathrm{RST})$. Déterminer une représentation paramétrique de $d_1$.

c. Soit $\mathrm{H}$ le projeté orthogonal de $\mathrm{A}$ sur $(\mathrm{RST})$. Vérifier que ses coordonnées sont $(2{,}5\,;6\,;3)$.

4. a. Démontrer que le triangle $\mathrm{RST}$ est rectangle en $\mathrm{S}$.

b. Vérifier que le volume du tétraèdre $\mathrm{ARST}$ vaut $\dfrac{625}{24}$ cm³.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par

Partie B

Soit $\mathrm{M}(x\,;y\,;z)$ un point de la droite $d_2$ de représentation paramétrique

1. Démontrer que $\mathrm{AM}^2 = 21s^2 + 24s + 21$.

2. Déterminer les coordonnées du point $\mathrm{M}$ de la droite $d_2$ pour lequel la distance $\mathrm{AM}$ est minimale.